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3.2.2 双曲线
【题组一 双曲线的离心率】
1．（2020·全国）已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，直线 ： 与
交于 ， 两点.若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】联立 解得 ，
不妨设 ， ，
而 ，则 ，
即 ，
即 ，
整理可得 ，
解得 .
故选：A.
2．（2020·四川青羊.树德中学）设 是双曲线C： 的右焦点，O为坐标原点，过
的直线交双曲线的右支于点P，N，直线PO交双曲线C于另一点M，若 ，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线的左焦点为F，由双曲线的对称性可知四边形MF PF 为平行四边形．
1 2 1
∴ ．
设 ，则 ，
∴ ，即 ．
∵ ，
又 ，
在△MF F 中，由余弦定理可得： ，
1 2
即 ，
∴双曲线的离心率e ．
故选D．
3．（2019·甘肃省会宁县第二中学高二期末）已知双曲线 与椭圆 的焦点相同，
则该双曲线的离心率为（ ）A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】椭圆 的焦点坐标为 ， ，
所以 ，解得 ，
所以双曲线方程为 ，离心率 ，故选：A.
4．（2020·赤峰二中）设双曲线 的左、右两焦点分别为 ，P是双曲线右支上一
点，且三角形 为正三角形(O为坐标原点)，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，三角形 为正三角形，则 ，连接
可得 ，又 ，即 ，所以
故选：B5．（2020·北京高二期中）已知双曲线 的一条渐近线方程为y＝2x，那么该双曲线的离
心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于双曲线的渐近线为 ，所以 ，
所以 .
故选：D
6．（2020·广西兴宁）设F是双曲线 的右焦点.过点F作斜率为-3的直线l与双曲线
左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为双曲线 的两条渐近线方程为 ，
当过点F且斜率为-3的直线l与渐近线 平行时.
直线l只与双曲线右支有一个交点，数形结合可知，
当渐近线 的斜率满足 ，即 时，
直线l与双曲线左、右支均相交，
所以 .
故选:C.8．（2020·东湖江西师大附中高三月考（理））斜率为 的直线与双曲线 恒有两个公共点，
则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为斜率为 的直线与双曲线 恒有两个公共点，
所以 ，所以
所以双曲线离心率的取值范围是
故选：B
【题组二 直线与双曲线的位置关系】
1．（2019·安徽黄山）已知双曲线 的左焦点为 ，过 的直线 交双曲线左支于 、B两点，
则l斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】双曲线的渐近线为 ，当直线 与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点.当直线 斜率大
于零时，要与双曲线左支交于两点，则需直线斜率 ；当直线 斜率小于零时，要与双曲线左支交于两点，则需斜率 .故选B.
2．（2018·河北张家口.高二月考（文））已知双曲线 的离心率等于 ，直线 与双
曲线的左右两支各有一个交点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 双曲线 的离心率等于 ,
,可得
,
双曲线 ,
直线 与双曲线联立可得 ,
直线 与双曲线的左右两支各有一个交点,
, ,
即 的取值范围是 ，故选B.
3．（2020·江西东湖.南昌十中高二月考）若直线 过点 与双曲线 只有一个公共点，则这样的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【解析】当直线斜率存在时，设直线L：y=k（x-3），代入双曲线方程化简得（4-9k2）x2+54k2x-81k2-36=0
要使L与双曲线只有一个公共点，需上述方程只有一根或两实根相等，
∴4-9k2=0，或△=0（不成立），解得k=±
当直线斜率不存在时，直线为x=3，此时与双曲线也只有一个公共点，
故这样的直线有3条，
故选C
4．（2020·定远县民族学校高二月考（理））直线 与双曲线 交于不同的两点，则
斜率 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由双曲线 与直线 联立可 ，因为直线 与双曲线
交于不同的两点，所以 可得 ，斜率 的取值范围是 ，故
选C.
【题组三 弦长】
1．（2019·会泽县第一中学校高二月考（理））已知双曲线 的实轴长为 ，
一个焦点的坐标为 .
（1）求双曲线的方程；
（2）若斜率为2的直线 交双曲线 交于 两点，且 ，求直线 的方程.【答案】（1） ；（2） 或 .
【解析】（1）根据待定系数法求双曲线方程，知道 ， ；（2）设直线方程 ，
与双曲线方程联立，得到韦达定理，根据弦长公式 ，求出直线方程.
试题解析：（1）由 ，得 ，又 ，
∴ ，
∴双曲线 的方程为 .
