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® YIWU JIAOYU JIAOKESHU
SHUXUE 义
务
义务教育教科书 数学
教
育
教
科
书
数学 五年级 下册
数
五年级
学
下册
五
年
级
下
册
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定价： 元
（（央央美美））小小数数五五年年级级下下册册--（（出出片片））封封面面..iinndddd 11 22002222//1122//2277 1111::2288义 务 教 育 教 科 书
数学
五年级
下册
人民教育出版社 课程教材研究所
小学数学教材编委会
·北 京·绘 图：中央美术学院小学数学教材插图绘制团队
责任编辑：熊 华
美术编辑：金 葆
义务教育教科书 数学 五年级 下册
人民教育出版社 课程教材研究所
小学数学教材编委会
出 版
（北京市海淀区中关村南大街 17 号院 1 号楼 邮编：100081）
网 址 http://www.pep.com.cn
版权所有·未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分·违者必究编者的话
新的学期开始了，你对数学有什么期待呢？
在前面的学习中，你已经初步认识了分数。本学期，你将进一步
理解分数的含义，体会分数与整数、小数的关联，掌握分数加、减法
的计算法则。你还会继续探索整数的奥秘，从因数和倍数的概念出发，
体会整数的特点。
生活中，你一定见过很多长方体、正方体的物品。本学期，你将从
数学的角度来探究长方体、正方体的特征，探索它们的表面积、体积的
计算公式，并运用这些知识解决实际问题。
此外，你还将通过观察物体、图形的运动进一步丰富空间想象力；
根据折线统计图展现的数据变化趋势进行合理的预测，感受数据的
作用和统计的价值；通过“找次品”活动感悟推理和数学模型的思想
方法……
和聪聪一起出发吧！用你的努力和智慧，去探索数学的奥秘！目 录
1 观察物体（三）
2
2 因数和倍数
5
3 长方体和正方体
18
探索图形
44
4 分数的意义和性质
455 图形的运动（三）
83
6 分数的加法和减法
89
怎样通知最快
102
7 折线统计图
104
8 数学广角——找次品
112
9 总复习
1151
观察物体（三）
1 按要求摆一摆。
（1）用 个同样的小正方体摆出从前面看是 的几何体。
4
小明这样摆： 小红这样摆：
你是怎样摆的？
（2）如果再增加 个同样的小正方体，要保证从前面看到的图形不变，
1
可以怎样摆？
小明这样摆： 小红这样摆：
你是怎样摆的？你有什么发现？
2 下面是从三个方向观察同一个几何体看到的图形，你能摆出这个几何
体吗？
从前面看 从左面看 从上面看
先根据从前面看到 再根据从左面看到的图形接
的图形摆出…… 着摆，可以有不同的摆法……
摆完后观察一下，说一说你有什么发现。
2练习一
1 用 个同样的小正方体按要求摆几何体。
5
（1）从前面看是 。
（2）在第（1）题的基础上，从上面看是 。
2 下面两个小题分别是从不同位置观察同一个几何体所看到的图形，请分别
把被观察的几何体摆出来。
（1）
从前面看 从左面看 从上面看
（2）
从前面看 从左面看 从上面看
3 下面是用同样的小正方体摆出的一些几何体。
① ② ③ ④ ⑤
⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
（1） 哪些从前面看是 ？哪些从左面看是 ？
（2） 从前面观察一个几何体，看到的图形和从前面观察⑤所看到的一样。
这个几何体是用 个小正方体摆成的，它有多少种不同的摆法？
5
（3） 同桌之间互相提一个问题并解答。
34 哪个几何体符合从前面看是 ， 从上面看是 的要求？
在括号里画“ ”。
（ ） （ ） （ ）
5 从前面观察一个由同样的小正方体组成的
几何体，看到的图形如下图，这个几何体
可能是怎样摆的？
可能是由 个小
3
正方体摆成的。
（1） 这个几何体如果是由 个小正方体组成的，可以怎样摆？
4
（2） 这个几何体如果是由 个、 个、 个或更多的小正方体组成的，可
5 6 7
以怎样摆？
6 用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的
图形如右图（每个正方形上面的数字表示在这个 3 1
1 2
位置上所用的小正方体的个数）。这个几何体，
从前面看是 ，从左面看是 。
① ② ③ ④
本单元结束了， 我的收获：
你想说些什么？
成长小档案 我的疑问：
42
因数和倍数
1. 因数和倍数的认识
1 在前面的学习中，我们知道两个整数相除，结果有下面两种情况。
第 ÷ ÷ 第 ÷ ...... ÷ ......
12 2=6 20 10=2 8 3=2 2 9 5=1 4
一 ÷ ÷ 二
30 6=5 21 21=1 ÷ ...... ÷ ......
种 ÷ 种 19 7=2 5 26 8=3 2
63 9=7
在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为 ），我们
0
就说除数是被除数的因数（也称约数），被除数是除数的倍数。
例如， ÷ ，我们就说 是 的因数， 是 的倍数。
12 2=6 2 12 12 2
因为
12
÷
6=2
，
2
×
6=12
，
2
和
所以也可以说 是 的因数，
6 12
是 的因数， 是 和 的
6 12 ÷ 12 2 6
12 2=6
是 的倍数。 倍数。
12 6 ÷
12 6=2
×
2 6=12
说一说：上面第一种情况的每个算式中，谁是谁的因数？
谁是谁的倍数？
因数和倍数是相互依存的。
注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所指的数是自然数（一
般不包括 ）。
0
做一做
下面的 组数中，谁是谁的因数？谁是谁的倍数？
4
和 和 和 和
4 24 26 13 75 25 81 9
52 的因数有哪些？
18
÷
18 1=18 想 除以几
÷ 18
18 2=9 没有余数……
……
的因数有 ， ， ， ， ， 。
18 1 2
说一说：你是怎样找到 的因数的？
18
的因数
18
一个数的因数也可以像右图这样表示。
， ， ，
1 2
的因数有哪些？ 呢？ ， ，
30 36
3 的倍数有哪些？
2
×
2 1=2
×
找倍数用乘法 2 2=4
×
更方便…… 2 3=6
……
的倍数有 ， ， ，…。
2 2 4 6
说一说：你是怎样找到 的倍数的？
2
的倍数
2
一个数的倍数也可以像右图这样表示。
， ， ，
2 4
的倍数有哪些？ 呢？ ， ，
3 5
，…
在上面找因数和倍数的过程中，你有什么发现？
1. 一个数的最小因数是 ，最大因数是 ；
2. 一个数的最小倍数是 ， 最大倍数；
3. 一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是
无限的。
6练习二
1 把符合条件的数填入相应的热气球里。
的因数 的因数
36 60
1 2 3 4 5 6 8 9
10 12 15 16 18
20 24 30 36 60
2 （1）写出下面各数的因数。
10 17 28 32 48
（2）写出下面各数的倍数（各写 个）。
5
4 7 10 6 9
3 找出 的倍数，把相应的星星涂上黄色。
5
55
35
48
5 10
92 81
27 100
60
8 12
4 的因数有哪些？ 是哪些数的倍数？
15 15
5 判断下面的说法是否正确，并说一说你的理由。
（1） 是 ， ， ，…的因数。
1 1 2 3
（2） 的倍数只有 ， ， ， ， 。
8 16 24 32 40 48
（3） 因为 ÷ ，所以 是 的倍数。
36 9=4 36 9
（4） . 是 的倍数。
5 7 3
76 填空。
（1） 的因数有 个， 的因数有 个， 的因数有 个。
1 7 10
（2） 一个数的最大因数和最小倍数都是 ，这个数是 。
18
（3） 一个数的最小倍数是 ，这个数是 。
1
7 猜数游戏。
它是 的因数， 它可能是 ， ， ，
42 7 14 21
又是 的倍数。 中的一个。
7 42
它也是 和 的 我知道了，它
2 3
倍数。 是 。
8 （1） 、 都是 的倍数， 与 的和是 的倍数吗？
14 21 7 14 21 7
（2） 、 都是 的倍数， 与 的差是 的倍数吗？
27 18 9 27 18 9
通过这两个小题，你有什么发现？你能再举几个例子验证你的发现吗？
你知道吗？
完全数
的因数有 ， ， ， ，这几个因数的关系是： 。像 这样，
6 1 2 3 6 1+2+3=6 6
等于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫作完全数。
也是完全数，而 则不是，因为 ≠ 。完全数非常稀少，
28 8 1+2+4 8
截至 年，人们一共找出了 个完全数，其中较小的有 ， ，
2021 51 6 28
， 等。
496 8128
完全数还有一个有趣的性质，它们都能写成连续自然数之和。不信你
可以试试看。
82. 、 、 的倍数
2 5 3
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
（1） 把上表中 的倍数圈起来，看看 的倍数有什么特征。
5 5
（2） 把上表中 的倍数框起来，看看 的倍数有什么特征。
2 2
的倍数个位上的数
的倍数个位上 2
5
是 ， ， ， 或 。
的数是 或 。 0 2 4 6 8
0 5
一个数个位上是 或 ，这个数就是 的倍数吗？一个数个位上
0 5 5
是 ， ， ， 或 ，这个数就是 的倍数吗？举例验证一下。
0 2 4 6 8 2
1. 个位上是 ， ， ， 或 的数，都是 的倍数；
0 2 4 6 8 2
2. 个位上是 或 的数，都是 的倍数。
0 5 5
整数中，是 的倍数的数叫作偶数（ 也是偶数），不是 的倍数的数
2 0 2
叫作奇（jU）数。
做一做
下面哪些数是 的倍数？哪些数是 的倍数？哪些数既是 的倍数，又是
2 5 2
的倍数？你发现了什么？
5
35 67 99 106 60 75 130 521 280 6018
92
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
把上表中 的倍数圈起来，看看 的倍数有什么特征。
3 3
的倍数个位上可以是 斜着看， 的倍数
3 3
~ 中任何一个数。 各位上的数的和
0 9
都是 的倍数。
3
任意找几个 的倍数，把各位上
3
的数相加，看看有什么规律。
一个数各位上的数的和是 的倍数，这个数就是 的倍数吗？
3 3
举例验证一下。
一个数各位上的数的和是 的倍数，这个数就是 的倍数。
3 3
做一做
下面用数字卡片摆出的数中哪些是 的倍数？
3
2 4 5 8 4 7 9 6
在每个数后面增加一张数字卡片，使这个三位数成为 的倍数。
3
10练习三
1 下面哪些数是奇数？哪些数是偶数？
33 98 355 0 123 881
8089 1000 988 565 3678 677
2 按要求填写数字。
（1） 两个数位上的数相同，并且是 的倍数。
5
（2） 既是 的倍数，又是 的倍数。
3 5 2 5
（3） 既是 的倍数，又是 的倍数的最小三位数。
2 5
3 圈出 的倍数。
3
92 75 36 206 65 3051 779 99999
111 49 165 5988 655 131 2222 7203
4
你能说出 个是 的 你能说出 个是 的
3 3 3 5
倍数的偶数吗？ 倍数的奇数吗？
5 在 里填一个数字，使组成的每个数都是 的倍数。各有几种填法？
3
7 4 2 44 65 12 1
6 （1） “一五，一十，十五，二十……”这样数数，数出来的数都是
的倍数，第 个数是 。
12
（2） ， ， ， ，…， ， ， ， 。这些数中的每个数都是
100 98 96 94 8 6 4 2
的倍数，其中第 个数是 。
15
117 妈妈在花店买了一些马蹄莲和郁金香，店员说妈妈应付 元。按照下面
87
的价格计算，店员说得对吗？
8 判断下面的说法是否正确，并说一说你的理由。
（1） 个位上是 ， ， 的数，都是 的倍数。
3 6 9 3
（2） 个位上是 ， ， ， ， 的数，都是奇数。
1 3 5 7 9
（3） 在全部整数里，不是奇数就是偶数。
9 现在有 名学生分组玩游戏，至少再来几名学生就可以正好 人一组？
22 3
10 从下面四张数字卡片中按要求取出三张，组成三位数。
奇数 偶数
4 3
的倍数 的倍数
2 5
0 5 的倍数 既是 的倍数，又是 的倍数
3 2 3
11 先圈出 的倍数，再回答下面的问题。
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
（1） 的倍数都是 的倍数吗？
4 2
（2）只看个位，能否判断一个数是不是 的倍数？ 应该怎样判断？
4
1212 （1） 既是 和 的倍数，又是 的倍数的最小两位数是 。
2 5 3
（2） 既是 的倍数，又是 的倍数的最小三位数是 ，最大三位数
2 3
是 。
生活中的数学
街道一边的门牌号是奇数，
34
43
另一边的是偶数。
公民身份号码中的第 位
17
数字可以分辨性别，奇数为男性，
偶数为女性。
你知道吗？
（1）判断一个数是不是 或 的倍数，为什么只用看个位数？
2 5
一个数可以根据数的组成进行改写，比如：
× ×
24=2 10+4 1
奇数 偶数
× × × ×
2485=2 1000+4 100+8 10+5 1
的倍数 的倍数
其中 ， ， 都是 或 的倍数，所以只要个位上的数
2 5
10 100 1000 2 5
的倍数 既是 的倍数，又是 的倍数
是 或 的倍数，这个数就是 或 的倍数。
3 2 3
2 5 2 5
（2）判断一个数是不是 的倍数，为什么要看各位上数的和？
3
可以按（1）的思路进行分析。
× × × ×
2485=2 1000+4 100+8 10+5 1
×（ ） ×（ ） ×（ ）
=2 999+1 +4 99+1 +8 9+1 +5
× × × （ ）
=2 999+4 99+8 9+ 2+4+8+5
其中 ， ， 都是 的倍数，括号中是这个数各个数位上的
9 99 999 3
数，所以只要这些数的和是 的倍数，这个数就是 的倍数。
3 3
试一试：你能继续找到判断 的倍数的方法吗？
9
133. 质数和合数
找出 ~ 各数的因数，按要求填写下表。
1 20
只有一个因数的数 只有 和它本身两个因数的数 有两个以上因数的数
1
一个数，如果只有 和它本身两个因数，这样的数叫作质数（或素数）。
1
如 ， ， ， 都是质数。
2 3 5 7
一个数，如果除了 和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数。如 ，
