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浙江省 A9协作体暑假返校联考
高三数学参考答案
一、 单选题： 本题共8小题，每小题 5分，共 40分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1. 答案：A.【解析 】因 为 A={x|x>0}, B={x|0≤x≤1}, 所 以， A∩B={x|D0时，方
程f(x)=0有两个不同根，f(x)有两个极值点； 当△≤0时， f(x)无个极值点， 故 A
错误：
B选项： f(x)=x³+x+1y=x³+x是奇函数， 故 B正确；
C选项： 设切点(x,f(x₁), 则切线方程为y-f(x)=f(x;(x-x), 因为过点(x₂,f(x,), 所 以
f( x )-f(x )=f²(x; )( x -x ),
即x³ ₁ -x³+ ₁ a( x ²-x² ) ₀ + x₁ -X₁=(3 x² +2ax; +1Y ( x - x )·
₀ ₀
整理得(x₂-x)x₁+a+2x)=0, 所以x=x₂, 或
·
由于
。
则两根相等， 即只有一个切点，即只有一条切线，故 C错误；
D选项： 在点(x,f(x)处的切线为y-f(π)=f(c,(x-x), 与曲线联立方程组
化简得， (x-x,)(x+a+2x)=0, 所以，x=x₂,
于 则方程组有两个不同解，即有两个不同交点，故D正确.
,
11 . 答案： ABD.【 解析】
因为r=a(l-sinO), 所以， r²=a(r-rsinO), 利用关系式 得r² =atr-y),
…
(*)
A选项： 因 为曲线图象过点(0.-2), 所以此时r=√F+y=2, 代入(4) 得4=a(2-(-2),
所以 a=1 , 故 A正确 ：
B选项： 因为a=1, 所以 (*) 化为r²=r-y, 所以直角坐标系下的曲线方程为
x²+y²+ y=√F+y, 代入点(-1.0)满足， 故 B正确；
C选项： x=rcosD=(1-sinO)cos0, 设f(O)=(1-sinO)cos0,则
f(O )=2sin² θ-sinθ-1, 令f(O )=0, 得 或sinO=1,
浙江省A9协作体暑假返校联考 高三数学参考答案 第 2 页 共 7 页则f(O)有极值 由对称性， 所以， 故 C错 误：
D选项：方 法1: 由 * y +y=√ F+ 下 两边平方整理得。 c² + ?Y +2y-1M c ² +F)+y ² -0 .
令1=x²+ y², 则广+(2y-1Y+ y²=0(*), 由判别式A=(2y-1N²-4y²20,得
令fu)=t²+(2y-1Y+y², 由于方程(*)在re[y²,+x)有解，
(1)当对称轴 , 即 时，由 fy²)≤0得 -2≤y≤0,
所以
(2) 当对称轴 即 时， 由△≥0, 得
所以 综上，
.
sinOe[-1 1], 所
故D正确.
三、 填空题： 本题共3小题，每题 5分， 共 15分。
12 . 答案： 【解析】
13.答案： a=2.【解析】 曲线y=e在 x=0处的切线为y=x+1,
设切点(x,ln(x+a)), 由 . 得
14. 答案 ： 【解析】 甲乙打卡相同景点的概率为 所以甲、 乙打卡不相同
景点的概率为
四、 解答题： 本题共 5小题， 共 77分， 解答应该写出文字说明、 证明过程或验算步骤。
15.(本题满分13分)
(1) 证明： 因为2csinA=3asinB, 由正弦定理得， 2ca=3ab, 所以 2分
…
因为 由余弦定理， …… 4分
.