（2）设直线 的方程为 ， ，
由 ，得 ，
∴ ，得 ，
∴弦长 ，解得 ，
∴直线 的方程为 或 .
2．（2019·甘南藏族自治州合作第一中学高二期末（文））过双曲线 的右焦点F作倾斜角为
的直线 ，交双曲线于A、B两点，
（1）求双曲线的离心率和渐近线；
（2）求|AB|.
【答案】（1） ， （2）|AB=8 |【解析】（1）因为双曲线方程为 ,所以 ,则 ,
所以 ,渐近线方程为
（2）由（1）,右焦点为 ,则设直线 为 ,
代入双曲线 中,化简可得 ,
所以 , ,
所以
3．（2019·四川省绵阳南山中学高二期中（理））已知双曲线C： 的一条渐近线方程为
，点 是双曲线的一个顶点.
（1）求双曲线的方程；
（2）经过双曲线的右焦点 作倾斜角为30°的直线l，且与双曲线交于A，B两点求AB的长.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为双曲线C的一条渐近线方程为 ，所以 ，即 .
又点 是双曲线的一个顶点，∴ ，得 ，
∴双曲线的方程为
（2）由（1）知，双曲线 的右焦点为 ，∴经过双曲线的右焦点 且倾斜角为30°的直线l的方程为 ，
联立直线与双曲线方程 ，消y得 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 .
4．（2020·盘县红果镇育才学校高三月考（文））已知双曲线C的离心率为 ，且过 点，过双曲
线C的右焦点 ，做倾斜角为 的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点， 为左焦点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求 的面积.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）过 点，所以 ， ，所以 ，又 ，所以 ，
所以双曲线的方程为 .
（2）结合题意可得直线AB的方程为 ，
设 ， ，联立方程 ，消去y，得 .
∴ ， ，∴ ，直线AB的方程变形为 .
∴原点O到直线AB的距离为 ，∴ .
【题组四 点差法】
1．（2019·新疆生产建设兵团第五师高级中学高二月考（文））已知双曲线中心在原点且一个焦点为
，直线 与其相交于 ， 两点， 中点横坐标为 ，则此双曲线的方程是
______.
【答案】
【解析】设点 、 ，
由题意可得 ， ， ，
直线 的斜率为 ，
则 ，两式相减得 ，
所以 ，
由于双曲线的一个焦点为 ，则 ， ， ，
因此，该双曲线的标准方程为 .
故答案为： .2．（2020·平罗中学高二月考（理））点 是曲线C： 的弦 的中点.则直线 的方
程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 ，
点 是曲线 ： 的弦 的中点，
.
把 的坐标代入曲线 的方程，可得
，两式相减得， ，
即 ，
，
即直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
故选： .3．（2018·安徽定远二中高二月考（理））已知椭圆 ，倾斜角为 的直线l与椭圆分别相交于
A.B两点，点P为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OP的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，
则 ，
整理得 ，
又因为 ，则 ，
所以 ，
又因为点P为线段AB的中点，
则 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
即直线OP的斜率为 ，
故选：B.4．（2020·银川三沙源上游学校高三二模（理））已知直线 : 与双曲线 : (
， )交于 ， 两点，点 是弦 的中点，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】设 ，因为 是弦 的中点，根据中点坐标公式得 .
直线 : 的斜率为 ，故 .
因为 两点在双曲线上，所以 ，
两式相减并化简得 ，
所以 ，所以 .
故选：D
5．（2020·萍乡市湘东中学高二期中（文））直线 恒过定点 ，若点 是双曲线
的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ ，得 ，所以定点 为 ，
设这条弦与双曲线的两交点分别为 ，
则有 ，
两式相减得 ，
得 ，
为弦的中点，所以弦的斜率存在，
弦所在直线斜率 ，
利用点斜式可得弦所在的直线方程为
在双曲线内部且斜率不等于 （渐近线斜率），
所求的直线与双曲线有两个交点.
故选：D.
6．（2020·甘肃兰州）过点 作一直线 与双曲线 相交于 、 两点，若 为
中点，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易知直线AB不与y轴平行，设其方程为y﹣2＝k（x﹣4）
代入双曲线C： ，整理得（1﹣2k2）x2+8k（2k﹣1）x﹣32k2+32k﹣10＝0设此方程两实根为 ， ，则
又P（4，2）为AB的中点，所以 8，解得k＝1
当k＝1时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的△＞0，
所求直线AB的方程为y﹣2＝x﹣4化成一般式为x﹣y﹣2＝0． ＝8， ＝10
|AB| | | • 4 ．故选D．