1 4
， ， 都是合数。
6 15 49
既不是质数，也不是合数。
1
1 找出 以内的质数，做一个质数表。
100
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
先把 的倍数划去，
可以逐一验证 2
除外，划掉的这些
每个数，看哪 2
数都不是质数。再
些是质数。
把 的倍数划去……
3
想一想：划到几的倍数就可以了？
142 奇数与偶数的和是奇数还是偶数？奇数与奇数的和是奇数还是偶数？
偶数与偶数的和呢？
阅读与理解
题目让我们探究“奇数、偶数的和”的问题。可以这样表示：
奇数 偶数 ？
+ = 奇数
奇数 奇数 ？
+ =
偶数
偶数 偶数 ？
+ =
分析与解答
还可以用小方块摆一摆。
我先用几个奇数、
奇数： ……
偶数试一试。
偶数： ……
， ……
5+8=13 7+8=15
， ……
奇数 偶数：
5+7=12 7+9=16
+
， ……
8+12=20 12+24=36
+ =
奇数除以 余 ，偶数除以
2 1
没有余数，奇数加偶数的
2
和除以 还余 ，所以……
2 1
奇数 偶数 奇数，奇数 奇数 ，偶数 偶数 。
+ = + = + =
回顾与反思
得出的结论正确吗？可以再找一些大数试一试。
所以，奇数 偶数 奇数。
319+534=853 + =
还有其他方法吗？你觉得哪种方法好？
15练习四
1 判断下面的说法是否正确，并说一说你的理由。
（1） 所有的奇数都是质数。
（2） 所有的偶数都是合数。
（3） 在 ， ， ， ， ，…中，除了质数以外都是合数。
1 2 3 4 5
（4） 两个质数的和是偶数。
2 将下面各数分别填入相应的框里。
27 37 41 58 61 73 83 95
11 14 33 47 57 62 87 99
质数 合数 奇数 偶数
3 你知道下面的数各是多少吗？
我们两个的 我们两个的 我们两个的 我们两个的
和是 。 积是 。 和是 。 积是 。
10 21 20 91
质数 质数 质数 质数
我是最小的 我是最小的
质数。 合数。
4 奇数与奇数的积是奇数还是偶数？奇数与偶数的积是奇数还是偶数？偶数
与偶数的积呢？
165 名学生要分成甲、乙两队。如果甲队人数为奇数，乙队人数为奇数还
30
是偶数？如果甲队人数为偶数呢？
6 两人一组，一人说出大于 的偶数，另一人找出和为此数的两个质数。
2
偶数 。
10 。
3+7=10
7 探索 的倍数的特征，并记录你探索的过程和结果。
6
你知道吗？
哥德巴赫猜想
从上面第 题的游戏中我们可以看到： ， ， ，
6 4=2+2 6=3+3 8=5+3
， ， ……那么，是不是所有大于 的偶数，
10=7+3 12=7+5 14=11+3 2
都可以表示为两个质数的和呢？
这个问题是德国数学家哥德巴赫最先提出的，所以被称作哥德巴赫猜
想。哥德巴赫猜想看似简单，但要证明却非常困难，因而成为数学中一个
著名的难题，被称为“数学皇冠上的明珠”。
世界各国的数学家都想攻克这一难题，但至今还未解决。我国数学家
陈景润在这一领域取得了举世瞩目的成果。
本单元结束了， 我的收获：
你想说些什么？
成长小档案 我的疑问：
173
长方体和正方体
1. 长方体和正方体的认识
生活中许多物体的形状都是长方体或正方体（正方体也叫立方体）。
国家游泳中心 联合国总部大楼
长方体
顶点：棱和棱的交点
面 棱：面和面相交的线段
1 拿几个长方体的物品来观察，并将小组同学的发现填在下页的表中。
有些面是完全相同的。
长方体有
个面。
6
18（1） 长方体有 个面。 （4） 长方体有 条棱。
（2） 每个面是什么形状的？ （5） 哪些棱长度相等？
（3） 哪些面是完全相同的？ （6） 长方体有 个顶点。
通过以上的观察和讨论可以知道：长方体一般是由 个长方形（特殊情
6
况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。在一个长方体中，相对的面
完全相同，相对的棱长度相等。
2 用细木条和橡皮泥做一个长方体框架。
需要不同长度
的细木条。
根据制作过程，回答下面的问题。
（1） 长方体的 条棱可以分成几组？
12
（2） 相交于同一顶点的 条棱的长度相等吗？
3
高
相交于同一顶点的 条棱的长度分别叫作长方体
3 宽
长
的长、宽、高。
做一做
剪下本书附页中图 的图样，按要求做一做。
1
（1） 把图样中完全相同的长方形涂上同样的颜色。
（2） 用这个图样做一个长方体。
（3） 量一量所做长方体的长、宽、高各是多少厘米。
（4） 观察这个长方体，最多能看到几个面？
19正方体
3 拿一个正方体的物品来观察，并将小组同学的发现填在下面。
（1） 正方体的 个面 。
6 棱
（2） 正方体的 条棱 。
12 棱
棱
通过观察可以知道：正方体是由 个完全相同的正方形围成的立体图形，
6
所有的棱长度相等。
剪下本书附页中图 的图样做一个正方体，再量出它的棱长是多少厘米。
2
讨论一下：长方体和正方体有哪些相同点？有哪些不同点？
长方体和正方体都有 正方体的棱长度都相等，
个面、 个顶点…… 长方体相对的棱……
6 8
正方形是特殊的
长方形，所以……
正方体是长、宽、高都相等的长方体。我们 长方体
可以用右图表示长方体和正方体的关系。
正方体
做一做
用棱长 cm的小正方体搭一搭。
1
（1） 搭一个稍大一些的正方体，至少需要多少个小正方体？动手试一试。
（2） 用 个小正方体搭一个长方体，可以有几种不同的搭法？记录搭出
12
的长方体的长、宽、高。
（3） 搭一个 个面都是正方形的长方体，你发现了什么？
4
20练习五
1 （1） 这个纸巾盒的前面是什么形状？长和
宽各是多少？和它相同的面是哪个？
（2） 这个纸巾盒的右面是什么形状？长和
m
宽各是多少？和它相同的面是哪个？ c
2
1
cm
（3） 哪几个面的长是 cm，宽是 cm？ 24
24 12
mc
9
2 一个长、宽、高分别为 cm、 cm、 cm的小纸箱，在所有的棱
40 30 20
上粘上一圈胶带，至少需要多长的胶带？
3 （1） 和 a平行的棱有几条？
（2） 和 a 相交且垂直的棱是哪几条？
a
（3） 和 b 平行的棱有几条？
c （4） 你还能发现什么？
b
4 （1） 这个魔方是什么形状的？
（2） 它的棱长是多少？
（3） 它有几个面的形状完全相同？
1
0
c
m
cm
10
5
mc
01
为迎接“五一”国际劳动节，工人叔叔要在礼堂的四周装上彩灯（地面的
四边不装）。已知礼堂长 m，宽 m，高 m，工人叔叔至少需要多
90 55 22
长的彩灯线？
21左边的长方体是用棱长 cm的小正方体拼成的。右边的图形中哪一个是
1
这个长方体 个面中的一个？用“ ”标出来，并注明有几个这样的面。
6
cm
2
cm
4
mc
4
cm
3
mc
2
mc
2
（ ）个
cm
3
mc
3
cm
4
（ ）个
（ ）个 （ ）个
mc
2
（ ）个
cm
3
（ ）个
mc
4
6
7 下图分别是长方体或正方体一个顶点处的 条棱。（单位：cm）
3
7 7 7
9 7 7
4 4 7
从以下图形中选择 个面（可重复选择），围出上面的长方体或正方体。
6
③ ④ ⑤
② 4 4 4 ⑥
① 7 7
9
9 4 7
9 7
9
8 正方体的 个面分别写着A、C、D、E、F、I。与A、E、I相对的面分别
6
是哪个面？
把正方体转一下 再转一下
A F C
你知道吗？
几何学和欧几里得
几何学是数学学科的一个重要分支，它源于土地测量等实际需要。
古希腊数学家欧几里得被称为“几何学之父”，他的著作《原本》在数学
发展史上有着深远的影响。
222. 长方体和正方体的表面积
一个长方体或正方体的纸盒展开后是什么形状的？
我展开了一个长方体的纸盒。
要沿着棱剪开！
正方体的纸盒可以
这样展开。
把长方体和正方体的 个面分别展开，如下图所示。
6
请在上面的展开图中，分别用“上、下、前、后、左、右”标明 个面。
6
观察长方体展开图，回答下面的问题。
（1） 哪些面的面积相等？
（2） 每个面的长和宽与长方体的长、宽、高有什么关系？
做一做
折叠后，下面哪些图形能围成左侧的正方体？在括号里画“ ”。
（ ） （ ） （ ）
23长方体或正方体 个面的面积之和，叫作它的表面积。
6
在日常生活和生产中，经常需要计算一些长方体或正方体的表面积。
1 制作尺寸如下图所示的长方体和正方体保温箱，各需要多少平方分米
的泡沫板？（单位：dm）
先观察长方体保温箱：
上、下每个面，长 ，宽 ，面积是 ；
前、后每个面，长 ，宽 ，面积是 ；
左、右每个面，长 ，宽 ，面积是 。
个面的面积相加……
6
长方体相对的面面积
相等，我先算……
× × × × × × （ × × × ）×
6 5 2+6 4 2+5 4 2 6 5+6 4+5 4 2
= =
想一想：正方体 个面都相同， 表面积可以怎样计算？
6
做一做
一个长 . m、宽 . m、高 . m的简易衣柜
0 75 0 5 1 6
需要换布罩（如右图，没有底面）。至少需要用多少
平方米布料？
m
.
6
1
5
5
4 5
5
6
想：求需要多少平方分米的泡沫板就是要求什么？
. m
0 5
. m
0 75
24练习六
1 在展开图上找出相对的面，并用
“上、下、前、后、左、右”标出，
再用a、b、c标出每条棱。
晨钟 冬
夏
a 春对
秋 暮鼓
c 秋对
b
春 暮鼓对
cm
4
做一个长 dm、宽 dm、高 dm的长方体布艺收纳盒，至少需要多少平
5 4 3
方分米的布？
一个长方体的饼干盒，长 cm，宽 cm，高 cm。如果围着它贴一
10 6 12
圈商标纸（上、下面不贴），这张商标纸的面积至少有多少平方厘米？
mc
2 m c
3 cm
2
（1） 计算各长方体中前面的面积。
（2） 计算各长方体中右侧面的面积。
（3） 计算各长方体中上面的面积。
（4） 计算各长方体的表面积。
mc
.
5
2
2 将下面的展开图围成正方体后，
哪两个面分别相对？
3
m c
2 cm
2
4
5
6 把一个棱长 cm 的正方体纸箱各面都贴上红
46
纸，作为捐款箱。
（1） 至少需要多少平方厘米的红纸？（开口处忽
略不计。）
（2） 如果只在棱上粘贴一圈胶带纸，一卷 . m
4 5
长的胶带纸够用吗？
mc
2 m c
3
257 先根据给出的数据判断物体是正方体还是长方体，再计算表面积。
图形名称 长 宽 高 表面积
cm cm cm
15 15 10
m m m
12 12 12
dm dm dm
13 12 10
8 一个正方体玻璃鱼缸的棱长为 dm，制作这个鱼缸至
3
少需要多少平方分米的玻璃？（上面没有盖。）
9 一个正方体礼品盒的棱长为 . dm。如果包装这个礼品盒的用纸是其表
1 2
面积的 . 倍，至少要用多少平方分米的包装纸？
1 5
10 一个新建的游泳池长 m，长是宽的 倍，深 . m。现在要在游泳池
50 2 2 5
的四周和底面贴上瓷砖，一共需要贴多少平方米的瓷砖？
11 学校要粉刷教室。已知教室的长是 m，宽是 m，高是 m，门窗的
8 6 3
面积是 . m2 。如果每平方米需要花 元涂料费，粉刷这个教室需要
11 4 6
多少涂料费？
12 右面这个颁奖台是由 个长方体拼成的。
3
它的前后两面涂黄色油漆，其他露出来的
面涂红色油漆。涂黄色油漆和红色油漆的
面积各是多少？（单位：cm）
13 如何把右面这个长方体木块分成两个棱长为
cm 的正方体？这两个正方体的表面积之和
4 m
c
与原长方体的表面积相等吗？
4
mc
4
11
22
33
40
cm
8
56 04
0
4
40 40
01
263. 长方体和正方体的体积
体积和体积单位
说一说：乌鸦是怎样喝到水的？
实验观察：
1. 准备两个同样大小的空杯子，将其中一杯装满水；
2. 取一块小石头放进空杯子里，将第一杯中的水倒进这个杯子里；
3. 换一块大一点的石头再试一试。
你发现了什么？
石头占了一部分空 石头越大，剩下的
间，水就剩下了。 水就越多。
物体所占空间的大小叫作物体的体积。
上面的洗衣机、电饭锅和手机，哪个体积最大？哪个体积最小？
27怎样比较下面两个长方体体积的大小呢？
想一想：计量长度有统一的长度单位，计量面积有统一的面积单位，计量
体积是不是也应该有统一的体积单位呢？
计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，
可以分别写成cm3 、dm3 和m3 。
棱长 cm的正方体， 棱长 dm的正方体， 棱长 m的正方体，
1 1 1
体积是 cm3 。 体积是 dm3 。 体积是 m3 。
1 1 1
手指尖的体积 粉笔盒的体积 用 根 m长的木条
3 1
大约是
1
cm3 。 接近于
1
dm3 。 可围出
1
m3 的空间。
做一做
1 cm、 cm2 、 cm3 分别是什么单位？它们有什么不同？
1 1 1
2 下面是用棱长 cm的小正方体拼成的几何体，它们的体积各是多少？
1
28讨论一下：怎样计算长方体的体积？
求长方体的体积就 把长方体分成若干
是看长方体有多少 单位体积的小正方
个体积单位。 体，就可以……
实验：用体积为 cm3 的小正方体摆成不同的长方体。说一说你是怎么
1
摆的。
（1） 把小组内摆法不同的长方体的相关数据填入下表。
长 宽 高 小正方体的个数 长方体的体积
（2） 观察上表：摆出的长方体的体积与长、宽、高有什么关系？
长方体所含体积单位的 长方体的体积正好等
个数就是长方体的体积。 于长×宽×高的积。
长方体的体积 __________________________
=
29如果用字母 V 表示长方体的体积，用 a、b、h 分别表示长方体的长、
宽、高，那么长方体的体积计算公式可以写成：
h
V
=
a b h
b
a
想一想：根据正方体和长方体的关系，正方体的体积应该怎样计算？
如果用字母 V 表示正方体的体积，用 a 表示正方体的棱长，那么正方体
的体积计算公式可以写成：
V a . a . a
a =
a
a
a·a·a也可以写作a3 ，读作
“a的立方”，表示 个a相乘。
3
正方体的体积计算公式一般写成：
V a3
=
1 保温箱的尺寸如下图所示，计算它们的体积。（单位：dm）
5
4
5 5
6 5
V a b h V a3
= =
× × 3
=6 5 4 = 5
（dm3 ） × ×
= = 5 5 5
（dm3 ）
=
30长方体或正方体底面的面积叫作底面积。
底面 底面
长方体的体积 长× 宽× 高 正方体的体积 棱长× 棱长× 棱长
= =
底面积 底面积
所以，长方体和正方体的体积计算公式也可以这样表示：
长方体（或正方体）的体积=底面积×高
如果用字母S表示底面积，上面的公式可以写成：
V = S h
做一做
1 一块长方体豆腐的尺寸如下图 2 一根长方体木料，长 m，横
5
所示，它的体积是多少？ 截面的面积是 . m2 。这根
0 06
木料的体积是多少？
m
c
5
m
c
15 cm 7 0
.