a 化简得 …… 6分
：
所以a=c, 即证 7分
… …
G . 2
(II) 方法 1.因为 ) … … 10分
浙 江省A9协作体暑假返校联考 高三数学参考答案 第 3 页 共 7 页所以 12分
… …
故 13分
… …
方法 2.因为a=c, 所以A=C, 所以
在△ ACD中， 由余弦定理，
AD² =CA +CD² -2CA
×
CDcosC
……
10分
12分
… …
故 13分
… …
方法3.因 为b=√2, 所以
由AD是 BC边上 中线知，BC²+(2AD)²=2(AB²+AC), 12分
… …
可得 … 13分
…
16. (本题满分 15分)
(I) 因为PA⊥平面ABC, BCC平面ABC,所以PA⊥BC, 2分
… …
又AB⊥BC, 所以BC⊥平面PAB, 4分
… …
所以BC⊥AE, 又E为PB的 中点， 所 以AE⊥PB, 所以AE⊥平面PBC, ……6分
因为PCC平面PBC,所以AE⊥CP: 7分
(I1) 建系如图， 设BQ=1 , B(0 , 0 . 0), Q(0,+ . 0), P (0,1 . 1), C (√ 3 . 0 . 0), …… …
取平面APQ的法向量m=(1.0.0),
……
8分
设平面CPQ的法向量n=(x,y,z),
因为0C= √3,-,0), FC=(5-L-), 由 则
, 取n=( . √ 3 , √ 3 a -1), … … 11 分
得2r² -9 r +9=0, 13分
… …
解得1=3, 或 故BQ=3或 15分
… …
浙江省A9协作体暑假返校联考 高三数学参考答案 第 4 页 共 7 页17. (本题满分15分)
6分
… …
(1) 设直线的方程为y=kx+2,联 得(4+9k² )x² +36kr=0, 8分
… …
则 9分
… …
又直线AP: 2
√
3x+9 y-18=0,
… …
10分
则Q到直线的距离为
12分
… …
若-324k² -72√ 5k <0, 则
所以AAPQ的 面移
化简整理得， 54k²+7√5k+10=0, 无解；
若-324k² -72√ 5k ≥0, 则
由AAPQ的 面积
整理得， 9k² +7√ 5k -10=0, 解得
综上， 15分
… …
18. (本题满分17分)
1 分
… …
浙江省A9协作体暑假返校联考 高三数学参考答案 第 5 页 共 7 页2分
… …
当xe(-1,e-1)时， f(x)>0, 当xe(e-1,+x)时，f(x)<0,
所以f(x)在 xe(-1,e-1)单调递增， 在xe(e-1,+x)上单调递减，
所以， f(x)的最大值为 4分
… …
(II) 由 (1) 知， f(x)在xe(-1,e-1)单调递增，
又 . foo -1s0
… …
6分
由零点定理可得必然存在唯一的 使得f( c )=0,
… …
8分
时， f(x)<0, 当xε(x,0)时， f(x)>0,
所以， 函数f(x)的 极小值点x,满足 … 10分
…
(II) 由f(x)≥g(x), 得x-(m+1)In(x+1)-n≥0, 设F(c)=x-(m+1)In(x+1)-n,
12分
… …
①当m<-1时， 必然存在x∈(-1,0)使得F(x)<0, 故不符合题意； …13分
…
②当m≥-1时， F(x)在(-1,m)单调递减， (m,+x)单调递增，
则 F(x )=m-(m+l)ln (m+1)-n ≥0,即 n ≤ m-(m+D)ln (m+1),
所以m+n≤2m-(m+1)ln(m+I),令G(m)=2m-(m+l)ln(m+1),
则G”(m)=1-ln(m+1), 所以G(m)(-1,e-1)上单调递增， (e-1,+2) 上单调递减， 所以，
G(m) =G(e-l)=e-2,
m
即， m+n ≤ e-2. 17分
… …
19. (本题满分17分)
(1) 2,3,1,4 : 3,2,4, 1 … … 4分
(2) 对于m项的数列ta,}一个”—数列b}: k, b₂, b, … b ₂, b , b ,
因为对于i (i=1,2,…,m-2), 均有(b₂-b₂)(b₂-b,₂)<0, 所以，
n .
m i (b,. b ,.}< h < max{ b ,.h }, 所以， b不是{ b;所有项中的最大值或最小值，
所以， b , b。为 (b)的最大值或最小值的一个排列. 8分
… …
考虑(b}中去掉b。后的数列(b : h, b₂, b, …, b₂, b ,
同理若数列{b。,为数列{a}的一个”—数列，则有b。₂, b,为 b 的最大值或最小值
的一个排列.
以此类推， 当m=2k+1 时，
①若b。为最大值， 则b,为最小值， 则
b > b > b > … > h > b > b > b > …> b , > b. ,
m
₂ ₂₄ ₂ ₁
… 10分
…
②若b 为最大值， 则b。为最小值， 则
b < h < h < … < h < h < h₂< h₂<… < b , < h , ,
₂ ₂ ₂₄ ₂
浙江省A9协作体暑假返校联考 高三数学参考答案 第 6 页 共 7 页综上， |b。- b Ek. 12分
… …
₁
(3) 由 (2) 知， 数列{a,}任意m元子集必存在 2个n—数列， 13分
… …
因此任意取m项的排列数为A”, 而 {b}为数列{a,}的n—数列的个数为2C, ……15分
17分.
… …
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