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1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(1) -B提高练
一、选择题
1．（2020安徽安庆高二期中）若点A（2，3，2）关于xoz平面的对称点为A'，点B（﹣2，1，4）
关于y轴对称点为B'，点M为线段A'B'的中点，则|MA|＝（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】C
【解析】∵点A（2，3，2）关于xoz平面的对称点为A'，∴A′（2，﹣3，2），
∵点B（﹣2，1，4）关于y轴对称点为B'，∴B′（2，1，﹣4），
∵点M为线段A'B'的中点，∴M（2，﹣1，﹣1），∴|MA|＝ ＝5．
2．（2020四川广安高二校级月考）已知直线l的方向向量为 ＝（﹣1，0，1），点A（1，2，﹣1）
在l上，则点P（2，﹣1，2）到l的距离为（ ）
A． B．4 C． D．3
【答案】C
【解析】根据题意，得 ＝（﹣1，3，﹣3）， ＝（﹣1，0，1），
∴cos＜ ， ＞＝ ＝﹣ ，∴sin＜ ， ＞＝ ；
又∵| |＝ ，∴点P（2，﹣1，2）到直线l的距离为| |sin＜ ， ＞＝ × ＝ ．
3.如图,已知正方形ABCD的边长为4,E,F分别是AB,AD的中点,GC⊥平面ABCD,且GC=2,则点B到平面
EFG的距离为( )
√10 2√11 3
A. B. C. D.1
10 11 5
【答案】B
【解析】以C为坐标原点,⃗CD所在直线为x轴,⃗CB所在直线为y轴,⃗CG所在直线为z轴,建立空间直角坐标
系,则F(4,2,0),E(2,4,0),G(0,0,2),B(0,4,0),∴⃗BE=(2,0,0),⃗FE=(-2,2,0),⃗EG=(-2,-4,2).
设平面EFG的法向量为m=(x,y,z),则{m·⃗FE=0, {-2x+2y=0, 令x=1,则y=1,z=3,则m=(1,1,3),
即
m·⃗EG=0, -2x-4 y+2z=0.
|⃗BE·m| 2√11
∴点B到平面EFG的距离d= = .
|m| 11
4．（2020山东菏泽三中高二期末）在棱长为a的正方体ABCD﹣ABC D 中，M是AA 的中点，则
1 1 1 1 1
点A到平面MBD的距离是（ ）
A． a B． a C． a D． a
【答案】D
【解析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，A（a，0，0），B（a，a，0），D（0，0，
0），M（a，0， ），则 ＝（a，a，0）， ＝（a，0， ），
设平面BDM的法向量为 ，则 ，
取x＝1，得 ＝（1，﹣1，﹣2），∵ ＝（0，a，0），
∴点A到平面MBD的距离d＝ ＝ ＝ ．故选：D．
5．（2020·湖南高二（理））正方体 的棱长为1，动点 在线段 上，动点 在平
A B C D
面 1 1 1 1上，且 平面 .线段 长度的取值范围为( )A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以 分别为 建立空间直角坐标系，则
， . , ,
由 平面 ，则 且
所以 且 得 ， .
所以
当 时， ，当 或 时， ，所以
6.（多选题）（2020·江苏省如皋中学高二月考）正方体 的棱长为1， 分别为
的中点．则（ ）A．直线 与直线 垂直 B．直线 与平面 平行
C．平面 截正方体所得的截面面积为 D．点 和点 到平面 的距离相等
【答案】BC
【解析】对选项A：（方法一）以 点为坐标原点， 、 、 所在的直线分别为 、 、 轴，
建立空间直角坐标系，则 、 、 、 、 、 .从而
， ，从而 ，所以 与直线 不垂直，选项A错误；
（方法二）取 的中点 ，连接 ，则 为直线 在平面 内的射影， 与 不垂
直，从而 与 也不垂直，选项A错误；
取 的中点为 ，连接 、 ，则 ， ，易证 ，
从而 ，选项B正确；对于选项C，连接 ， ，易知四边形 为平面 截正方体所得的截面四边形（如图所
示），且 ， ，所以 ，而
，从而选项C正确；
对于选项D：（方法一）由于 ，而
，而 ， ，所以 ，即
，点 到平面 的距离为点 到平面 的距离的二倍.从而D错误.