06
m2
生活中的数学
乘飞机时免费行李的尺寸限制如下图。
cm
40
cm
20 cm 100
cm
55
随身行李 托运行李
cm
cm
60
40
你知道其他交通工具关于行李尺寸的规定吗？
31练习七
1 下面哪堆物品的体积大？为什么？
2 下面各图分别是用棱长 cm 的小正方体拼成的，哪个图形体积最大？
1
哪个体积最小？在横线上标注出来。
3 在横线上填写合适的体积单位。
集装箱的体积约 电饭锅的体积约 橡皮的体积约
是 是 是
40 25 10
4 说一说：你在生活中见过的体积最大的物体是什么？体积最小的物体是什
么？在生活中能找出哪些体积分别是 cm3 、 dm3 、 m3 的物体？
1 1 1
5 右图是由 个棱长 cm 的小正方体拼成的。怎样把它
9 1
变成一个长方体？新组成的长方体的体积是多少？
6 算一算。
3 ×
4 = 4 3= 4+4+4=
2 ×
8 = 8 2= 8+8=
327 计算下面各立体图形的体积。
dm cm
9 10
m
10
dm
m 5 m dm 9 cm 3 cm
16 9 3
8 要在平地上挖一个长 m、宽 m、深 cm 的长方体土坑，一共要
50 30 50
挖出多少方的土？
在工程上，土、沙、石等
的体积常用“方”作单
位， 方 立方米。
1 =1
9 一块棱长 cm的正方体冰块，它的体积是多少立方厘米？
30
10 把下表中长方体或正方体的相关数据补充完整。
底面积
32
cm2
40
cm2
54
cm2
高 dm m cm
5 9 7
体积
448
cm3
729
m3
11 家具厂订购 根方木，每根方木横截面的面积是 . dm2 ，长是 m。
500 2 4 3
这些方木一共是多少立方米？
12 （1）估计一本数学书的体积是多少，再测量并计算。
（2）估计一件长方体家具的体积是多少，再测量并计算。
（3）说一说上面两个小题你是如何估计的。怎样估计更准？
33体积单位间的进率
我们知道了长度单位间、 面积单位间的进率，体积单位间的进率是多少呢？
2 下图是一个棱长为 dm的正方体，体积是 dm3 。它的体积是多少
1 1
立方厘米呢？
dm cm
1 10
如果把它的棱长看作 它的底面积是 cm2 ，
100
cm，可以把它分 高是 cm， × ，
10 10 100 10
成 个 cm3 的小 体积是 cm3 。
1000 1 1000
正方体。
× × = （cm3 ）
10 10 10 1000
1
dm3 =
1000
cm3
仿照上面的方法，你能推算出 m3 等于多少立方分米吗？
1
1
m3 = dm3
下面是我们学过的计量单位，请把下表补充完整。
计量类型 单位名称 相邻两个单位间的进率
长度 米、分米、厘米
面积 平方米、平方分米、平方厘米
体积 立方米、立方分米、立方厘米
343 （1） . m3 是多少立方分米？ （2） cm3 是多少立方分米？
3 8 2400
想： m3 = dm3 想： cm3 = dm3
1 1000 1
. m3 = dm3 cm3 = dm3
3 8 2400
4 右面这个牛奶包装箱的体积是多少？
箱上的尺寸表示的是这
个长方体的长、宽、高。
V a b h
3
0 cm 50
cm
=
× ×
= 50 30 40
（cm3 ）
= 60000
cm3 dm3 m3
60000 = =
做一做
1 . dm3 = cm3 dm3 = m3 . m3 = cm3
3 5 700 0 25
2 要砌一面长 m、厚 cm、高 m的砖墙，如果每立方米用砖 块，
15 24 3 525
至少要用砖多少块？
尺 寸 （ mc ） ： 05 × 03 × 04
mc
04
你知道吗？
人们很早就得出了长方体、圆柱等立体图形的体积计算公式。我国
古代数学名著《九章算术》中，集中而正确地给出了立体图形的体积计
算公式。书中在求底面是正方形的长方体体积时，是这样说的：“方自
乘，以高乘之即积尺。”就是说，先用边长乘边长得底面积，再乘高就
得到长方体的体积。
35练习八
1 . m3 = dm3 dm3 = m 3 cm2 = dm2
1 02 960 6270
cm3 = m3 . m2 = dm2 dm3 = cm3
36000 8 63 23
2 一个长方体包装盒，从里面量长 cm，宽 cm，里面的体积为 . dm3 。
28 20 1176
用它装一件长 cm、宽 cm、高 cm的玻璃器皿，是否装得进去？说一
25 16 18
说你的理由。
3 某小区新安装了 个混凝土凳子（如右图
50
所示）。凳面的长、宽、高分别是 cm、
100
cm、 . cm，凳腿的长、宽、高分别是
45 4 5
cm、 cm、 cm。做这些凳子至少用
45 5 35
了多少方混凝土？
4 “六一”儿童节前，小学生用棱长 cm的正方体塑料拼插积木在广场中央
3
搭起了一面长 m、高 . m、厚 cm的心愿墙。这面墙一共用了多少块
6 2 7 6
积木？
5 一个长方体的无盖玻璃水族箱，长是 m，宽是 cm，高是 . m。制
6 60 1 5
作这个水族箱需要用多少平方米的玻璃？它的体积是多少？
366 将 . m3 的沙子铺在一个长 m、宽 dm的沙坑里，可以铺多厚？
7 6 5 38
7 圈出每组中与其他数据不相等的那个数据。
（1） . m3 cm3 dm3 cm3
5 08 50800 5080 5080000
（2） dm2 . m2 cm2 . m2
6039 6 039 603900 60 39
（3） cm dm m dm
1500 1500 15 150
8 修建长城所用的某块砖的尺寸如右图所示。这块长城砖体积是多少？
9 一个长方体和一个正方体的棱长总和相等。已知长方体的长、宽、高分别
是 cm、 cm、 cm，正方体的棱长是多少厘米？它们的体积相等吗？
6 4 5
10
cm cm
10 cm 30
20
cm
20
cm cm
30 30
mc
5
cm
20
cm
40 cm
10
cm
4
cm
6
茶厂工人要将长、宽均为 cm，高为 cm 的长方体茶盒装入棱长为
20 10
cm（从里面量）的正方体纸箱，一箱最多能装几盒？怎样才能装下？
30
求能装几盒，可 怎样装呢？纸箱棱
以用纸箱体积除 长 cm，放一个茶
30
以茶盒体积吗？ 盒后就剩 cm……
10
37容积和容积单位
像太空舱、粮仓、油桶、盒子等所能容纳物体的体积，通常叫作它们的容积。
计量容积一般用体积单位。计量液体（如水、油等）的体积常用容积单位
升（L）和毫升（mL）。
液体的体积可以用
量筒或烧杯度量。
L mL
5 250
升液体的体积就是 立方分米， L dm3
1 1 1 =1
毫升液体的体积就是 立方厘米， mL cm3
1 1 1 =1
L mL
1 =1000
做一做
（1）说一说哪些物品上标有毫升、升。
（2）估计一下：一纸杯水大约有多少毫升？几纸杯水大约是 L？
1
长方体或正方体容器容积的计算方法跟体积的计算方法相同，但要从容器
里面量长、宽、高。
5 一个长方体油箱，从里面量长 dm，宽 dm，高 dm。这个油箱可
5 4 2
以装多少升油？
× × （dm3 ）
5 4 2=40
dm3 L
40 =
38生活中还有很多像橡皮泥、土豆、石块等形状不规则的物体，怎样求它们
的体积呢？
6 设法求出下面两种物体的体积。
橡皮泥 土豆
阅读与理解
要解决什么问题？这些物体分别有什么特点？
分析与解答
橡皮泥可以改变形状。
可以把橡皮泥捏压
成规则的长方体或
正方体形状，再……
土豆不能改变形状，怎么办呢？
可以像乌鸦喝水那
500mL 500mL
样用“排水法”。
400 400
300 300 上升的那部分水的
200 200
体积就是……
100 100
水的体积是 水和土豆的体积 土豆的体积：
mL。 是 cm3 。 （cm3 ）
400-250=150
答： 。
回顾与反思
用“排水法”求不规则物体的体积需要记录哪些数据？
可以利用上面的方法测量乒乓球、冰块的体积吗？为什么？
39练习九
1 在横线上填写合适的容积单位。
一瓶墨水 一瓶洗手液 一台冰箱容积 “奋斗者”号载人潜水器
约 约 约 载人舱的容积约
50 500 229 3
2 L mL cm3 mL mL L
4 = 82 = 4800 =
. L mL dm3 mL mL L
2 4 = 35 = 500 =
. dm3 = L = mL mL=______ cm3 = ______ dm3
8 04 785
3 一桶 L的矿泉水相当于 瓶 4 一种微波炉，产品说明书上标明：
18
mL的矿泉水。 炉腔内部尺寸 × × （单
1500 400 225 300
位：mm）。这个微波炉的容积是多
少升？
L mL
18 1500
5 为解决海岛上淡水缺乏的问题，某驻岛部队和当地居民共同修建了一个
长 m、宽 m、深 . m的淡水蓄水池。这个蓄水池最多可蓄水多
22 10 1 8
少立方米？
6 一辆货车的车厢是长方体，从里面量长 m，宽 . m，高 m。车厢的容
3 2 5 2
积是多少立方米？
407 下图中珊瑚石的体积是多少？
7
cm
cm
6
cm 8 cm cm 8 cm
8 8
8 将一块假山石放入一个盛有水的、底面积为 dm2 的长方体鱼缸中，完
51
全浸没后，水面上升了 cm。这块假山石的体积有多大？
3
9 在一个长 m、宽 m、高 m的水池中注满水，然后把两条长 m、宽
8 5 2 3
m、高 m的石柱立着放入池中，水池溢出的水的体积是多少？
2 4
10 把两个棱长为 . dm的正方体木块拼成一个长方体。这个长方体的体积、
15
表面积分别是多少？如果是用 个正方体木块拼呢？
3
11 右图是新疆吐鲁番晾制葡萄
干的一种长方体晾房。其中
一间从里面测量的底面积是
. m2 ，高是 m。它的容
24 6 3
积是多少？
12“冰雪大世界”每年用的冰大约能融化成 万立方米的水，这相当于多少个
6
长 m、宽 m、深 . m的水池的蓄水量？
50 25 12
13 求下图中大圆球的体积。
mL mL
12 24
41整理和复习
本单元学习了关于长方体和正方体的哪些知识？
你能在图中分别标出长度相等的棱、大小相等的面吗？
1 对照上图，回答下面的问题。
（1） 用图表示长方体和正方体的关系，并说一说理由。
（2） 在上面的长方体中有一条红色标示的棱，分别指出与它平行的棱和与
它相交且垂直的棱，你能发现什么？
（3） 回忆计算表面积的方法以及探索体积公式的过程，说一说关键是要知
道什么。计算体积和容积有什么相同点和不同点？
2 你能用尺子和长方体（或正方体）容器测出
右面物体的体积吗？如果用这种方法比较两
个物体体积的大小，你打算怎样做？ 玻璃球 绿豆
下面的长方体都是用棱长 cm 的小正方体摆成的，计算它
1
们的体积。
42练习十
1 下面是同一个长方体的展开图，说一说每个图是怎样展开的。
找一些正方体纸盒将其展开，你能展开成多少种不同的形状？
2 长方体的长、宽、高都变为原来的 倍，它的表面积和体积分别发生了什
2
么变化？你发现了什么规律？
长方体 长/cm 宽/cm 高/cm 表面积/cm 体积/cm
2 3
①
2 1 3
②
4 2 6
③
8 4 12
3 一个长方体鱼塘长 m，宽 . m，深 m。这个鱼塘的容积是多少？
8 45 2
4 某古建筑景点定做了 个宫灯（如右图，
25
20
单位：cm）。宫灯外侧有一层外饰面（上、
66 66
下面除外）。如果外饰面每平方米 元，这
18
80
些宫灯的外饰面一共要花多少钱？
46 46
本单元结束了， 我的收获：
你想说些什么？
成长小档案 我的疑问：
43探索图形
用棱长 cm的小正方体拼成如下的正方体后，把它们的表面分别涂上颜
1
色。①、②、③中，三面、两面、一面涂色以及没有涂色的小正方体各有多少
个？按这样的规律拼下去，第④、⑤个正方体的结果会是怎样的呢？
……
① ② ③
完成下表。看看每类小正方体都在什么位置。你能发现什么规律？
序号 三面涂色的个数 两面涂色的个数 一面涂色的个数 没有涂色的个数
①
8 0 0 0
②
8 12 6 1
③
8 24
④
⑤
没有涂色的个数怎样填比较快？
（1）你能继续写出第⑥、⑦、⑧个正方体中四类小正方体的个数吗？
（2）如果摆成下面的几何体，你会数吗？
444
分数的意义和性质
1. 分数的意义
分数的产生
剩下的不足 ，
古人在分物、测量时发明了分数。 怎么记？
？
把桌上的物品平均分给两个同学。
我能分到 我能分到
1 个苹果。 月饼的 1。
2 2
每人平均分到 个苹果， 个月饼， 包饼干。
在进行测量、分物或计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常用
分数来表示。
45分数的意义
你能举例说明 1 的含义吗？
4
1 1
4 4 1
4
1 我们也可以把一些物体看作一个整体。
情 满 端 午
花 好 月 圆
把一盒粽子看作一个整体，平均分 把一盒月饼看作一个整体，平均
（ ）
成 份，每份就是这盒粽子的 1 。 分成 份， 份是这盒月饼的 。
4 4 3 （ ）
4
（ ）
一 盒 糖 平均分成 份，每份是这盒糖的 。
2 （ ）
（ ）
平均分成 份， 份是这盒糖的 。
3 2 （ ）
（ ）
平均分成 份， 份是这盒糖的 。
4 3 （ ）
（ ）
平均分成 份， 份是这盒糖的 。
6 5 （ ）
一个物体、一个计量单位或是一些物体等都可以看作一个整体。
一个整体可以用自然数 来表示，我们通常把它叫作单位“ ”。
1 1
把单位“ ”平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来
1
表示，表示其中一份的数叫作分数单位。例如， 2 的分数单位是 1 。
3 3
你能说出上面其他几个分数的分数单位吗？
46做一做
1 把下面每个图形都看作单位“ ”，用分数表示各图中涂色部分的大小。
1
2
（ ） （ ）
每个福娃是这排福娃的 。 个冰墩墩是这排冰墩墩的 。
（ ） 2 （ ）
3
mL
10
每个茶杯是 每种颜色的跳棋是 一小杯液体是
（ ） （ ） （ ）
这套茶杯的 。 这盒跳棋的 。 这瓶液体的 。
（ ） （ ） （ ）
4 下面的分数墙上有哪些分数单位？仔细观察，你有什么发现？
1 1
2 2
1 1 1
3 3 3
1 1 1 1
4 4 4 4
1 1 1 1 1
5 5 5 5 5
1 1 1 1 1 1
6 6 6 6 6 6
1 1 1 1 1 1 1
7 7 7 7 7 7 7
1 1 1 1 1 1 1 1
8 8 8 8 8 8 8 8
1 1 1 1 1 1 1 1 1
9 9 9 9 9 9 9 9 9
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12
（1） 个 1 组成（ ）， 3 由（ ）个 1 组成。
5
6 4 4
（ ）
（2） 个 组成 ， 里面有 个 1 。
8 （ ） 1 1 12 （ ）
47练习十一
1 按要求涂色。
（ ） （ ）
1 涂上红色，其余 1 涂上绿色，其余
（ ） （ ）
3 2
涂上你喜欢的颜色。 涂上你喜欢的颜色。
（ ）
2 一包饼干平均分给 人，每人分得 包。如果一包有 块，平均每人
3 （ ） 12
分得（ ）块。
3 读出下面的分数，并写出每个分数的分数单位及分数单位的个数。
分 数： 1 2 4 11 7
6 7 15 18 100
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
分 数 单 位：
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
分数单位的个数： （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
4 用直线上的点表示下面各个分数。
（1） 1 1 3
2 4 4 0 1
（2） 1 2 5
3 3 6 0 1
上面两条直线中，每条直线上的最小刻度用分数表示分别是多少？它们分
别是哪些分数的分数单位？
5 从下面的分数中任选一个，在右面的框里画图表示出来。
1 1 1 1 1
2 3 4 6 12
6 和同桌说一说在生活中见过的分数，并说出它的单位“ ”和分数单位。
1
48分数与除法
2 把 个月饼平均分给 人，
1 4
每人分得多少个？
3 把 个月饼平均分给 人，每人分得多少个？
3 4
分数与除法有什么关系？你能用字母表示出分数与除法的关系吗？
…… ……
想： 求每人分得多少个，
要算 ÷ 得多少。
1 4
÷ 1（个）
1 4=
4
想：求每人分得多少个，要算 ÷ 得多少。
3 4
（ ）
÷ （个）
3 4=（ ）
