2024年高三年级模拟考试（三）-数学答案_2024年5月_01按日期_23号_2024届山西省太原市高三下学期三模考试_山西省太原市2024届高三模拟考试（三）（5月）数学试题

太原市2024年高三年级模拟考试（三）
数学参考答案及评分建议
一．选择题： C A B D A D C B
二. 选择题： ACD AC AB
3
三．填空题: 12.(0,1) 13. 3 14.
2
四．解答题：本题共5小题，共77分.
15.解:（1）设数列{a }的公比为q，由{S 1}也是等比数列得(S 1)2 (S 1)(S 1)，
n n 2 1 3
(q2)2 2(q2 q2)，q 2或q 0（舍去）， ………5分
a a qn1 2n1(nN*). ………7分
n 1
（2）由（1）得a 2n1，b a log a n2n1(nN*)， ………9分
n n n 2 n1
T b b b 120 22322 n2n1，①
n 1 2 n
2T 12222 323 n2n，②
n
①-②得T 1222 2n1n2n，
n
T (n1)2n 1. ………13分
n
16.解：（1）由题意得
流感
疫苗 感染 未感染 合计
接种 130 570 700
未接种 70 230 300
合计 200 800 1000
………4分
零假设为H ：接种流感疫苗与感染流感无关， ………5分
0
根据列联表中的数据，经计算得到
1000(57070130230)2 125
2   2.9762.706x ，
700300800200 42 0.10
根据小概率值0.10的独立性检验，推断H 不成立，即认为接种流感疫苗与感染流感有
0
关，此推断犯错误的概率不超过0.10； ………8分
57 13
接种流感疫苗中未感染流感和感染流感的频率分别为 和 ，未接种流感疫苗中未感染流
70 70
23 7
感和感染流感的频率分别为 和 ，根据频率稳定于概率的原理，可以认为接种疫苗时未
30 30
感染流感的概率大； ………10分
（2）设A“某人流感检测结果为阳性”，B“此人感染流感”，
由题意得P(B)0.2，P(B)0.8，P(A|B)0.95，P(A|B)0.01，
P(AB)P(B)P(A|B)0.20.950.19，
{#{QQABRYSUogAAAJIAABhCEwFiCEIQkACCAAoGgEAMIAAAyRFABAA=}#}P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)0.20.950.80.010.198，
P(AB) 0.19
P(B|A)  0.96. ………15分
P(A) 0.198
17.（1）证明：AD 底面ABCD,AD  AD,AD  BD，
1 1 1
AB 2AD，DAB 60，BD2  AB2  AD2 2ABADcosDAB 3AD2，
AB2 BD2AD2 4AD2，
ADB 90，AD  BD， ………3分
BD 平面ADD A ，
1 1
平面BDD B 平面ADD A ； ………5分
1 1 1 1
（2）由（1）知AD  AD,AD  BD，AD  BD，
1 1
以D为原点，DA,DB,DA 所在直线分别为x轴、 y轴、z 轴，建立如图所示的空间直角
1
坐标系，设AD 1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0, 3,0)，A(0,0,1)，D(1,0,1)，
1 1
B (1, 3,1)，C(1, 3,0)，
1
  m DB,  3y 0,
设m(x ,y ,z )是平面BDD B 的一个法向量，则   1
1 1 1 1 1
 m DD
1
, x
1
z
1
0,
取z 1，则x 1,y 0，m(1,0,1)， ………7分
1 1 1
mAB 1 1
AB (2, 3,1)，cosm,AB  1   ，
1 1 |m|| AB | 2 8 4
1
1
AB 与平面BB D D所成角的正弦值为 ； ………10分
1 1 1 4
  n AA, x z 0,
（3）设n(x ,y ,z )是平面AAB B的一个法向量，则  1  2 2
2 2 2 1 1
 n AB, x
2
 3y
2
0,
取 y 1，则x  z  3，n( 3,1, 3)， ………12分
2 2 2
mn 2 3 42
cosm,n   ，
|m||n| 2 7 7
42
平面AAB B与平面BB D D夹角的余弦值为 . ………15分
1 1 1 1 7
18.解：（1）由题意得A(a,0),B(a,0)，
 9 2
 1,
  a2 b2 a2 3, x2
则    y2 1； ………5分
 2 2  b2 1, 3
  2,

3a 3a
（2）由（1）得 A( 3,0),B( 3,0)，
{#{QQABRYSUogAAAJIAABhCEwFiCEIQkACCAAoGgEAMIAAAyRFABAA=}#}设直线MN 的方程为xty3(t  3)，M(x ,y ),N(x ,y )，则BN (x  3,y )，
1 1 2 2 2 2
xty3,
 6t 6
由

x2
y2 1
得(t23)y26ty60,y
1
 y
2

t2 3
，y
1
y
2

t23
， ………9分
3
y y
直线AM 的方程为y  1 (x 3)，令x1，则y  1 (1 3)，
x  3 x  3
1 1
(1 3)y (1 3)y
Q(1, 1)，BQ(1 3, 1)， ………12分
x  3 x  3
1 1
(1 3)y 1
(x  3) 1 (1 3)y  [(x  3)(1 3)y (1 3)(x  3)y ]
2 x  3 2 x  3 2 1 1 2
1 1
1
 [(ty 3 3)(1 3)y (1 3)(ty 3 3)y ]
x  3 2 1 1 2
1
1 2 3
 [(ty 3 3)(1 3)y ( 31)(ty 3 3)y ] (ty y  y  y )
x  3 2 1 1 2 x  3 1 2 1 2
1 1
2 3 6t 6t
 (  )0，BN //BQ ，B,N,Q 三点共线. ………17分
x  3 t2 3 t2 3
1
1 1
19.（1）解：由题意得 f(x)(1x)(  )，x0， ………2分
ex x
1 1
x0，ex  x0，  0，
ex x
令 f(x)0，则0  x 1；令 f(x)0，则x 1，
 f(x)在(0,1)上单调递减, 在(1,)上单调递增； ………4分
1 1
 f(x) f(1) 1k 0，k  1，
e e
1
实数k的取值范围(, 1]. ………6分
e
（2）由（1）得 f(x)在(0,1)上单调递减, 在(1,)上单调递增，
 f(x ) f(x )，0 x 1 x ， ………8分
1 2 1 2
令g(x) f(x)f(2x)，0x1，
1 1 1 1
则g(x) f(x) f(2x) (1x)[(  )(  )]， ………9分
ex x e2x 2x
1 1 ex x2
设h(x)  ，x 0，则h(x) ，
ex x x2ex
1 1 1 3 15 ex x2
ex x2 1x x2  x3 x2  x[(x )2  ]0，h(x) 0，
2 6 6 2 4 x2ex
{#{QQABRYSUogAAAJIAABhCEwFiCEIQkACCAAoGgEAMIAAAyRFABAA=}#}1 1
h(x)  在(0,)上递增，
ex x
1 1 1 1
当0x1时，则h(x)h(2x)，即    ， ………11分
ex x e2x 2x
g(x)0，g(x)在(0,1)上递减，g(x) g(1)0， ………13分
g(x) f(x)f(2x)0，f(x ) f(x) f(2x)， ………15分
1 1 1 2 1 1
 f(x)在(1,)上单调递增, x 2x ，x x 2. ………17分
2 1 1 2
注：以上各题其它解法请酌情赋分.
{#{QQABRYSUogAAAJIAABhCEwFiCEIQkACCAAoGgEAMIAAAyRFABAA=}#}