（方法二）假设点 与点 到平面 的距离相等，即平面 将 平分，则平面 必过 的中点，连接 交 于点 ，易知 不是 的中点，故假设不成立，从而选项D错误.
二、填空题
7．（2020 四川南充二中高二期末）如图,直三棱柱 ABC-ABC 的侧棱 AA=√3,在△ABC 中,
1 1 1 1
∠ACB=90°,AC=BC=1,则点B 到平面ABC的距离为 .
1 1
√3
【答案】
2
【解析】如图所示,建立空间直角坐标系,
则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),A(1,0,√3),B(0,1,√3),C (0,0,√3),
1 1 1
∴ =(-1,1,- ), =(-1,0,- ), =(-1,1,0).
⃗A B √3 ⃗A C √3 ⃗A B
1 1 1 1
设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),
1
则
{n·⃗A
1
B=0,
即
{-x+ y-√3z=0,
令z=1得x=- √3 ,y=0,∴n=(- √3 ,0,1).
n·⃗A C=0, -x-√3z=0.
1
∴点B 到平面ABC的距离d=|n·⃗A B | √3.
1 1 1 1 =
|n| 2
8.（2020福建莆田一中高二月考）如图,正方体ABCD-A BC D 的棱长为1,则平面ABD与平面BCD 间的
1 1 1 1 1 1 1
距离为 .√3
【答案】 .
3
【解析】以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则D(0,0,0),A(1,0,1),B(1,1,0),D(0,0,1), =(0,1,-1), =(-1,0,-1), =(-1,0,0).
1 1 ⃗A B ⃗A D ⃗A D
1 1 1 1
设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),
1
则 {n·⃗A 1 B=0, ⇒ { y-z=0, 令z=1,得y=1,x=-1,∴n=(-1,1,1),
n·⃗A D=0 -x-z=0.
1
∴点D 到平面ABD的距离d=|⃗A D ·n| 1 √3.
1 1 1 1 = =
|n| √3 3
易证平面ABD∥平面BCD,
1 1 1
∴平面ABD与平面BCD 间的距离等于点D 到平面ABD的距离,
1 1 1 1 1
√3
∴平面ABD与平面BCD 间的距离为 .
1 1 1
3
9.已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.则点D到平面PEF的
距离为 ，直线AC到平面PEF的距离 .
3√17 √17
【答案】 ； .
17 17
【解析】建立以D为坐标原点,⃗DA,⃗DC,⃗DP分别为x轴,y轴,z轴正方向的空间直角坐标系,如图所示.( 1 ) (1 ) ( 1 1 )
则 P(0,0,1),A(1,0,0), C(0,1,0),E 1, ,0 , F ,1,0 , 所 以 ⃗EF= - , ,0 ,
2 2 2 2
( 1 ) ( 1 )
⃗PE= 1, ,-1 ,⃗DE= 1, ,0 ,
2 2
1 1
{- x+ y=0,
设平面PEF的法向量n=(x,y,z),则{n·⃗EF=0, 2 2
即
n·⃗PE=0, 1
x+ y-z=0.
2
|⃗DE·n| |2+1| 3√17
令x=2,则y=2,z=3,所以n=(2,2,3),所以点D到平面PEF的距离d= = = ,
|n| √4+4+9 17
3√17
因此点D到平面PEF的距离为 .
17
因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC.
又因为AC⊄平面PEF,EF 平面PEF,所以AC∥平面PEF.
因为⃗AE= ( 0, 1 ,0 ) ,所以 ⊂ 点A到平面PEF的距离d= |⃗AE·n| = 1 = √17 .
2 |n| √17 17
√17
所以直线AC到平面PEF的距离为 .