每次分 个，每 个一起分，每人
1 3
人分得 个 1 个。 分得 个的 1 。
3 3
4 4
被除数
被除数÷ 除数
= 除数
a
a ÷ b （b≠ ）
= b 0
想：为什么b≠ ？
0
494 小新家养鹅 只，养鸭 只，养鸡 只。鸡的只数是鸭的多少倍？
7 10 20
鹅的只数是鸭的多少倍？
阅读与理解
知道了……
要解决的问题是……
分析与解答
求“谁是谁的几倍”的问题，可以用除法计算。
÷ = 鸡的只数是鸭的 倍。
20 10 2 2
÷ = 鹅的只数是鸭的 倍。
7 10
把 只看作一个 根据分数与除
10
整体， 只就是 法的关系，商
7
这个整体的 7 。 应该是 7 。
10 10
鹅 鸭
鹅
÷ 7
鸭 7 10 =
10
回顾与反思
第二个问题求出的倍数是
分数， 一般省略“倍”字，
这两个问题有什么不同？
直接用几分之几表示。
答： 。
你还能提出其他数学问题并解答吗？
做一做
1 在括号里填上适当的数。
（ ）
÷ 5 （ ）÷（ ） （ ）÷ 4
7 13=（ ） = 7=
8 7
2 动物园里有大象 头，金丝猴 只。金丝猴的数量是大象的几分之几？
9 4
50练习十二
1 kg葡萄干平均装在 个袋子里，每袋装多少千克？平均装在 个袋子
1 2 3
里呢？（用分数表示。）
2 一个 m2 的花坛，种 种花，每种花平均占地多少平方米？种 种呢？
3 4 5
（用分数表示。）
3 用分数表示下面各题的商。
÷ ÷ ÷ ÷
24 25= 16 49= 2 9= 11 12=
4 在括号里填上适当的数。
（ ） （ ） （ ）
cm dm cm m dm3 m3
9 =（ ） 30 =（ ） 133 =（ ）
（ ） （ ） （ ）
dm m cm2 dm2 mL L
7 =（ ） 56 =（ ） 53 =（ ）
（ ） （ ） （ ）
kg t 秒 分 公顷 平方千米
23 =（ ） 13 =（ ） 48 =（ ）
5 个月球和 个地球的质量相等。月球质量是地球质量的几分之几？
81 1
6 一棵纺锤树最粗部分的直径为 m，一
5 纺锤树的根系发达，树干
张桌子的宽为 m。桌子的宽度是这棵 里可以贮存很多水分。
1
纺锤树最粗部分直径的几分之几？
7 某农场有 头大牛和 头小牛，还有 只羊。
50 25 16
（1）大牛的头数是小牛的多少倍？
（2）小牛的头数是大牛的几分之几？
（3）你还能提出其他数学问题并解答吗？
518 老师买了 m 的红绸带， 平均分给表演节目的 名女生。每人分得几米？
5 6
（用分数表示。）
9 小明 分钟走了 km 路，平均每分钟走多少千米？（用分数表示。）
15 1
10 月 日是世界读书日。这一天，标价 元一本的《快乐数学》售价 元。
4 23 11 9
（1）这本书的售价是标价的几分之几？
（2）你还能提出其他数学问题并解答吗？
11 五（ ）班共有 幅书法作品参加学校的书法
1 17 两个小题中的单位
比赛，其中 幅作品从全校 幅参赛作品中
4 255 “ ”分别是什么？
1
脱颖而出获奖。
（1） 五（ ）班获奖作品占全班参赛作品的几分之几？
1
（2） 五（ ）班参赛作品占全校参赛作品的几分之几？
1
12 分别选择一个分数，并在图中涂色表示出来。
（ ） （ ）
（ ） （ ）
说一说每个分数的分数单位。你认为分数单位与什么有关？
13 填空。
（1） 1 年有（ ）个月， 3 年有（ ）个月。
2 4
（ ） （ ）
（2）一年中，大月的月份占 ，小月的月份占 。
（ ） （ ）
（ ）
（3）一个星期中，周六、周日两天占一周的 。
（ ）
522. 真分数和假分数
小明 分钟走了 km 路，平均每分钟走多少千米？（用分数表示。）
15 1
1 分别涂色表示下面各个分数，并说一说把什么看作单位“ ”。
1
这些分数的分数单位分别
是多少？它们各有几个相
应的分数单位？
1 3 5
3 4 6
比较每个分数中分子和分母的大小，再看看这些分数比
1
大还是比 小。分子比分母小的分数叫作真分数，真分数小于 。
1 1
2 把一个圆看作单位“ ”。
1
（1） 个 1 是几分之几？在右图中涂色表示。
4
3
（2）分别涂色表示下面各个分数，并比较每个分
（ ）
数中分子和分母的大小。
（ ）
3 7 11
3 4 5
这些分数比 大还是比 小？
1 1
分子大于或等于分母的分数叫作假分数，假分数大于或等于 。
1
由涂色结果可以看出， 1 1 可以看作由 10 （就是 ）和 1 合成的数，写
2
5 5 5
作 1 ，读作“二又五分之一”。像 1 、 3 这样由整数和真分数合成的
2 2 1
5 5 4
数叫作带分数。
从例题中可以看出：有些假分数的分子恰好是分母的倍数，它们实际上是
整数；有些假分数的分子不是分母的倍数，这样的假分数可以写成带分数。
53有时可以根据需要，把假分数化成整数或带分数。
3 （1）把 3 、 8 化成整数。
3 4
根据分数的意义，
根据分数与除法的
个 1 是 。
关系， 3 = ÷ = 。 3 1
3 3 1 3
3
3 ÷
= 3 3 =1
3
8 ÷ 还可以怎样想？
= 8 4 =2
8 4
4
（2）把 7 、 6 化成带分数。 7 是 6 （就是 ）和 1
2
3 3 3
3 5 合成的数，等于 1 。
2
3
7
7 ÷ 1 ÷ ……
3 = 7 3 =2 7 3=2 1
3 3
6
你能发现什么？
=
5
讨论一下：假分数是怎样化成整数或带分数的？
做一做
1 下面的分数中哪些是真分数？哪些是假分数？在直线上表示出来。
1 3 5 1 5 7 13
3 3 3 6 6 6 6
0 1 2
表示真分数和表示假分数的点分别在直线的哪一段上？
2 把下面的假分数化成整数或带分数。
15 8 21 50 43 69 30
2 5 7 9 12 20 15
54练习十三
1 把一个图形看作单位“ ”，用分数表示各图中的涂色部分，再读一读。
1
（ ） （ ）
2 判断下面的说法是否正确，并说一说你的理由。
（1）我吃了一个西瓜的 5 。
4
（2）爷爷把一块菜地的 3 种了西红柿， 2 种了茄子， 1 种了辣椒。
5 5 5
（3）一块巧克力，我吃了 5 ，表哥吃了 1 。
6 6
3 有 杯水。
3
（ ）
（1） 个人平均分，每人分 杯，也就是 ______ 杯。
3 （ ）
（2） 个人平均分，每人分______ 杯。
2
4 一板药共 粒，每天早、中、晚各吃 粒。这板药能吃多少天？（用带分
10 1
数表示。）
5 在直线上面的 里填上适当的假分数，直线下面的 里填上适当的带
分数。
5 10 20
5 5 5
0 1 2 3 4
6 把一个图形看作单位“ ”，用分数表示各图中的涂色部分。
1
（ ） （ ）
557 熊的冬眠时间约是睡鼠的几分之几？睡鼠的冬眠时间约是熊的几分之几？
熊冬眠约 个月 睡鼠冬眠约 个月
5 7
8 （1）写出分母是 的所有真分数。
7
（2）写出分子是 的所有假分数。
7
9 在 里填上“>”“<”或“=”。
7 7 1 75 46 2 74
1 3 4 8
9 9 25 25 12 9 9
10 指出下面的分数中哪些是真分数，哪些是假分数。把等于 的假分数涂上
1
颜色，看看你有什么发现。
……
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ……
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ……
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ……
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
你知道吗？
分解质因数
每个合数都可以由几个质数相乘得到。例如： = × ， = × ，
4 2 2 15 3 5
= × × ……
30 2 3 5
× × 这种方法叫
30=2 3 5 2 30
作短除法。
3 15
2 15
5
3 5
其中每个质数都是这个合数的因数，叫作这个合数的质因数。
563. 分数的基本性质
1 拿出三张同样大小的正方形纸，按照下图把它们平均分，并涂上颜
色。用分数表示涂色部分的大小。
（ ） （ ） （ ）
（ ） （ ） （ ）
你发现了什么？
1 2 4
= =
2 4 8
讨论一下：它们的分子、分母各是按照什么规律变化的？
× × ÷ ÷
2 2
1 2 4 4 2 1
= = = =
2 4 8 8 4 2
× × ÷ ÷
2 2
你还能举出几个这样的例子吗？根据上面的例子，可以得出什么规律？
分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（ 除外），分数的
0
大小不变。
这叫作分数的基本性质。
根据分数与除法的关系，以及整数除法中商不变的规律，你能说明分数的
基本性质吗？
你能根据分数的基本性质把一个分数化成分母不同而大小相同的分数吗？
2 把 2 和 1 0 化成分母是 而大小不变的分数。
12
3 24
×
2 2 10 10
= × = = =
3 3 4 12 24 24 12
57练习十四
1 先涂色表示下面的分数，再比较它们的大小。
1 2 3
5 8 12
2 下面每组中两个分数是否相等？相等的在括号里画“ ”，不相等的画“×”。
3 和 6 （ ） 9 和 1（ ） 7 和21（ ） 5 和 1（ ）
5 10 18 9 12 36 15 5
3 同桌互相说出相等的分数。
2
6
3
9
4 五（ ）班 2 的同学参加了舞蹈小组， 4 的同学参加了书法小组。参加
1
5 10
哪个小组的人数多？
5 下列分数中哪些在直线上能用同一个点表示？把它们在直线上表示出来。
6 10 3 5 3 1
12 8 12 4 6 4
0 1 2
6 在括号里填上适当的数。
（ ） （ ） （ ）
1 10 1 5 12
= = =（ ） =
3 6 15 3 4 28 7
7 把下面的分数化成分母是 而大小不变的分数。
10
3 1 6 24 15
2 5 20 30 50
588 涂色表示与给定分数相等的分数。
1 1
3 4
（ ） （ ）
（ ） （ ）
9 在括号里填上适当的数。
（ ） （ ） （ ）
3 9 7 14 42 12
= =（ ） =（ ）= = =（ ）
4 8 10 30 35 5
（ ） （ ） （ ）
5 15 8 2 8 1
= =（ ） =（ ）= （ ）= =
9 18 24 3 6 54
10 如果一堂课 分钟，五（ ）班做了 分钟的练习，五（ ）班做练习
40 1 10 2
的时间占整堂课的 1 。哪个班做练习用的时间长？
4
11 布置板报。
“科学园地”占 4 版，“历
“知识海洋”占1版， 16
史足迹”占 2 版，其余1
4
“生活乐园”占2版。 版为“开心一 16 刻”。 8
8
哪些栏目的版面一样大？
12 年世界 强企业排行榜中，中国上榜企业数量达 家。中国上榜
2021 500 145
（ ）
企业数量占世界 强的 1 45 ，也就是 。
500
500 100
13 一个分数的分母不变，分子乘 ，这个分数的大小有什么变化？如果分子
3
不变，分母除以 呢？
5
594. 约分
最大公因数
1 和 公有的因数是哪几个？公有的最大因数是多少？
8 12
先分别找出 的因数 的因数
8 8 12
和 的因数：
12 ， ， ， ，
， ， ， 1 2 3 4
1 2 4 8 ，
6 12
和 公有的因数是 ， ， 。
8 12 1 2 4
还可以这样表示： 的因数 的因数
8 12
， ， ， ，
1 2 3 6
8
4 12
和 公有的因数
8 12
， ， 是 和 公有的因数，叫作它们的公因数。其中， 是最大的
1 2 4 8 12 4
公因数，叫作它们的最大公因数。
2 怎样求 和 的最大公因数？
18 27
我从 和
18 27
的因数： ， ， ， ， ，
的因数中圈出 18 1 2 3 6 9 18
的因数： ， ， ，
公因数……
27 1 3 9 27
我是看 的因
18
数中哪些是 的因数： ， ， ， ， ，
27 18 1 2 3 6 9 18
的因数……
还有其他方法吗？
讨论一下：两个数的公因数和它们的最大公因数之间有什么关系？
60做一做
1 把 和 的因数、公因数分别填入相应的位置，再圈出它们的最大公
16 24
因数。
的因数 的因数 的因数 的因数
16 24 16 24
和 的公因数
16 24
2 下面哪些数是 的因数而不是 的因数？哪些数是 的因数而不是
12 18 18
的因数？哪些数是 和 的公因数？
12 12 18
1 2 3 4 6 9 12 18
3 找出下面每组数的最大公因数。你发现了什么？
和 和 和 和 和 和
4 8 12 36 1 7 8 9 5 11 12 35
你知道吗？
利用分解质因数的方法，可以比较简便地求出两个数的最大公因
数。例如：
× × × …用公有的质因数 除
24=2 2 2 3 2 24 36 2
× × × …用公有的质因数 除
36=2 2 3 3 2 12 18 2
和 的最大公因数： …用公有的质因数 除
24 36 3 6 9 3
2
×
2
×
3=12 2 3
…除到两个商只有公因
数 为止
为了简便，通常写成 1
右侧的形式。 和 的最大公因数：
24 36
× ×
2 2 3=12
可记作：（ ， ）
24 36 =12
613 小亮家储藏室的长方形地面长 dm，宽 dm。如果用边长是整分
16 12
米数的正方形地砖将储藏室的地面铺满（使用的地砖必须都是整块
的），可以选择边长是几分米的地砖？边长最大是几分米？
阅读与理解
知道了……
要解决的问题是……
分析与解答
画图试一试：边长是 dm的正方形地砖能铺满整个储藏室地面吗？边
1
长是 dm、 dm……的呢？
2 3
dm
16
想一想：为什么边长是 dm、 dm的正方形地砖能铺满储藏室地面，
1 2
而边长是 dm的正方形地砖不能呢？
3
和 的公因数有 ， ， 。最大公因数是 。
12 16 1 2 4 4
所以，可以选边长是 dm、 dm、 dm 的地砖，边长最大是 dm。
1 2 4 4
回顾与反思
像上面这样的问题可以用公因数的知识来解决。
md
21
dm
16
dm
3
因为 、 是 和
1 2 12
要使所用的地砖都
的公因数，而
16 3
是整块的，地砖的
是 的因数，不是
12
边长必须是 和
的因数…… 12
16
的公因数。
16
md
21
dm
2
dm
1
62练习十五
1 填空。
（1） 和 的公因数有 。
10 15
（2） 和 的公因数有 。
14 49
2 找出下面每组数的最大公因数。
和 和 和 和 和
6 9 15 12 42 54 30 45 99 36
和 和 和 和 和
5 9 34 17 16 48 15 16 13 78
3 先在第一列各数对应的因数下面画“ ”，再填空。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
8
16
20
（1） 和 的公因数有 ，最大公因数是 。
8 16
（2） 和 的公因数有 ，最大公因数是 。
8 20
（3） 和 的公因数有 ，最大公因数是 。
16 20
（4） 、 和 的公因数有 ，最大公因数是 。
8 16 20
4 在括号里写出各个分数中分子和分母的最大公因数。
7 （ ） 8 （ ） 18 （ ） 9 （ ） 21（ ） 11 （ ）
9 36 72 15 49 66
5 有一张长方形纸，长 cm，宽 cm。如果要
70 50
剪成若干张同样大小的正方形而没有剩余，剪出
的正方形的边长最大是多少厘米？
6 男生 人、女生 人分别站成若干排。要使每排的人数相同，每排最多
48 36
有多少人？这时男、女生分别有几排？
637 写出相邻两个数的最大公因数。
4 9 10 15 18 24 36 72
8 按要求写出两个数，使它们的最大公因数是 。
1
（1） 两个数都是质数： 和 。
（2） 两个数都是合数： 和 。
（3） 一个质数、一个合数： 和 。
9 把正确答案的序号填在括号里。
（1） 和 的最大公因数是（ ）。
9 16
A. B. C. D.
1 3 4 9
（2） 和 的最大公因数是（ ）。
48 60
A. B. C. D.
4 6 12 36
（3） 甲数是乙数的倍数，甲、乙两数的最大公因数是（ ）。
A. B. 甲数 C. 乙数 D. 甲、乙两数的积
1
10 写出 ， ， ，…， 各数与 的最大公因数。你能发现什么规律？
1 2 3 20 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
