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太原市 2024 年高三年级模拟考试（三） 数学
参考答案及评分建议
一、选择题: CABDADCB
二、选择题: 9.ACD 10.AC 11.AB
3
三、填空题: 12. (0,1) 13. ❑√3 14.
2
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分.
15. 解: (1) 设数列 {a } 的公比为 q ,
n
由 {S +1} 也是等比数列得 (S +1) 2=(S +1)(S +1) ,
n 2 1 3
∴(q+2) 2=2×(q2+q+2),∴q=2 或 q=0 (舍去), .5 分
∴a =a qn-1=2n-1(n∈N*) . ⋅7 分
n 1
(2) 由 (1) 得 a =2n-1,b =a ⋅log a =n⋅2n-1(n∈N*) , -9 分
n n n 2 n+1
∴T =b +b +⋯+b =1×20+2×2+3×22+⋯+n⋅2n-1 ,(1)
n 1 2 n
∴2T =1×2+2×22+3×23+⋯+n⋅2n ,(2)
n
(1)-(2)得 -T =1+2+22+⋯+2n-1-n⋅2n ,
n
∴T =(n-1)⋅2n+1 . 13 分
n
16. 解: (1) 由题意得
疫苗 流感 合计
感染 未感染
接种 130 570 700
未接种 70 230 300
合计 200 800 1000
………4 分
零假设为 H : 接种流感疫苗与感染流感无关, ⋯⋯⋯5 分
0
根据列联表中的数据, 经计算得到
学科网（北京）股份有限公司1000×(570×70-130×230) 2 125
χ2= = ≈2.976>2.706=x ,
700×300×800×200 42 0.10
根据小概率值 α=0.10 的独立性检验,推断 H 不成立,即认为接种流感疫苗与感染
0
流感有 关, 此推断犯错误的概率不超过 0.10 ; ⋅8 分
57 13
接种流感疫苗中未感染流感和感染流感的频率分别为 和 ,未接种流感疫苗
70 70
23 7
中未感染流 感和感染流感的频率分别为 和 ,根据频率稳定于概率的原理,
30 30
可以认为接种疫苗时未 感染流感的概率大; ⋯⋯10 分
(2) 设 A= “某人流感检测结果为阳性”, B= “此人感染流感”,
由题意得 P(B)=0.2,P(B´ )=0.8,P(A∣B)=0.95,P(A∣B´ )=0.01 ,
∴P(AB)=P(B)P(A∣B)=0.2×0.95=0.19 ,
∴P(A)=P(B)P(A∣B)+P(B´ )P(A∣B´ )=0.2×0.95+0.8×0.01=0.198 ,
P(AB) 0.19
∴P(B∣A)= = ≈0.96 . ⋯⋯15 分
P(A) 0.198
17. (1) 证明: ∵A D⊥ 底面 ABCD,∴A D⊥AD,A D⊥BD ,
1 1 1
∵AB=2AD,∠DAB=60∘,∴BD2=AB2+AD2-2AB⋅ADcos∠DAB=3AD2 ,
∴AB2=BD2+AD2=4AD2 ,
∴∠ADB=90∘,∴AD⊥BD , ………3 分
∴BD⊥ 平面 ADD A ,
1 1
∴ 平面 BDD B ⊥ 平面 ADD A ; ⋅5 分
1 1 1 1
(2) 由 (1) 知 A D⊥AD,A D⊥BD,AD⊥BD ,
1 1
学科网（北京）股份有限公司以 D 为原点, DA,DB,DA 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立如图所示
1
的空间直角 坐标系,设 AD=1 ,则
D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,❑√3,0),A (0,0,1),D (-1,0,1) ,
1 1
B (-1,❑√3,1),C(-1,❑√3,0),
1
{⃗m⊥⃗DB, { ❑√3 y =0,
设 ⃗m=(x ,y ,z ) 是平面 BDD B 的一个法向量,则 ∴ 1
1 1 1 1 1 ⃗m⊥⃗DD , -x +z =0,
1 1 1
取 z =1 ,则 x =1,y =0,∴⃗m=(1,0,1) , ………7 分
1 1 1
⃗m⋅⃗AB -1 -1
∵⃗AB =(-2,❑√3,1),∴cos<⃗m,⃗AB >= 1 = = ,