17
10．（2020湖南师大附中高二期中）已知三棱锥S﹣ABC，满足SA，SB，SC两两垂直，且SA＝SB＝SC＝
2，Q是三棱锥S﹣ABC外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为 .
【答案】
【解析】∵三棱锥S﹣ABC，满足SA，SB，SC两两垂直，且SA＝SB＝SC＝2，
∴如图，SA，SB，SC是棱长为2的正方体MNPB﹣ADCS上具有公共顶点S的三条棱，
以B为原点，BM、BP、BS分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则B（0，0，0），A（2，0，2），C（0，2，2），S（0，0，2），N（2，2，0），
＝（2，0，2）， ＝（0，2，2）， ＝（2，2，0），设平面ABC的法向量 ＝（x，y，z），则 ，取x＝1，得 ＝（1，1，﹣2），
三棱锥S﹣ABC外接球就是棱长为2的正方体MNPB﹣ADCS的外接球，
∵Q是三棱锥S﹣ABC外接球上一动点，
∴点Q与N重合时，点Q到平面ABC的距离的最大值，
∴点Q到平面ABC的距离的最大值为：d＝ ＝ ＝ ．
三、解答题
11.（2020银川一中高二月考）如图所示,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=√2,底面
ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,问:线段AD上是否存在一点Q,使得它到平面
√3 AQ
PCD的距离为 ?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.
2 QD
【解析】取AD的中点O,在△PAD中,∵PA=PD,∴PO⊥AD.
又侧面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴PO⊥平面ABCD.
建立如图所示的空间直角坐标系,易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),
则⃗CP=(-1,0,1),⃗CD=(-1,1,0).√3
假设存在点Q,使它到平面PCD的距离为 ,设Q(0,y,0)(-1≤y≤1),则⃗CQ=(-1,y,0).
2
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则{n·⃗CP=0,
0 0 0
n·⃗CD=0,
∴{-x
0
+z
0
=0,
即x 0 =y 0 =z 0 ,取x 0 =1,
-x + y =0,
0 0
则平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).
|⃗CQ·n| |-1+ y| √3 1 5
∴点Q到平面PCD的距离d= = = ,∴y=- 或y= (舍去).
|n| √3 2 2 2
此时⃗AQ= ( 0, 1 ,0 ) ,⃗QD= ( 0, 3 ,0 ) ,则|⃗AQ|= 1 ,|⃗QD|= 3 .
2 2 2 2
AQ 1
∴存在点Q满足题意,此时 = .
QD 3
12．（2020四川广元二中高二月考）已知Rt△ABC如图（1），∠C＝90°，D．E分别是AC，AB的中点，
将△ADE沿DE折起到PDE位置（即A点到P点位置）如图（2）使∠PDC＝60°．
（I）求证：BC⊥PC；
（Ⅱ）若BC＝2CD＝4，求点D到平面PBE的距离．
【解析】（I）证明：∵Rt△ABC如图（1），∠C＝90°，D．E分别是AC，AB的中点，
将△ADE沿DE折起到PDE位置（即A点到P点位置）如图（2）使∠PDC＝60°．
∴DE⊥DC，DE⊥PD，DE∥BC，
∵PD∩DC＝D，∴DE⊥平面PCD，∴BC⊥平面PCD，
∵PC 平面PCD，∴BC⊥PC．
（Ⅱ）⊂解：∵D．E分别是AC，AB的中点，∠PDC＝60°，BC＝2CD＝4，
∴CD＝PD＝PC＝2，
取CD中点O，BE中点M，连结PO，MO，则OP，OD，OM两两垂直，
以O为原点，OD为x轴，OM为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则D（1，0，0），P（0，0， ），B（﹣1，4，0），E（1，2，0），
＝（1，0，﹣ ）， ＝（﹣1，4，﹣ ）， ＝（1，2，﹣ ），
设平面PBE的法向量 ＝（x，y，z），
则 ，取x＝1，得 ＝（1，1， ），
∴点D到平面PBE的距离为：d＝ ＝ ＝ ．