与 的最
5
大公因数
11 要把右面这些木棒截成同样长的 cm
12
若干段，不能有剩余，每段最长 cm
16
是多少厘米？ cm
44
你知道吗？
公因数只有 的两个数，叫作互质数。例如， 和 是互质数，
1 5 7
也可以说 和 互质。
5 7
想一想：互质的两个数必须都是质数吗？
64约分
4 把 24 化成分子和分母比较小且分数大小不变的分数。
30
可以用分子和分母的公因数（ 除外）去除。
1
÷ ÷
24 24 2 12 12 12 3 4
= ÷ = = ÷ =
30 30 2 15 15 15 3 5
想一想：有没有更简便的方法？
（ ） （ ）
24 24
= （ ）=（ ）
30 30
像这样，把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫作
约分。约分时也可以这样写：
4
12 4
24 4 或者 24 4
= =
30 5 30 5
15 5
5
说一说：每一步中都是用分子、分母的哪个公因数去除的？
4 的分子和分母只有公因数 ，像这样的分数叫作最简分数。
1
5
约分时，通常要约成最简分数。
做一做
1 下列分数中哪些是最简分数？把不是最简分数的化成最简分数。
15 10 17 20 31 4 6 12 9
16 21 30 45 91 18 11 48 15
2 把上下两行相等的两个分数用线连起来。
4 3 2 6 3
6 7 5 8 9
9 3 1 2 10
21 4 3 3 25
65练习十六
1 右面两个圆的大小相同，蓝色部分
和红色部分哪个大？为什么？
2 观察下列分数的分子和分母，哪些有公因数 ？哪些有公因数 ？哪些有
2 5
公因数 ？
3
4 9 15 30 40 84
8 12 20 45 60 96
3 下列分数中哪些没有化成最简分数？请把它们化成最简分数。
16 4 15 5 28 14 15 3 78 26
= = = = =
24 6 36 12 42 21 45 9 87 29
4 兰兰拍了 张艺术照，其中有 张是她喜欢的。请你用最简分数表示出
80 35
兰兰喜欢的照片和其他的照片分别占照片总数的几分之几。
5 把下列分数填入相应的圈里。
14 25 10 7 5 15 11 33
56 75 30 28 20 45 44 99
等于1 等于1
4 3
6 下列分数中哪些在直线上能用同一个点表示？把它们在直线上表示出来。
3 6 7 4 3
12 24 14 16 6
0 1
7 将 本练习本和 支铅笔平均分给若干名同学。如果练习本和铅笔都没有
48 64
剩余，且保证分到练习本和铅笔的同学人数相同，最多能分给多少名同学？
668 小明的生活非常有规律，下面是他睡觉和起床的时间。
第一天晚上 第二天早上
小明睡觉的时间占全天的几分之几？
15 20 77 70 90 150
12 12 21 32 80 60
12 和 9 4 和 5 4 和 9 70 和 90
16 12 12 20 14 21 35 40
cm
8
mc
6
9 先约分，再化成带分数。
10 先约分，再比较各组分数的大小。
11 （1） 以分米作单位，用分数分别表示长方形的长和宽。
（2） 长方形的长是宽的几分之几？宽是长的几分之几？
（3） 涂出长方形面积的 1 ，可以怎样涂？
2
12 已知a= × × × ，b= × × × × ，求a和b的公因数与最大公因数。
2 3 3 5 2 2 3 3 5
13 化简一个分数时，用 约了两次，用 约了一次，得 3 。求原来的分数。
2 3
8
你知道吗？
我国古代数学名著《九章算术》介绍了“约分术”：“可半者半之，
不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等
数约之。”意思是说：如果分子、分母全是偶数，就先除以 ；否则用
2
较大的数减去较小的数，把所得的差与上一步中的减数比较，再用大数
减去小数，如此重复进行下去，当差与减数相等即出现“等数”时，用
这个等数约分。
675. 通分
最小公倍数
1
和 公有的倍数有哪些？公有的最小倍数是多少？
4 6
的倍数有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
的倍数有： ， ， ， ， ， ， ，…
6 6 12 18 24 30 36 42
和 公有的倍数有： ， ， ，…
4 6 12 24 36
其中公有的最小倍数是 。
12
还可以这样表示：
的倍数 的倍数
4 6
， ， ， ， ， ， ，
4 8 16 12 24 6 18
， ， ，
20 28 32 ，… ， ，…
36 30 42
，…
40
和 公有的倍数
4 6
， ， ，…是 和 公有的倍数，叫作它们的公倍数。其中， 是
12 24 36 4 6 12
最小的公倍数，叫作它们的最小公倍数。
想一想：两个数有没有最大的公倍数？
做一做
把 和 的倍数、公倍数分别填入相应的位置，再圈出它们的最小公倍数。
3 4
的倍数 的倍数
3 4
和 的公倍数
3 4
682 怎样求 和 的公倍数及最小公倍数？
6 8
小亮从 和 的倍数中圈出公倍数：
6 8
的倍数： ， ， ， ， ， ， ， ，…
6 6 12 18 24 30 36 42 48
的倍数： ， ， ， ， ， ，…
8 8 16 24 32 40 48
小红在 的倍数中圈出 的倍数：
8 6
的倍数： ， ， ， ， ， ，…
8 8 16 24 32 40 48
你是怎样求的？
讨论一下：两个数的公倍数和它们的最小公倍数之间有什么关系？
÷ = ，两个数的公倍数
48 24 2
都是最小公倍数的倍数。
再找其他的数验证一下。
做一做
找出下列每组数的最小公倍数。你发现了什么？
和 和 和 和 和 和
3 6 2 8 5 6 4 9 3 9 5 10
你知道吗？
我们也可以利用分解质因数的方法，比较简便地求出两个数的最
小公倍数。例如：
× × × …用公有的质因数 除
60=2 2 3 5 2 60 42 2
× × …用公有的质因数 除
42=2 3 7 3 30 21 3
和 的最小公倍数： …除到两个商只有公因
60 42 10 7
× × × × 数 为止
2 3 2 5 7=420 1
为了简便，通常写成 和 的最小公倍数：
60 42
右侧的形式。
× × ×
2 3 10 7=420
可记作：［ ， ］
60 42 =420
693 一种长方形地砖长 dm，宽 dm。如果用这种地砖铺一个正方形
3 2
（用的地砖必须都是整块的），正方形的边长可以是多少分米？最小是
多少分米？
阅读与理解
知道了……
要解决的问题是……
分析与解答
dm
2
dm 正方形的边
铺成的正方形 3
可能有很多种。
长必须既是
3
？dm 的 倍 数， 又
是 的倍数。
？dm 2
只要找出 和 的公倍数和最小公倍数，就能知道所铺的正方形的……
2 3
和 的公倍数： ， ， ， ， ， ，…
2 3 3 6 9 12 15 18
回顾与反思
在边长 dm的正方形
6 解决这个问题的关键
上画一画，看找得对
是把铺砖的问题转化
不对。
成求公倍数的问题。
答： 。
做一做
参加跳绳比赛的学生分组进行计数，可以 人一组，也可以 人一组，都
6 9
正好分完。如果这些学生的总人数在 人以内，可能是多少人？
40
70练习十七
1 按照从小到大的顺序，在 以内的数中找出 的倍数和 的倍数，再
100 6 10
找出它们的公倍数和最小公倍数。
2 找出下列每组数的最小公倍数。
和 和 和 和 和 和
8 10 6 15 6 9 4 15 1 7 4 10
3 下列每组数的公倍数中有没有 ？有没有 ？有没有 ？
36 48 84
和 和 和 和
6 18 21 14 12 8 9 24
4 判断下面的说法是否正确，并说一说你的理由。
（1） 两个数的最小公倍数一定比这两个数都大。
（2） 两个数的积一定是这两个数的公倍数。
5 每只蝴蝶只能落在是自己编号的倍数的花朵上。哪朵花上两只蝴蝶都能
停留，就将这朵花涂上颜色。
12 16 24 30 48 56 64 72
6
8
6 李阿姨家的月季每 天浇一次水，君子兰每 天浇一次水。李阿姨 月 日
4 6 5 1
给月季和君子兰同时浇了水，下一次再给这两种花同时浇水应是 月几日？
5
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
5 1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
五月 21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31
7 在括号里写出每组分数的两个分母的最小公倍数。
1 和 7（ ） 3 和 2（ ） 7 和 5（ ）
12 6 8 3 9 6
718 下列每组数有没有公因数 ？有没有公因数 ？有没有公因数 ？
2 3 5
和 和 和 和
6 9 10 18 15 30 20 8
9
路：每 分钟发一次车
3 6
路：每 分钟发一次车
5 8
路和 路公共汽车的起点站相同。这两路
3 5
公共汽车同时发车后，过多少分钟两路车
第二次同时发车？
10 爸爸、妈妈带着小红和弟弟一起跑步。爸爸每跑一圈用时 分钟，妈妈每
3
跑一圈用时 分钟，小红每跑一圈用时 分钟。
4 6
（1） 如果爸爸、妈妈在起点同时起跑，至少多少分钟后两人在起点再次相
遇？此时爸爸、妈妈分别跑了多少圈？
（2） 你还能提出其他数学问题并解答吗？
11 可能是哪两个数的最小公倍数？你能找出几组？
36
一个最简分数，如果分子加 ，分数就等于 ；如果分母
1 1
加 ，分数就等于 2 。原分数是多少？
1
3
72通分
4 地球上的陆地面积约占总面积的 3 ，海洋面积约占总面积的 7 。
10 10
地球上的陆地面积大还是海洋面积大？
3 7
10 10
如果把地球表面积
3 是 个 1 ，
平均分成 份，陆 3
10 10
10
地只占 份，海洋 7 是 个 1 。
3 7
占了 份。 10 10
7
再比较一下：
3 4 2 4 5 2 5 23
13 13 7 7 9 9 68 68
3 3 5 5 12 12 19 19
8 11 6 8 17 19 94 73
讨论一下：分母相同的两个分数怎样比较大小？分子相同的两个分数呢？
做一做
在 里填上“>”“<”或“=”。
5 3 7 11 11 13 19 9
7 7 16 16 21 21 25 25
3 3 4 4 10 10 15 15
5 4 9 5 19 13 17 22
735 豆类食品的蛋白质含量较高，经常食用有益于人体健康。黄豆的蛋白
质含量大约占 2 ，蚕豆的蛋白质含量大约占 1 。黄豆和蚕豆哪个蛋
5 4
白质含量比较高？
2 1
5 4
这两个分数的分子、 我们会比较两个同
分母都不相同，怎 分母分数的大小，
样比较呢？ 可以把它们先化成
分母相同的分数。
可以用两个分母的公倍数作公分母。
× ×
2 2 4 8 1 1 5 5
= × = = × =
5 5 4 20 4 4 5 20
像这样，把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫作
通分。
做一做
1 在 里填上“>”“<”或“=”。
3 7 5 5 2 3 4 2
13 13 6 8 3 5 30 15
说一说：怎样比较分数的大小？
2 把下面每组中的两个分数通分。
2 和 1 3 和 5 5 和 8 4 和 6
3 5 4 8 6 15 7 11
5 和 7 3 和 2 4 和 7 3 和 5
6 8 7 9 9 18 8 9
74练习十八
1 比较每组中两个分数的大小。
3 1 11 17 5 5 12 12
8 8 25 25 7 17 23 19
2 比较每组中两个分数的大小，再和同学交流一下你的方法。
8 5 1 3 2 3 5 7
9 6 3 7 5 10 8 10
3 把下列分数填入相应的圈里。
1 1 3 3 3 1 2 2 3 4
2 5 16 8 10 3 9 7 13 13
大于1 小于1
4 4
4 张叔叔和李叔叔参加工厂的技能比赛。张叔叔加工完所有零件的 1 时，
2
李叔叔加工完所有零件的 3 。在这段时间里，谁的比赛成绩更好一些？
5
5 把下面每组中的两个分数通分。
×（ ） （ ） ×（ ） （ ）
（1） 4 4 （2） 9 9
= ×（ ）=（ ） = ×（ ）=（ ）
5 5 10 10
×（ ） （ ） ×（ ） （ ）
6 6 3 3
= ×（ ）=（ ） = ×（ ）=（ ）
7 7 4 4
6 亚洲陆地面积约占全球陆地面积的 3 ，非洲和南美洲的陆地面积分别约
10
占全球陆地面积的 1 和 3 。亚洲、非洲和南美洲这三个洲中，哪个洲
5 25
的陆地面积最大？哪个最小？
757 五（ ）班要为图书角选购一批新书，班长决定先作一个意向调查。下面
1
是调查结果（每人只选一种）。
课外读物种类 科普类 童话类 历史类
喜欢的人数占全班
7 1 1
总人数的几分之几
12 6 4
应该怎样选购图书？说一说你的理由。
8 在 里填上“>”“<”或“=”。
2 5 5 5 19 14 13 3
3 6 12 11 20 15 16 2
9 把下列分数按从小到大的顺序排列起来。
4 11 5 4 7 1
5 12 6 3 10 2
10 按要求填写下表，看看你有什么发现。
和 和 和 和
10 20 8 12 9 21 7 11
最大公因数
最小公倍数
最大公因数和
最小公倍数的积
两个数的积
你能再举例验证自己的发现吗？
11 你能写出一个比 1 大又比 1 小的分数吗？你是怎样找到这个分数的？
6 5
还能再找到两个这样的分数吗？
766. 分数和小数的互化
1
把一条 m 长的绳子平均分成 段，每段长多少米？如果平均分成
3 10 5
段呢？
÷ . （m）
3 10=0 3 ÷ 3（m） ÷ 3（m）
3 10 = 3 5 =
÷ . （m） 10 5
3 5=0 6
所以， . 3 ， . 3 。
0 3= 0 6=
10 5
想一想：怎样能较快地把小数化成分数？
小数表示的就是十分之几、百分之几、千
分之几……的数，可以直接写成分母是
， ， ，…的分数，再化简。
10 100 1000
3
. 3 . 6 6 3
0 3= 0 6 = = =
10 10 10 5
5
把小数化成分数需要注意什么？自己试一试：
（ ） （ ）
. 7 . 24 .
0 07= （ ） 0 24 =（ ）=（ ） 0 123 = （ ）
2 把 7 、 3 9 、 3 、 9 、 2 、 5 化成小数（除不尽的保留两位小数）。
10 100 4 40 9 14
7 . 3 ÷ . 2 ÷ .
=0 7 =3 4=0 75 =2 9 0 22
10 4 9
39 . 9 ÷ . 5 ÷ .
=0 39 =9 40=0 225 =5 14 0 36
100 40 14
当分子除以分母除不尽时，要根据需要按“四舍五入”法取近似数。
做一做
把 . 、 9 、 . 、 4 3 、 7 、1 3 按从小到大的顺序排列起来。
0 7 0 25
10 100 25 47
77练习十九
1 分别用小数和分数表示下面各图中涂色部分的大小。
（ ） （ ） （ ）
（ ） （ ） （ ）
=（ ） =（ ） =（ ）
（ ）
2（1） . 里面有 个（ ）分之一，表示（ ）分之（ ），化成分数是 。
0 8 8 （ ）
（ ）
（2） . 里面有 个（ ）分之一，化成分数是 。
0 05 5 （ ）
（ ）
（3） . 里面有 个（ ）分之一，化成分数是 。
0 007 7 （ ）
（ ）
（4） . 里面有 个（ ）分之一，化成分数是 。
0 36 36
（ ）
3 把相等的小数和分数用线连起来。
. . . . .
0 6 0 03 0 45 3 25 0 18
13 3 3 9 9
4 100 5 20 50
4
米/秒 米/秒
20 31
猎豹的速度是小汽车速度的多少倍？小汽车的速度是猎豹速度的几分
之几？
5 把下面的分数化成小数（除不尽的保留两位小数）。
31 2 7 4 5 11 23
100 25 30 9 6 50 20
786 在 里填上适当的小数，在 里填上适当的分数。
. . .
025 03 08
0 1 1 5 3 1
8 2 8 4
7 在括号里填上适当的数。
用小数表示 用分数表示
cm （ ）m （ ）m
40
g （ ）kg （ ）kg
150
125
cm2 （ ）dm2 （ ）dm2
3680
dm3 （ ）m3 （ ）m3
8 把下列各数按从大到小的顺序排列起来。
4 . 13 11 .
