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3.3 抛物线
思维导图常见考法
考点一 抛物线的定义
【例1】（2020·天津河西.高二期末）已知抛物线 的焦点为 ， 为原点，点 是抛物线 的
准线上的一动点，点 在抛物线 上，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
抛物线的定义，在求解抛物线上的点到焦点的距离，通常将其转化为该点到抛物线准线的距离求解;在
求解抛物线上的点到准线的距离，通常将其转化为该点到抛物线焦点的距离求解;
【一隅三反】
1．（2020·全国高二课时练习）已知抛物线 的焦点为 ， 是 上一点， ，
则 （ ）
A．4 B．2 C．1 D．82．（2020·全国高二课时练习）若抛物线 上一点 到焦点的距离是该点到 轴距离的 倍，
则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2020·全国高二课时练习）已知点 是抛物线 上的一动点， 为抛物线的焦点， 是圆 ：
上一动点，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
考点二 抛物线的标准方程
【例2】（2020·全国高二课时练习）设抛物线 的焦点为 ,点 在 上, ,若
以 为直径的圆过点 ,则 的方程为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【一隅三反】
1．（2020·内蒙古青山。北重三中高二期中（理））抛物线 的焦点是直线 与坐标轴交
点，则抛物线准线方程是( )
A． B．
C． D．2．（2020·四川射洪中学高二期中（文））位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之
桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为 ，跨径为 ，则桥形对应的抛物线的焦
点到准线的距离为( )
A． B． C． D．
3．（2020·江西高二期末（理））抛物线 的焦点为 ，点 是 上一点，
,则 （ ）
A． B． C． D．
考点三 直线与抛物线的位置关系
【例3】（2020·安徽高二期末（文））已知直线 与抛物线 相交于A、B两
点，F为C的焦点，若 ,则k=( )
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2019·四川阆中中学高二月考（文））已知直线 与抛物线 相切，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2019·辽宁鞍山.高二期中（理））若直线 是抛物线 的一条切线，则
__________．
3．（2020·上海市东昌中学北校高二期末）“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的
（ ）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充分必要 D ．既非充分又非必要
考点四 弦长
【例3】（1）（2019·伊美区第二中学高二期末（理））设 为抛物线 的焦点，过 且倾斜角
为 的直线交 于 ， 两点，则 （ ）
A． B． C． D．
（2）（2019·四川省绵阳南山中学高二期中（文））设F为抛物线C: 的焦点，过F且倾斜角为30°
的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．直线 的方程然后和抛物线方程联立,再由直线与圆锥曲线的交点弦弦长公式
【一隅三反】
1．（2020·四川双流.棠湖中学（文））已知直线 经过抛物线 的焦点，与抛物线相
交于 ， 两点， 为坐标原点，则 的面积为（ ）
A． B． C．4 D．1
2．（2020·江西赣州.高二月考（理））抛物线 的焦点 是双曲线 的一个
焦点，过 且倾斜角为 的直线 交 于 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
3．（2019·陕西汉台。高二期末（理））已知点 ， 是抛物线 ： 上的两点，且线段 过抛
物线 的焦点 ，若 的中点到 轴的距离为2，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
考点五 定点定值
【例5】（2019·临泽县第一中学高二期末（文））已知抛物线 ： ，过其焦点 作斜率为1的直线交抛物线 于 ， 两点，且线段 的中点的纵坐标为4.
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）若不过原点 且斜率存在的直线 与抛物线 相交于 、 两点，且 .求证：直线 过定
点，并求出该定点的坐标.
【一隅三反】
1．（2020·广西崇左.高二期末（理））如图，已知点F为抛物线C： （ ）的焦点，过点F
的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时， .
（1）求抛物线C的方程.
（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存
在，请说明理由.2．（2019·陕西新城.西安中学高二月考（文））已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F和椭圆 的
右焦点重合,直线 过点F交抛物线于A、B两点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线 交y轴于点M,且 ,m、n是实数,对于直线 ,m+n是否为定值?
若是,求出m+n的值；否则,说明理由.
