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常德市第一中学2025届高三第一次月水平检测 6．对于三次函数 给出定义: 设 是函数 的导数，
数 学
是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐
时量：120分钟 满分：150分
命题人： 审题人：
点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中
一、单选题。（本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是
符合题目要求的。）
心，且“拐点”就是对称中心.给定函数 ，请你根据上面探究结果，
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
计算 （ ）
2．命题“ ， ”的否定是（ ）
A．1010 B．2020 C．2023 D．2024
A． ， B． ，
7． ，均有 成立，则a的取值范围为（ ）
C． ， D． ，
A． B． C． D．
3．设 ， ， ，则（ ）
8．已知函数 ，若 ，使 成立，
A． B． C． D．
4．近年，“人工智能”相关软件以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的
则实数 的取值范围是（ ）
一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学
A． B． C． D．
习率模型为 ，其中 表示每一轮优化时使用的学习率， 表示训练迭代轮数，则学 二、多选题（本题有3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分）
9．下列选项中正确的有（ ）
习率衰减到0.2及以下所需的训练迭代轮数至少为（参考数据： ）（ ）
A．若 ，则
A．16 B．72 C．74 D．90
B．若集合 ，且 ，则实数a的取值所组成的集合是 ．
5．“ ”是“函数 在 单调递增”的（ ）
C．若不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件取值范围是 ．
或
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）
15．（13分）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知向量 满足 ，
D．已知函数 的定义域是 ，则 的定义域是 ．
，且 ．
10．已知 ，且 ，则（ ）
(1)求角 ；
A． 的最小值是 B． 最小值为
(2)若 是锐角三角形，且 ，求 周长的取值范围．
C． 的最大值是 D． 的最小值是
16．（15分）已知正方体 的棱长为 ， ， ， 为线
11．已知函数 ，下列选项中正确的是（ ）
段 上的动点， 是点 关于 所在直线的对称点.
(1)求证： ；
A． 在 上单调递增，在 上单调递减
(2)求三棱锥 的体积；
B． 有极大值
(3)当 时，求二面角 的余弦值的绝对值.
C． 无最小值
D．若函数 恰有6个零点，则实数 的取值范围是
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
17．（15分）数列 满足 ．
12．已知命题“ ，使得 ”是假命题，则实数 的取值范围是 .
(1)求 的通项公式；
13．已知函数 ， 分别是定义在 上的奇函数，偶函数，且 ，则
(2)若 ，求 的前 项和 ．
.
14．设函数 ，若在 上满足 的正整数至多有两个，则实数 的18．（17分）已知椭圆 的右焦点与点 连线的斜率为2，且点
在椭圆 上(其中 为 的离心率)．
(1)求椭圆 的标准方程．
(2)已知点 ，过点 的直线 与 交于A，B两点，直线DA，DB分别交 于M，N两点，
试问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
19．（17分）已知
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)已知 有两个极值点 ，且满足 ，求 的值；
(3)在(2)的条件下，若 在 上恒成立，求 的取值范围．参考答案：
1．C 2．B 3．B 4．C 5．B 6．B 7．B 8．B
9．CD 10．BC 11．ABD 12． 13． 14．
11．【详解】对于A，当 时， ，则 ，当 时， ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以A正确，
对于B，由选项A可知 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 在 处取得极大值，所
以B正确，
对于C，当 时， ，当 时， ，当 时， ，
所以当 时， ，因为 在 上单调递增，在 上单调递减，且当 时， 恒成
立，综上， 的值域为 ，所以 有最小值0，所以C错误，
对于D，因为 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
，
所以 的大致图象如图所示
由 ，得 ，令 ，则 ，
由 的图象可知，要使 有6个零点，则方程 有两个不相等的实数根 ，不妨令 ，
若 ，则由图可知 有6个零点，但 ，所以不符合题意，所以 ，因为
，所以 ，解得 ，即实数 的取值范围是 ，所以D正确，故选：
ABD14． 【详解】由在 上满足 的正整数至多有两个，即在 上满足
的正整数至多有两个，设 ， ，则 ，设 ，
，
则 ， ，设 ， ，则 恒成立，则 在 上单调
递增，即 ，即 ，所以 在 上单调递增，又 ，所以当 时，
，即 ， 单调递减；当 时， ，即 ， 单调递增；
所以当 时， 取最小值，又在 上满足 的正整数至多有两个，则 ，
即 ，故答案为： .
15．(1) 或 .(2)
【详解】（1）解：∵ ，∴ ，即 .由正弦定理得 .
∵ ，∴ ，∵ ，∴ 或 .
（2）∵ ，且三角形 为锐角三角形，∴ .∴由正弦定理得 .
∴ ， .∴ ，
.
又∵ 为锐角三角形，∴ ，∴ ，得 ， .∴ ， ，∴ ，又∵ ，∴ .
∴ 的周长的取值范围为 .
16．(1)证明见解析 (2) (3)
【详解】（1）证明：连接 .由 ，得 ，又 ，则有 ，
正方体 中， 平面 ， 平面 ，得 ，
又正方形 中， ， ， 平面 ，所以 平面 ，
由 平面 ，得 .又 ，所以 .
（2） ， ， ， ，
，有 ，
，∴ .
（3）如图所示，以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角
坐标系.
则 ， ， ， ，当 时，有 ，
则 ， ， .
设 为平面 的一个法向量，∴ ，
令 ，得 ，可得 .设 为平面 的一个法向量，∴ ，
令 ，得 ，可得 .设 所成的角为 ∴.
17．(1) (2)
【详解】（1）数列 满足 ，当 时， ，
两式相减可得， ，所以 ，当 时， 也满足上式，所以 ；
（2）由（1）得 ，所以 ，则 ，
两式相减的， ，所以 ．
18．(1) (2)是定值，定值为
（1）由题意可得 ，解得 故椭圆 的标准方程为 ；
（2）由题意可知直线 的斜率不为0，设直线 的方程为 ， ， ， ，
，
则直线DA的方程为 ．
联立 ，整理得 则 ，即 ．
代入 ，得 ． 同理可得 ．
因为所以直线MN的斜率为定值，且定值为 ．
19．(1) (2) (3)
【详解】（1）当 时， ，所以 ，所以 ．所以曲
线 在点 处的切线方程为 ．
（2）因为 ，所以 ，
因为 有两个极值点 ，所以 有两个大于0的变号零点，所以方程 有两个不等正根，
所以 ，解得 ，又因为 ，即有 ，
整理得 ，代入 ，可得 ，解得 ，
又因为 ，所以可得 ，经检验，符合题意．
（3）由(2)可知 且 ，从而 ，因为 在 上恒成立，
令 ，则有 在 上恒成立，易得 ，
因为 ，所以 ，令 ，对称轴
，
①当 时， ，所以 在 单调递增，从而 恒成立，
所以 在 也恒成立，所以 在 单调递增，从而 恒成立．
②当 时， ，所以 有两个不等实根 （不妨设 ），所以 ，且当 时， ，从而 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，与“ 在 上恒成立”矛盾，
综上， 的取值范围是 ．