2 2 35 2 035
7 6 16
9 李阿姨平均每秒打 . 个字，王叔叔平均每秒打 5 个字。谁打字快些？
0 9
6
10 小林从学校走回家要花 分钟，小东从学校走回家要花 1 小时。如果他
25
4
们两人的行走速度相同，谁家离学校远些？
你知道吗？
你知道什么样的最简分数能化成有限小数吗？你想了解这个规律吗？
其实，只要把分数的分母分解质因数，就能判断这个分数能否化成
有限小数。如果分母中除了 和 以外，不含有其他质因数，这个分数
2 5
就能化成有限小数。例如，7 的分母 = × × ，它就能化成有限小数。
20 2 2 5
20
如果分母中含有 和 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。
2 5
例如， 7 的分母 = × × ，它就不能化成有限小数。
30 2 3 5
30
想一想：这是为什么？
79整理和复习
本单元主要学习了哪些知识？把学习的主要知识点写下来。
分数单位
真分数
分数
假分数
分数的基本性质
约分 通分
1 把下列分数填入相应的框里，并回答下面的问题。
3 18 13 4 5 25 5 4 2
8 6 9 15 7 5 3 10 3
真分数 假分数
（1） 3 和 5 的分数单位相同吗？如果不同，怎样把它们化成分数单位相
8 7
同的分数？
（2）为什么要对两个或多个分数进行通分？将上面的分数按从小到大的顺
序排列起来。
（3）为什么要对一个分数进行约分？将上面需要约分的分数进行约分。
找出 和 的公倍数，
8 10
2 解决问题。 就知道……
一块正方形布料，既可以裁成若干条边长是 cm的方巾，
8
也可以裁成若干条边长是 cm的方巾，且都没有剩余。
10
这块正方形布料的边长至少是多少厘米？
80练习二十
（ ）
1 把一根 m长的木条锯成同样长的 段，每段是这根木条的 ，每段
2 4 （ ）
（ ）
长（ ）÷（ ）=（ ）m = m。
（ ）
2 判断下面的说法是否正确，并说一说你的理由。
（1） 分数的分母越大，它的分数单位就越小。
（2） 分数都比整数小。
（3） 假分数的分子都比分母小。
（4） 如果 b 是 a 的 倍（a、b为非零自然数），那么 a、b 的最大公因数
2
是 a，最小公倍数是 b。
（5） 分子和分母的公因数只有 的分数是最简分数。
1
3 你听过“冰山一角”的说法
吗？冰山露在水面上的只是它
的一小部分，大部分隐藏在水
面下。假设一座冰山的体积是
m3 ，它露在水面上的体
1000
积是 m3 。冰山露在水面上
100
（ ）
的体积占总体积的 ，水
（ ）
（ ）
面下的体积占总体积的 。
（ ）
4 在横线上填写适当的分数。
cm m dm2 m2 g kg
25 = 36 = 600 =
mL L . dm dm cm3 dm3
750 = 0 28 = 258 =
5 五、六年级学生参加学校大扫除，五年级来了 人，六年级来了 人。
48 54
如果把两个年级的学生分别分成若干小组，要使两个年级每个小组的人数
相同，每组最多多少人？
816 在 里填上“>”“<”或“=”。
5 8 5 5 4 7 2 1
13 13 7 11 5 8 9 6
7 某学校五年级学生一共有 人，体质健康测试优良的为 人。其中
150 60
五（ ）班有 人，体质健康测试优良的为 人。五（ ）班同学体质
1 38 19 1
健康测试优良情况和五年级的总体情况相比怎么样？
8 一座喷泉由内外两层构成。外层每
分钟喷水一次，内层每 分钟喷
10 6
水一次。 ： 同时喷过一次水后，
12 45
下次同时喷水是几时几分？
9 文文的纸飞机飞了 m，小刚的飞了 m，兰兰的飞了 m。
5 4 3
（1） 兰兰的纸飞机飞的距离是文文的几分之几？
（2） 你还能提出其他数学问题并解答吗？
10 果农准备将一批石榴进行分装。如果每 个装一盒，会剩下 个；如果每
8 3 9
个装一盒，也会剩下 个。这批石榴至少有多少个？
3
11 可以怎样填？
（ ） （ ）
1 ＞ ＞ 1 4 ＞ ＞ 7
（ ） （ ）
4 5 5 10
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你想说些什么？ ___________________________________________
成长小档案 我的疑问： __________________________________
___________________________________________
825
图形的运动（三）
你还记得这是什么运动吗？
1
12 12 12
11 1 11 1 11 1
10 2 10 2 10 2
9 3 9 3 9 3
o o o
8 4 8 4 8 4
7 5 7 5 7 5
6 6 6
从 “ ”到 “ ”， 指针绕点O 按顺时针方向旋转了 °；
12 1 30
从 “ ” 到 “ ”， 指针绕点 O 按顺时针方向旋转了 °；
1 60
从 “ ” 到 “ ”， 指针绕点 O 按顺时针方向旋转了 ；
3 6
从 “ ” 到 “ ”， 指针绕点 O 按顺时针方向旋转了 。
6 12
做一做
OO OO
1 2 1 2
左侧有车通过，车杆要绕点O 按顺时针方向旋转 °；
90
1
右侧有车通过，车杆要绕点 按 方向旋转 。
832 0 1cm2
3
4
5
6
7
8
9 O
10
0
O 2mc1
3
4
5
6
7
8
9
01
如图，将三角尺像这样在方格纸上每次按顺时针方向旋转 °，观察
90
三角尺的位置是如何变化的。
我发现旋转时点O 三角尺的每条直角
的位置不变。 边都绕点O按顺时
针方向旋转了 °。
90
你有什么发现？
做一做
换另一把三角尺，在方格纸上按逆时针方向像上面那样转一圈，并说一
说你的发现。
3 画出三角形AOB绕点O按顺时针方向旋转 °后的图形。
90
绕点O旋转，点O的位 先画点A′，OA′垂直于
A
置应该不变。只要找出 OA，点A′与点O的距
点A和点B按顺时针方向 离还应该是 格。再画
4
旋转 °后的位置…… 点B′，OB′垂直于……
90
O B A′
做一做
在例 的方格纸上画出三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转 °后的图形。
3 90
84练习二十一
1 下面的图案分别是由哪个图形旋转而成的？
2
O O
钟摆绕点O（ ）时针旋转。 钟摆绕点O（ ）时针旋转。
3
OO O O
风车绕点O 风车绕点O
（ ）时针旋转 。 （ ）时针旋转 。
4
B B
A C A C
O 3 O 1
22
（1） 图形OABC绕点O顺时针旋转 °，在右图中标出点A的对应点A′。
90
（2） 图形OABC绕点O（ ）时针旋转 ，得到图 。
2
（3） 图形OABC绕点O（ ）时针旋转 ，得到图 。
3
855 按要求画图。
（1） 把图 绕点O逆时针旋转 °，得到图 。
1 90 2
（2） 把图 绕点O顺时针旋转 °，得到图 。
1 1 90 3
（3） 把图 绕点O逆时针旋转 °，得到图 。
2 90 4
O （4） 把图 、图 、图 、图 都涂上红色，
1 2 3 4
这个图形像什么？
6 如图，长方形的两条对称轴相交于点O。绕点O旋转长方形，你能发现
什么？
旋转 °
90
O
旋转 °
O O 180
旋转 °
O 360
将下列图形按上面的方法试一试，你能发现什么？
你知道吗？
数学与艺术
设计师们利用几何学中的平移、对称和旋转，设计出了许多美丽
的图案。
864 下面右边的图案是左边的 张卡片通过平移或旋转拼成的，说一说每
4
张卡片的运动过程。
阅读与理解
知道了……
要解决的问题是……
分析与解答
先在右图中找出对应的卡片，标上序号。
①号卡片要先绕右下角
的顶点顺时针旋转 °， ① ② ④ ③
90
再向右……
③ ④ ① ②
②号卡片不用旋转，只要向右平移 格，
再……
③号卡片要……
④号卡片要……
回顾与反思
旋转可以改变卡片
既改变方向又改
的方向，平移可以
变位置的卡片，
改变卡片的位置。
也可以先平移再
旋转。
87练习二十二
1 观察下面三组图形，说一说你的发现，并回答后面的问题。
（1） 怎样通过平移或旋转使每组图形变成一个正方形？
（2） 通过平移或旋转，你还能把每组图形分别变成什么图形？
2 利用图中的七巧板，通过平移或旋转设计一个图案。
6 7
2 3 4 5
1
3 下面右边的大熊猫头像是左边的 张卡片通过平移或旋转拼成的，说一说
4
每张卡片的运动过程。
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886
分数的加法和减法
1. 同分母分数加、减法
1 爸爸吃 3 张饼，妈妈吃 1 张饼。
8 8
我吃 块饼。
3
我吃 块饼。
1
（1）爸爸和妈妈一共吃多少张饼？
3 1
+ =
8 8
3 和 1 的分数单位
可以把 个 1和
8 8 3 1
相同，都是 1 。 8
个 1直接加起来。
8
8
1
3 1 3+1 4 1
+ = = =
8 8 8 8 2
2
计算的结果，能约分的要约成最简分数。
89（2）爸爸比妈妈多吃多少张饼？
3 1
- =
8 8
想一想：3 和 1 可以直接相减吗？为什么？
8 8
（ ）（ ）（ ）
3 1 -
- = （ ） =（ ）
8 8
结合上面的问题，再想想整数加、减法的含义，你能说出分数加、减法的
含义吗？
你能概括同分母分数加、减法的计算法则吗？
同分母分数相加、 只把分子相加、减。
减，分母不变。
同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加、减。
做一做
1 列式并计算。
6
？
7
2 2 2 ？
5 5 7
2 计算。
2 5 2 5 5 1 1
+ = + = + = 4+ =
9 9 7 7 8 8 44
5 1 7 1 7 2 11
- = - = - = 1- =
6 6 10 10 9 9 30
90练习二十三
1 计算。
5 1 3 4 7 7 9 6
+ = + = + = + =
12 12 7 7 6 6 25 25
3 3 3 1 10 1 15 9
+ = + = + = + =
8 8 10 10 33 33 16 16
2 计算。
3 3 14 4 9 7 11 5
- = - = - = - =
7 7 15 15 10 10 14 14
5 1 7 1 17 5 19 7
- = - = - = - =
8 8 6 6 18 18 20 20
3 填空。
1 7 （ ） 5 2 （ ） 7 8 （ ）
+ = - = + =
13 13 7 7 17 17
（ ） 1 11 7 （ ） 13 7 （ ） 3
- = + = - =
12 12 5 5 5 5
4 通过口算把算式填在右面的方框里。
1 1 7 3 5 3
+ - +
4 4 8 8 16 16
7 1 8 2 14 4 1 2
+ - - = =
12 12 9 9 15 15 2 3
7 5 17 11
+ -
18 18 12 12
5 某小学各年级学生人数分布情况如右表。
（1） 六年级学生人数占全校学
一 二 三 四 五 六
生人数的几分之几？
（ ）
2 2 2 3 3
（2） 一、二年级学生人数共占全 （ ）
15 15 15 15 15
校学生人数的几分之几？
（3） 你还能提出其他数学问题并解答吗？
916 计算。
1 5 2 6 3 1 1 1 3
+ + = + + = + + =
9 9 9 11 11 11 4 4 4
7 1 3 11 7 1 2 1
- - = - - = 1- - =
10 10 10 6 6 6 3 3
7 某小学图书馆中各类图书情况如右图。
3
11
（1）历史、科学和文学类图书共占图 2 历史类
11 其他
书总量的几分之几？ 科学类
（2）其他图书占图书总量的几分之几？
文学类 5
11
8 在 里填上“>”“<”或“=”。
4 2 9 7 5 3 3 1 3 4 3 8
- - - - 1- - +
5 5 10 10 8 8 4 4 14 14 20 20
3 5 1 3 3 4 4 7 2 5 2 1
+ + + + + + 3+
12 12 6 6 7 7 11 11 3 3 3 3
9 用分母相同的分数组成算式并计算。
1 3 5 4 2 2 4 1 1 7 1 7 5
4 4 9 5 5 9 9 5 9 9 6 6 6
10 算式接龙：每一次的得数是下一个算式的第一个数。
等于 7 ，等于 。
1
7
6 - 2。 等于 4 。 4 + 3 。 4 - 1。 等于 3 。3 - 1 。
7 7 7 7 7 4 4 4
4 4
……
11 有红、黄、蓝三条丝带。红丝带比黄丝带长 7 m，蓝丝带比黄丝带短
20
3 m，蓝丝带与红丝带相差多少米？
20
922. 异分母分数加、减法
1 某小区生活垃圾分类统计情况如右图。
有害垃圾 可回收物
1 3
（1）有害垃圾和其他垃圾在生活垃圾中
8 20
其他垃圾
共占几分之几？
厨余垃圾
1
19 4
1 1 40
+ =
8 4
1和 1的分母不同，也就 我们可以把它们通
是 8 分数 4 单位不同，不能直 分，转化为同分母
接相加。怎么办呢？ 分数再相加。
分母不同的分数，要先通分才能相加。
1 1
+ + =
8 4
1 2 3
+ = + =
8 8 8
试一试：1 3
+ =
8 20
做一做
计算。
5 1 1 3 3 1 1 1
+ = + = + = + =
8 3 4 8 4 7 5 8
93（2）可回收物多还是厨余垃圾多？它们的差占生活垃圾总量的几分之几？
厨余垃圾多，应该是19 3 。
-
40 20
（ ）（ ）（ ）
19 3
- =（ ）-（ ）=（ ）
40 20
讨论一下：异分母分数加、减法怎样计算？
异分母分数相加、减，先 ，再按照同分母分数
加、减法进行计算。
做一做
1 先计算，再任选两题进行验算。
3 1
+ -
1 8 5 4
2 12
1 9
12 10
1 5
24 7
分数加、减法的验算方法与整数
加、减法的验算方法相同。
2 妈妈用玉米面和黄豆面做面饼。玉米面用了 4 kg，黄豆面用了 3 kg，
5 4
用的玉米面比黄豆面多多少千克？玉米面和黄豆面一共用了多少千克？
94练习二十四
1 计算。
7 5 2 1 6 2 3 1
- = + = - = + =
8 6 9 2 7 3 10 4
3 1 1 1 1 1 5 1
+ = - = + = - =
7 9 3 5 6 4 7 5
2 在 里填上适当的运算符号。
5 1 3 16 10 1 5 2 1 4
= = =
8 8 4 24 24 4 10 10 10 5
5 1 1 2 1 11 5 1 1
= = =
9 2 18 3 4 12 6 3 2
3 春天到了，农民伯伯给果树浇水。第一天上午浇了所有果树的 1 ，下午
4
浇了 3 ，第二天上午浇了 3 ，一共浇了所有果树的几分之几？还有几
8 10
分之几没浇？
4 解下列方程。
x 3 3 x 5 3 x 5 5 x 3
+ = - = - =1 + =
7 4 12 8 6 9 5
5 下面的计算对吗？把不对的在横线上改正过来。
2 4 2（ ） 3 4 7（ ）
- = + =
3 9 9 5 7 12
7 3 4（ ） 1 3 13（ ）
- = + =
10 5 5 2 7 14
6 先计算，再想一想怎样算比较快。
1 1 1 1 1 1 1 1
- = + = - = + =
3 4 2 5 6 7 5 6
1 1 1 1 1 1 1 1
- = + = - = + =
7 8 8 9 2 3 9 10
957 妈妈买了一些毛线，给爸爸织毛衣用去了 7 ，给小红织手套用去了 1 。
10 20
你能提出什么数学问题并解答吗？
8 同桌互相出题，算一算。
1+1 ？ 得数是3。
=
8 4 8
9 有趣的“三角形”。
1 = 1
4 4
1 1 = 1
+
4 4 2
1 2 1 =
+ +
4 4 4
1 3 3 1 =
+ + +
4 4 4 4
=
+ + + +
=
+ + + + +
你发现了什么？如果从 1 开始，结果会怎样？
8
10 调查班里同学出生月份的情况，填写下表。
季度 人数 占总人数的几分之几
第一季度（ 、 、 月）
1 2 3
第二季度（ 、 、 月）
4 5 6
第三季度（ 、 、 月）
7 8 9
第四季度（ 、 、 月）
10 11 12
（1）用条形统计图呈现你调查的数据。
（2）用分数解释你调查的结果。
（3）你还能提出其他数学问题并解答吗？
963. 分数加减混合运算
1 （1）某森林公园植被情况如右表。
植被类型 占公园面积的几分之几
森林部分比草地部分多占公
乔木林 1
园面积的几分之几？
2
灌木林 3
1 3 1 10
+ - =
2 10 5 草地 1
5
分数加减混合运算的顺序和整数
加减混合运算的顺序相同。
想一想：异分母分数混合运算，怎样通分好呢？
小红这样算： 小亮这样算：
1 3 - 1 1 3 - 1
+ +
2 10 5 2 10 5
5 3 - 1 5 3 - 2
= + = +
10 10 5 10 10 10
4 8 - 2
=
8 - 1 10 10
=
10 5 3
5 6 3
= =
3
10 5
=
5 5
你是怎样计算的？你喜欢哪种方法？
（2）森林和裸露地面的降水转化情况如下表。
类型 储存为地下水 地表水 其他
森林 7 1 2
20 4 5
（ ）
裸露地面 11 2
（ ）
20 5
裸露地面储存的地下水占降水的几分之几？
97小红这样算： 小亮这样算：
（ ）
11 2 11 2
1- - 1- +
20 5 20 5
（ ）
20 11 8 11 8
= - - =1- +
20 20 20 20 20
9 8 19
= - =1-
20 20 20
1 1
= =
20 20
他们的方法有什么不同？
2 我们已经学过整数加法的运算律，这些运算律在分数运算中还适用吗？
计算下面每组的两个算式，看看它们之间有什么关系。
（ ） （ ）
3 2 2 3 2 1 3 2 1 3
+ + + + + +
7 5 5 7 3 4 4 3 4 4
从上面的算式中，你发现了什么规律？
根据以上计算可以发现，整数加法的交换律、结合律对于分数加法同样适
用。应用运算律可以使一些分数计算变得简便。试着计算下面两题。
5 1 7 1 2 1 2
+ + + + +
6 12 12 3 7 5 3
做一做
1 计算。
5 1 1 7 5 1 1 1 1 9 1 1
- + - + + - - +