1 1 ∣⃗m∥⃗AB ∣ ❑√2×❑√8 4
1
1
∴AB 与平面 BB D D 所成角的正弦值为 ; ⋅10 分
1 1 1 4
(3) 设 ⃗n=(x ,y ,z ) 是平面 A A B B 的一个法向量,则
2 2 2 1 1
{⃗n⊥⃗A A , {-x +z =0,
1 ∴ 2 2
⃗n⊥⃗AB, -x +❑√3 y =0
2 2
取 y =1 ,则 x =z =❑√3,∴⃗n=(❑√3,1,❑√3) , ……12 分
2 2 2
⃗m⋅⃗n 2❑√3 ❑√42
∴cos<⃗m,⃗n>= = = ,
|⃗m||⃗n| ❑√2×❑√7 7
❑√42
∴ 平面 A A B B 与平面 BB D D 夹角的余弦值为 . ⋅15 分
1 1 1 1 7
18. 解: (1) 由题意得 A(-a,0),B(a,0) ,
9 2
{ - =1,
a2 b2 {a2=3, x2
则 ∴ ∴ - y2=1 ; (5) 分
❑√2 ❑√2 b2=1, 3
+ =❑√2,
3+a 3-a
(2) 由 (1) 得 A(-❑√3,0),B(❑√3,0) ,设直线 MN 的方程为
x=ty+3(t≠±❑√3),M(x ,y ),N(x ,y ) ,则 ⃗BN=(x -❑√3,y ) ,
1 1 2 2 2 2
{x=ty+3,
6t 6
由 x2 得 (t2-3)y2+6ty+6=0,∴y + y =- ,y y = , 9 分
- y2=1 1 2 t2-3 1 2 t2-3
3
y y
直线 AM 的方程为 y= 1 (x+❑√3) ,令 x=1 ,则 y= 1 (1+❑√3) ,
x +❑√3 x +❑√3
1 1
学科网（北京）股份有限公司( (1+❑√3)y ) ( (1+❑√3)y )
∴Q 1, 1 ,∴⃗BQ= 1-❑√3, 1 , .12 分
x +❑√3 x +❑√3
1 1
(1+❑√3)y 1
∵(x -❑√3)⋅ 1-(1-❑√3)y = [(x -❑√3)⋅(1+❑√3)y -(1-❑√3)(x +❑√3)y ]
2 x +❑√3 2 x +❑√3 2 1 1 2
1 1
1
= [(t y +3-❑√3)⋅(1+❑√3)y -(1-❑√3)(t y +3+❑√3)y ]
x +❑√3 2 1 1 2
1
= 1 [(t y +3-❑√3)⋅(1+❑√3)y +(❑√3-1)(t y +3+❑√3)y ]= 2❑√3 (t y y + y + y )= 2❑√3 ( 6t - 6t ) =0,
x +❑√3 2 1 1 2 x +❑√3 1 2 1 2 x +❑√3 t2-3 t2-3
1 1 1
∴⃗BN//⃗BQ, ∴B,N,Q 三点共线. 17 分
19. (1) 解: 由题意得 f'(x)=(1-x) ( 1 - 1) ,x>0 , ⋯⋯2 分
ex x
1 1
∵x>0,∴ex>x>0,∴ - <0 ,
ex x
令 f'(x)<0 ,则 00 ,则 x>1 ,
∴f (x) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1,+∞) 上单调递增; (4 分
1 1
∴f (x)≥f (1)= +1-k≥0,∴k≤ +1 ,
e e
( 1 ]
∴ 实数 k 的取值范围 -∞, +1 . (6 分
e
(2) 由 (1) 得 f (x) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1,+∞) 上单调递增,
∵f (x )=f (x ),∴00 ,则 h'(x)= ,
ex x x2ex
∵ex-x2>1+x+ 1 x2+ 1 x3-x2> 1 x [ ( x- 3) 2 + 15] >0,∴h'(x)= ex-x2 >0 ,∴h(x)= 1 - 1
2 6 6 2 4 x2ex ex x
在 (0,+∞) 上递增,
学科网（北京）股份有限公司1 1 1 1
当 0g(1)=0 , 13 分
∴g(x )=f (x )-f (2-x )>0,∴f (x )=f (x )>f (2-x ) , 15 分
1 1 1 2 1 1
∵f (x) 在 (1,+∞) 上单调递增, ∴x >2-x ,∴x +x >2 . .17 分
2 1 1 2
注: 以上各题其它解法请酌情赋分.
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