6 2 3 8 12 6 2 4 6 4 4 5
（ ） （ ） （ ） （ ）
5 1 1 7 5 1 1 1 1 9 1 1
- + - + + - - +
6 2 3 8 12 6 2 4 6 4 4 5
2 用简便方法计算下面各题。
2 1 3 1 1 1 2 9 1 3 5
+ + + + + + + +
5 3 5 4 3 4 3 7 8 8 7
983 一杯纯果汁，小乐喝了半杯后，觉得有些甜，就兑满了水。他又喝了
半杯，就出去玩了。小乐一共喝了多少杯纯果汁？多少杯水？
阅读与理解
第一次：一杯纯果汁，喝了 杯。
第二次：兑满水，又喝了 杯。
问题：一共喝了多少杯纯果汁？多少杯水？
分析与解答
第一次喝了 1 杯纯果汁， 画图试一
第二次喝了 2 多少杯纯果 试吧。
汁呢？
第一次喝了 1 杯 兑满水，水是 1 杯， 又喝了 1 杯。这 1 杯
2 2 2 2
纯果汁。 里，一半是纯果汁，一
纯果汁还是 1 杯。
半是水。
2
1 杯的一半是 杯。
2
第二次喝的纯果汁是 杯，水是 杯。
一共喝的纯果汁：1 + = 水：
2
回顾与反思
可以怎样检验？解决这道题的关键是什么？
答： 。
99练习二十五
1 计算。
（ ）
4 2 3 5 1 9 3 3 5
- + + - + -
3 5 10 7 4 14 4 6 8
（ ） （ ）
5 3 1 1 3 2 3 2 1
+ - + - - +
9 4 2 10 8 5 5 15 3
2 小明用一根 m长的铁丝围成一个三角形，量得三角形的两条边长分别为
1
1 m、 3 m，第三条边长多少米？这是一个什么三角形？
4 8
3 五（ ）班同学去井冈山参观学习，共
1
用去 小时。其中路上用去的时间占
10
1 ，吃午饭与休息时间共占 3 ，剩下
5 10
的是参观学习时间。参观学习时间占
几分之几？
4 在 里填上适当的运算符号。
（ ）
1 4 3 1 4 3
2 3 = 3 + 2 2 + 7 + 7 = 2 + 7 7
3 14 14 3
5 填数。
1 1
+ -
8 9 3
9
13
18
7
15
6 一杯纯果汁，小明喝了 1 杯后，兑满水又喝了一半。小明一共喝了多少
3
杯纯果汁？多少杯水？
1007 在括号里填上适当的数，使等式成立。
1 1
（ ）
1 1 1 9 1 （1
（ ）
）
+ =（ ）+ + + = + +（ ）
2 4 2 6 10 10 6 10
（ ） （ ） （ （ ）） （（ ） （ ））
1 1 5 3 1
+ + + = + （ ） + （ ） + （ ）
12 4 12 4 12
（ ） （ ） （ ）
8 1 1 1 1 1 1 1 1
1- = - =（ ） - =（ ） - =（ ）
2 2 2 3 3 4 4 5
你能发现什么？用你的发现计算下面这道题。
1 1 1 1
+ + +
2 6 12 20
9 在右图中的 里填上适当的
数，使每个正方形四个角上的
数加起来都等于 。 3 1 1
1
10 4 5
1
20
右图是七巧板拼成的正方形。每个
5
7
图形的面积占正方形的几分之几？图形 4
和 共占几分之几？图形 、 、 共 1 3
7 4 3 4 5 6
占几分之几？ 2
本单元结束了， 我的收获： __________________________________
你想说些什么？ ___________________________________________
成长小档案 我的疑问： __________________________________
___________________________________________
101怎样通知最快
一个应急小队接到紧急任务，队长需要尽快将任务通知到 名队员。任
15
务必须一对一进行传达，每分钟通知 人，请你帮助队长设计一个最快的通知
1
方案。
请你提取这个实际问题的关键信息，写在下面。
要通知的人数：
通知的方式及用时：
队长一个一个地通知需要 分钟，怎样设计方案能尽快通知完？
15
分组通知会快些。我分
3
组，需要（ ）分钟……
队长
组 组 组
1 2 3
我分 组需要
5
（ ）分钟……
102想一想：是不是分的组越多，用的时间越少？还有更快的方法吗？
如果每个队员接到通知 这样每个人都不空闲，
后都继续往下通知…… 应该是最快的……
用图示的方法试一试。
—队长 —队员 圈里的数—第几分钟
……
1 1 2 1 2 3
3
2 2
3
3
填写下表，看看你能发现什么规律。
第几分钟 …
1 2 3 4 5
新接到通知的队员数
1 2 4
接到通知的队员总数
1 3 7
（1）多长时间能通知到全体队员？
（2）按上面的方式， 分钟最多可以通知多少人？
5
（3）如果一个应急小队有 名队员，按上面的方式，最少花多长时间能
50
通知到每个人？
讨论一下：回顾整个过程，你用到了哪些方法？
你制订的方案在实施中还需要做什么准备？
1037
折线统计图
1 下面是 — 年全国总人口数统计情况。
1998 2021
年份
1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
总人口数/
万人 124761 125786 126743 127627 128453 129227 129988 130756 131448 132129 132802 133450
年份
2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
总人口数/
万人 134091 134916 135922 1367(cid:18)2(cid:26)6(cid:26)(cid:25)1(cid:255)37(cid:19)6(cid:17)4(cid:19)6(cid:18)(cid:5025)13(cid:858)83(cid:3114)26(cid:999)1(cid:2320)3(cid:6813)92(cid:13324)32(cid:16590)1(cid:3115)40011 140541 141008 141212 141260
— 年全国总人口数统计图
(cid:999)(cid:2320)(cid:6813)(cid:16)(cid:820)(cid:999) 1998 2021
(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:17)(cid:17)(cid:17)
(cid:18)(cid:21)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)
(cid:18)(cid:20)(cid:22)(cid:17)(cid:17)(cid:17)
(cid:18)(cid:20)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)
(cid:18)(cid:19)(cid:22)(cid:17)(cid:17)(cid:17)
(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)
(cid:17)
(cid:25) (cid:26) (cid:17) (cid:18) (cid:19) (cid:20) (cid:21) (cid:22) (cid:23) (cid:24) (cid:25) (cid:26) (cid:17) (cid:18) (cid:19) (cid:20) (cid:21) (cid:22) (cid:23) (cid:24) (cid:25) (cid:26) (cid:17) (cid:18)
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(cid:19)
(cid:17)
(cid:19)(cid:5025)(cid:1066)
(cid:18) (cid:18) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19)
我们还可以绘制出下面(cid:18)(cid:26)(cid:26)的(cid:25)(cid:255)折(cid:19)(cid:17)线(cid:19)(cid:18)(cid:5025)统(cid:858)计(cid:3114)图(cid:999)(cid:2320)。(cid:6813)(cid:13324)(cid:16590)(cid:3115)
— 年全国总人口数统计图
(cid:999)(cid:2320)(cid:6813)(cid:16)(cid:820)(cid:999) 1998 2021
(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:17)(cid:17)(cid:17)
(cid:18)(cid:21)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)
(cid:18)(cid:20)(cid:22)(cid:17)(cid:17)(cid:17)
(cid:18)(cid:20)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)
(cid:18)(cid:19)(cid:22)(cid:17)(cid:17)(cid:17)
(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)
(cid:17)
(cid:25) (cid:26) (cid:17) (cid:18) (cid:19) (cid:20) (cid:21) (cid:22) (cid:23) (cid:24) (cid:25) (cid:26) (cid:17) (cid:18) (cid:19) (cid:20) (cid:21) (cid:22) (cid:23) (cid:24) (cid:25) (cid:26) (cid:17) (cid:18)
(cid:26)
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(cid:26)
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(cid:17)
(cid:18)
(cid:17)
(cid:18)
(cid:17)
(cid:18)
(cid:17)
(cid:18)
(cid:17)
(cid:18)
(cid:17)
(cid:19)
(cid:17)
(cid:19)(cid:5025)(cid:1066)
(cid:18) (cid:18) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19)
104观察折线统计图，回答下面的问题。
（1）折线统计图的点、线分别表示什么？
（2）我国总人口数是怎样变化的？
（3）折线统计图和条形统计图有什么不同？
折线统计图用高低不同的点来表示数据的
多少，通过点与点的连线能看出变化……
从折线看，我国总人口数是逐年上升
的，但是上升的幅度越来越小……
条形统计图可以直观地呈现数据的多少，折线统计图能清楚地看到数据的
变化趋势。
观察总人口数变化的趋势，你有什么想法？
做一做
1
— 年我国高铁营业里程统计图
2009 2021
(cid:5561)(cid:714)(cid:6615)(cid:4654)(cid:16)km
50000
45000
40000
35000
30000
25000
20000
15000
10000
5000
0 (cid:2290)(cid:843)
2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
（1） — 年我国高铁营业里程是怎样变化的？
2009 2021
（2）哪一年比前一年的高铁营业里程增加的最多？
（3）从统计图中还能发现什么？
1052
— 年某地青少年机器人大赛参赛队伍数统计表
2012 2021
年份
2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
参赛队伍/支
128 123 137 168 175 190 212 203 247 264
根据统计表中的数据绘制折线统计图，并回答下面的问题。
— 年某地青少年机器人大赛参赛队伍数统计图
2012 2021
(cid:1312)(cid:6207)(cid:6899)(cid:848)(cid:16)(cid:2947) 400
360
300
320
250
280
240
200
200
150
160
100 120
80
50
40
0 0
(cid:2290)(cid:843)
2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
（1）哪一年参赛队伍最多？哪一年参赛队伍比上一年增加的最多？
（2） — 年该地青少年机器人大赛参赛队伍的数量是怎样变化
2012 2021
的？你有什么感想？
1062 下面是 — 年全国出生人口数和死亡人口数的变化情况。
1998 2021
年份
1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
出生人口/万人
1933 1826 1764 1702 1647 1599 1593 1617 1584 1594 1608 1615
死亡人口/万人
803 805 811 818 821 825 832 849 892 913 935 943
年份
2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
出生人口/万人
1574 1604 1635 1640 1667 1655 1786 1723 1523 1465 1200 1062
死亡人口/万人
967 960 966 972 977 975 977 986 993 998 996 1014
— 年全国出生人口数统计图
1998 2021
(cid:801)(cid:1328)(cid:2973)(cid:16)(cid:698)(cid:801)
2000
1500
1000
500
0
9
8
9
9
0
0
0
1
0
2
0
3
0
4
0
5
0
6
0
7
0
8
0
9
1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
2
0
2
1(cid:2290)(cid:843)
9 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
— 年全国死亡人口数统计图
(cid:801)(cid:1328)(cid:2973)(cid:16)(cid:698)(cid:801) 1998 2021
2000
1500
1000
500
0
9
8
9
9
0
0
0
1
0
2
0
3
0
4
0
5
0
6
0
7
0
8
0
9
1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
2
0
2
1(cid:2290)(cid:843)
9 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
从图中可以看出，出生 制成复式折线统计图
人口数呈下降趋势，而 进行对比，看看能不
死亡人口数…… 能有更多的发现。
107下面是绘制好的复式折线统计图。
— 年全国出生人口数和死亡人口数统计图
1998 2021
(cid:801)(cid:1328)(cid:2973)(cid:16)(cid:698)(cid:801) (cid:1123)(cid:4215)(cid:801)(cid:1328)
(cid:3435)(cid:786)(cid:801)(cid:1328)
2000
1500
1000
500
0 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1
9 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2(cid:2290)(cid:843)
9 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
观察复式折线统计图，你又有什么发现？
随着时间变化，上下两个点越来 按照这个趋势……
越靠近了……也就是出生人口数
和死亡人口数的差越来越小。
出生人口数减去死亡人口数
的差是人口自然增长数。
讨论一下：数据统计和统计图对我们有什么帮助？
做一做
— 年北京市空气优良和重污染天数统计图
2013 2021
(cid:1849)(cid:2973) (cid:854)(cid:5346) (cid:6616)(cid:3530)(cid:3200)
288
300 276
240
226 227
240
198
176 172 186
180
120
58
60 47 46 39 23
15 4 0 8
0
(cid:2290)(cid:843)
2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
（1） — 年北京市空气优良天数是怎样变化的？重污染天数呢？
2013 2021
（2）观察复式折线统计图，你还有什么发现？
108练习二十六
1 — 年我国国内生产总值（GDP）统计图
2012 2021
(cid:1678)(cid:1071)(cid:4215)(cid:791)(cid:2484)(cid:985)(cid:16)(cid:803)(cid:1035)
(cid:15)
11436697
1200000 (cid:15)
9865152
(cid:15)
1000000 (cid:15) 8320359 (cid:15)
800000 (cid:15) 6888582 (cid:15) 10159862
5929632 9192811
(cid:15)
600000 (cid:15) 7463951
(cid:15) 6435631
400000 5385800
200000
0
(cid:2290)(cid:843)
国内生产总值是衡量经济规模和发展水平的重要指标。
（1）哪一年我国国内生产总值突破了 万亿元？
100
（2） — 年我国国内生产总值是怎样变化的？
2012 2021
（3）观察折线统计图，你还获得了哪些信息？
2 下表是小东 ~ 岁的身高情况，根据表中的数据绘制折线统计图。
0 10
年龄
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高/cm
50 76 88 97 104 111 118 124 130 135 141
小东 ~ 岁身高情况统计图
(cid:6326)(cid:7220)(cid:16)cm 0 10
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
0 (cid:2290)(cid:7444)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
（1）小东哪一年长得最快？这一年长高了多少厘米？
（2）收集、整理你自己的身高数据，利用方格纸绘制折线统计图，说一说
你发现了什么。
1093 甲、乙两地月平均气温统计图
(cid:3489)(cid:3742)(cid:16)°C (cid:4225)(cid:1697)
33 (cid:15) 27 (cid:15) 4 28 (cid:15) 1 28 (cid:15) 8 28 (cid:15) 2 26 (cid:15) 8 (cid:15) (cid:755)(cid:1697)
30 249 (cid:15) (cid:15) 248 (cid:15)
27 22 (cid:15) 284 277 218 (cid:15)
24 17 18 (cid:15) 257 23 (cid:15) 3 187
21 213
18 (cid:15) 17 (cid:15) 5
15 161
12 (cid:15)
9 10 111
6 (cid:15)
3 3 5 54
0 (cid:3109)(cid:843)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
（1）根据统计图，你能说一说两地一年中气温变化的趋势吗？
（2）有一种树莓的生长期为 个月，适宜的生长温度为 ~ °C，这种
5 7 10
植物适合在哪个地方种植？
（3）小明住在乙地，他们一家要在“十一”黄金周去甲地旅游，你认为他
们应该做哪些准备？
4 下面是某地区 ~ 岁男生、女生平均身高统计表。
7 15
年龄
7 8 9 10 11 12 13 14 15
男生身高/cm
125 132 136 140 145 152 160 166 170
女生身高/cm
123 128 135 141 147 153 156 158 160
请你根据表中的数据，绘制复式折线统计图。
某地区 ~ 岁男生、女生平均身高统计图
7 15
(cid:6326)(cid:7220)(cid:16)cm (cid:4228)(cid:4215)
(cid:1881)(cid:4215)
170
165
160
155
150
145
140
135
130
125
120
0 (cid:2290)(cid:7444)
7 8 9 10 11 12 13 14 15
（1）比较男生和女生的身高变化，你能得出什么结论？
（2）把你的身高与对应的平均值作比较，你有什么想法？
1105 小组讨论：下面两组数据分别用条形统计图还是折线统计图表示更合适？
（1）某学校五年级学生“五一”度假方式统计如下。
度假方式 探亲访友 在家休息 旅游 其他
男生人数
150 157 163 167
女生人数
152 156 157 158
（2） — 年全国生活用水量统计如下。（单位：亿立方米）
2014 2021
年份
2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
用水量
767 794 822 838 860 872 863 909
6 在报纸、杂志或者图书上找出一些折线统计图（包括复式的），贴在下面。
（1）说一说统计图表达的意思。
（2）可以用其他形式的统计图呈现这些数据吗？为什么？
7 小组合作调查一项你们感兴趣的事例，用统计表、统计图将统计的结果呈
现出来，并说一说你能从数据中发现什么。
本单元结束了， 我的收获： __________________________________
你想说些什么？ ___________________________________________
成长小档案 我的疑问： __________________________________
___________________________________________
1118
数学广角—找次品
1 有 瓶钙片，其中 瓶少了 片，看作次品。
3 1 3
钙片 钙片 钙片
你能设法把它找出来吗？
我用手掂了掂， 可以用天平
掂不出来。 称一称。
钙片 钙片
钙片
如果天平平衡，剩下的一瓶就是次品。如果天平不平衡，哪瓶是次品？
不实际称，你能想办法把用天平找次品的过程清楚地表示出来吗？
用 代表钙片，可以这样记录。
1 2 平衡， 是次品。
3
1 2 3
不平衡，轻的是次品。
想一想：如果用天平称，需要称几次才能找到次品？
2 个零件里有 个是次品（次品重一些）。假如用天平称，至少称几次
8 1
能保证找出次品？
“至少称几次能保证找出次品” 是
指保证能找出次品的最少次数。
你打算怎样表示找次品的过程？
112用 表示零件。 可以这样记录。
平衡，再各放……
1 2 3 4 1 2 3 4
不平衡，重的……
5 6 7 8
将探索的情况填入下表。
分成的份数 每份的数量 至少要称的次数
（ ， ， ， ）
4 2 2 2 2 3
（1）表中哪种方法需要称的次数最少？
（2）如果 个零件中有 个次品（次品重一些），至少称几次能保证找
9 1
出次品？你是怎么称的？
（3）你能发现什么？用你发现的方法找出 个、 个零件中的 个次
10 11 1
品（次品重一些），看看是不是保证找出次品的次数也是最少的。
你知道吗？
用天平找次品时，所测物品数目与保证能找出次品至少需要称的
次数有以下关系。（只含 个次品，已知次品比正品重或轻。）
1
要辨别的物品数目 保证能找出次品至少需要称的次数
~
2 3 1
~
4 9 2
~
10 27 3
~
28 81 4
~
82 243 5
…… ……
从表中你能发现什么规律？为什么？
113练习二十七
1 瓶钙片中有 瓶是次品（轻一些），完成下面找次品的过程。
5 1
平衡。 平衡，次品是 。
1 2 3 4
不平衡，轻的是次品。
不平衡，轻的是次品。
至少要称 次。
2 有 瓶水，其中 瓶质量相同，另有 瓶是盐水，比其他的水略重一
28 27 1
些。假如用天平称，至少称几次能保证找出这瓶盐水？
3 有 盒饼干，其中 盒质量相同，另有 盒少了几块。假如用天平称，
15 14 1
至少称几次能保证找出这盒饼干？
4 箱糖果有 袋，其中 袋质量相同，另有 袋质量轻一些。假如用天
1 12 11 1
平称，至少称几次能保证找出这袋糖果？
平衡
平均分成 份
3
（ ， ， ）
4 4 4
不平衡
5 有 袋白糖，其中 袋每袋 g，另 袋不是 g，但不知道比 g
3 2 500 1 500 500
重还是轻。你能用天平找出来吗？
本单元结束了， 我的收获： __________________________________
你想说些什么？ ___________________________________________
成长小档案 我的疑问： __________________________________
___________________________________________
1149
总复习
成长小档案
这学期学习有什么收获？
请你用自己的方法整理一下。
分数单位是认识分数、进行分数 探究得出了长方体、正方体表面积
加减法计算的基础。 和体积的计算方法。
3里面有 个 1 。 h
3 V a b h
8 8 =
a b
÷ 11 5 5 2 7
11 6= =1 + =
6 6 9 9 9 a
V a3
=
3 2 9 8 1 a
- = - = a
4 3 12 12 12
描述旋转时要说清所绕的点、旋 会判断一个数是不是 、 、 的
2 5 3
转的方向和角度。 倍数。
从下列各数中找出 的倍数。
3
219 512 329
学习中最有收获的事情是什么？
很多整数的知识也适用 实验、操作的方
于分数，数学知识之间 法在数学学习中
真是有很多联系啊！ 也很有用！
500mL
400
300
（ ）
3 5 1 3 1 5 200
+ + = + +
4 6 4 4 4 6 100
1151 （1）“因数和倍数”单元最基本的概念是什么？请写在下面的框里，并举
例说明。
（2）你能从基本概念出发，把有关联的知识整理成一个图吗？
2 下面 个几何体都是用棱长 cm的小正方体摆成的。
3 1
① ② ③
（1）下面的图形分别是哪个几何体从上面看到的？将序号填在括号里。
（ ） （ ） （ ）
（2）①、②、③的体积分别是多少？①的体积是③的体积的几分之几？
（3）如果要把①、②、③分别继续补搭成一个大正方体，每个几何体至少
还需要多少个小正方体？说一说你的思路。
（4）你还能提出其他数学问题并解答吗？
1163 （1）说一说图①可以通过怎样的运动得
到图②、图③、图④。
① （2）图中绿色部分占整个图案的几分之
④ ②
③ 几？红色部分占整个图案的几分之
几？红色部分比绿色部分多占整个
图案的几分之几？
4
— 年全国快递业务量统计图
2012 2021
(cid:2444)(cid:6444)(cid:16)(cid:803)(cid:840)
(cid:15)
108300
1100
1000 (cid:15)
83360
900
800 (cid:15)
63523
700 (cid:15)
600 50710
(cid:15)
500 40056
(cid:15)
400 31283
(cid:15)
300 (cid:15) 20666
(cid:15) (cid:15) 13959
200 5685 9187
100
0
(cid:2290)(cid:843)
2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
某家电商场 A、B 两种品牌电视机 年月销售量统计图
2021
(cid:4227)(cid:5949)(cid:3131)(cid:16)(cid:1340) A(cid:1462)(cid:4001)
B(cid:1462)(cid:4001)
90
80
80 75
70 62
60 53 50 52
50 45 43 46 46 42 43
40 45
42 42
30 40 38 38 39 35 37
32
20 30 30
10
0
(cid:3109)(cid:843)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
（1）观察这两个折线统计图所呈现的数据，说一说折线统计图适合呈现数
据的什么情况。
（2） — 年我国快递业务数量是怎样变化的？
2012 2021
（3）如果你是商场经理，你能从上面的复式折线统计图中得到哪些信息？
这些信息对你有什么帮助？
117练习二十八
1 下面哪些数是 的倍数？哪些是 的倍数？哪些是 的倍数？哪些是质
2 3 5
数？哪些是合数？哪些是奇数？哪些是偶数？说一说你是怎样判断的。
56 79 87 195 204 630 22 31 57 65 78 83
2 判断下面的说法是否正确，并说一说你的理由。
（1）两个合数相乘，积还是合数。
（2）两个不同质数的公因数只有 。
1
（3）一个数的因数一定比它的倍数小。
（4）两个数的最小公倍数是这两个数最大公因数的倍数。
（5）最小的质数是 。
1
3 找出下面每组数的最大公因数和最小公倍数，以其中一组为例，说一说你
是怎样找到的。
和 和 和 和 和
4 5 6 16 15 20 10 8 3 9
4 食品店有 多个松花蛋。如果把它们装进 个一排的蛋托中，正好装
70 4
完；如果把它们装进 个一排的蛋托中，也正好装完。一共有多少个松
6
花蛋？
5 （1）把 m长的绳子平均剪成 段，每段长 m，每段绳子是全长
4 5
的 。
（2） 年第二次大熊猫调查结果
1985
显示，全国共有 只野生大
1114
熊猫。 年第四次大熊猫调
2015
查结果显示，全国共有 只
1864
野生大熊猫，其中 只生活
1387
在四川。第二次调查到的野生大
熊猫数量是第四次调查数量的 ；根据第四次调查，生活在四
川的野生大熊猫占所有野生大熊猫数量的 。
1186 用直线上的点表示下面各数，哪个数最接近 ？
2
1 . 5 3 . 17 3 . 13
1 5 2 3 7 2 8
3 4 5 8 5 10
0 1 2 3 4
7 先填空，再把各数按从小到大的顺序排列起来。
（ ） （ ） （ ） （ ）
2 9 3 ÷
= =（ ） 5 3=（ ）=1（ ） 2=（ ）
7 21 12
8 下列分数中哪些是最简分数？把不是最简分数的化成最简分数，并说一说
化简的依据。
6 36 10 30 12 5 72
8 16 21 45 25 7 6
9 计算。
3 7 5 1 4 1 1 1 1
+ - - + +
10 10 6 6 7 3 6 5 2
（ ）
7 3 2 7 5 3 2
- + 7- 6- -
8 4 3 9 3 4 5
10 中国煤炭资源的种类较多，具体构成如右图。 烟煤
褐煤
（1）褐煤占煤炭总量的几分之几？ 3
煤
无 烟 4
（2）你还能提出其他数学问题并解答吗？
3
11 填写下表。 25
名称 图形及条件 表面积 体积
h
长方体 S V
= =
b
a
a
正方体 S V
= =
a
a
12 （1）举例说明 cm3 、 dm3 、 m3 各有多大， L、 mL的水大约有多少。
1 1 1 1 1
（2） m3= dm3 dm3 = m3 cm3= mL
1 700 81
L= dm3 . dm3= cm3 mL= L
1 2 3 560
119一块长方形铁皮（如右图），从四个角各切掉
一个边长 cm的正方形，然后做成无盖盒子。
5
这个盒子用了多少铁皮？它的容积有多大？
一个长方体的玻璃缸，长 dm，宽 dm，
8 6
高 dm，水深 . dm。如果竖直放入一块
4 2 8
棱长为 dm的正方体铁块，缸里的水会溢
4
出多少升？
用 个 摆一摆。
4
（1）如果从左面看到的图形是 ，这 个小正方体可能是怎样摆放的？
4
（2）请你再给出从另一个方向看到的图形，让同桌猜一猜 个小正方体是
4
怎样摆放的。
（1）画出“风筝”绕点A旋转 °
90
后的图形（只画出轮廓线）。
（2）说一说你是怎样旋转并画出图
形的。
mc
52
13
14 cm
30
15
16
A
17 北京 年冬奥会和冬残奥会上，国家游泳中心“水立方”完美化身为
2022
“冰立方”，成为世界首座完成“水冰转换”的奥运场馆。作为冰壶比赛
的场馆，“冰立方”改造出 条达到国际最高标准的冰壶赛道，每条赛道
4
长 . m，宽 . m。由于冰壶比赛对冰面的要求非常高，所以必须经
445 432
过多次细致的洒水，赛道上厚度约为 mm的冰层才能完美地呈现出来。
80
你知道大约需要洒多少升水吗？（ . L水可以转化为 L的冰。用计算器
09 1
计算。）
12018 — 年全国新能源汽车销售量统计图
2014 2021
(cid:18989)(cid:2651)(cid:18172)(cid:16)(cid:820)(cid:17587)
400
(cid:15)
3521
350
300
250
200
(cid:15)
150 125 (cid:15) 6 120 (cid:15) 6 1367
(cid:15)
100 735
(cid:15)
(cid:15) 507
50 331
(cid:15)
74
0
(cid:5025)(cid:1066)
2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
（1） — 年全国新能源汽车销售量是怎样变化的？
2014 2021
（2）请你预测下一年全国新能源汽车的销售量。
（3）观察折线统计图，你还能获得哪些信息？
19
某地区 — 年年人均支出和年人均食品支出统计图
1990 2020
(cid:2290)(cid:801)(cid:1705)(cid:2947)(cid:1123)
(cid:6619)(cid:7081)(cid:16)(cid:1035)
(cid:2290)(cid:801)(cid:1705)(cid:7100)(cid:1462)(cid:2947)(cid:1123)
21000
22000
20000
18000
15000
16000
14000
12000
9500
10000
8000
4800
6000 4000
6000
4000 2000 4500
800
2000 2300 2800
1600
400 900
0 (cid:2290)(cid:843)
1990 1995 2000 2005 2010 2015 2020
（1） — 年该地区年人均支出和年人均食品支出是怎样变化的？
1990 2020
（2）观察复式折线统计图，你还能发现什么？
121自
我
评
同学们，这学期要结束了，给
价
自己的表现画上小红花吧！
学 习 表 现
喜欢学习数学
愿意参加数学活动
上课专心听讲
积极思考
老师提出的问题
主动举手发言
发现并提出数学问题
愿意和同学讨论
学习中的问题
敢于把自己的想法
讲给同学听
认真完成作业
你觉得自己还应该在哪些方面更努力些？
122附页
图
1
图
2
123后 记
本册教材是在依据《义务教育数学课程标准（2011年版）》编写的《义务
教育教科书数学五年级下册》（2014年版）基础上修订的，修订重点是对文字
和插图进行了优化组合，对插图进行了重绘，2022年经国家教材委员会专家
委员会审核通过。
在此，对中央美术学院小学数学教材插图绘制团队和其他对插图重绘工作
提供过帮助与支持的社会各界朋友，表示深深的敬意和诚挚的谢意！
我们真诚地希望广大教师、学生和家长对教材提出意见和建议，以便不断
提高教材质量。
联系方式：
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人民教育出版社 课程教材研究所
小学数学教材编委会
2022年12月® YIWU JIAOYU JIAOKESHU
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