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3.3 抛物线
【题组一 抛物线的定义】
1．（2020·全国高二课时练习）已知抛物线 上一点P到准线的距离为 ，到直线 :
为 ，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】A
【解析】抛物线上的点 到准线的距离等于到焦点 的距离，
所以过焦点 作直线 的垂线，
则该点到直线的距离为 最小值，如图所示；
由 ，直线 ，所以 ，故选A.
2．（2020·全国高二课时练习）若抛物线 上的点 到其焦点的距离是 到 轴
距离的 倍，则 等于（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】由题意，3x=x+ ，∴x= ∴ ∵p＞0，∴p=2.故选D．
0 0 03．（2020·昆明市官渡区第一中学高二期中（文））已知抛物线 上点 （在第一象限）到焦点
距离为5，则点 坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，
因为点 到焦点 距离为5即 ,
根据抛物线定义： ，
解得： ，
代入抛物线方程 ，
得 即
故选：C
4．（2020·广东佛山.高二期末）已知抛物线 上的点 到其焦点的距离为2，则 的横坐标是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】抛物线 焦点 ，准线方程为 ，
设点 的横坐标为 ，根据抛物线的定义， .故选:C
5．（2020·定远县民族学校高二月考（理））已知抛物线 ： 的焦点为 ， 是 上一点，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，如图，
由抛物线的几何意义，可知 ，所以 ，
所以 ，故选D．
6．（2020·沙坪坝.重庆八中高二月考）若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p
的取值范围是（ ）
A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2
【答案】D
【解析】∵设P为抛物线的任意一点，
则P到焦点的距离等于到准线：x 的距离，
显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值 ．
∴ ，即p＞2．
故选：D．
7．（2019·河南濮阳.高二月考（文））若点 为抛物线 上的动点， 为 的焦点，则 的
最小值为（ ）A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】由y＝2x2，得 ，∴2p ，则 ，
由抛物线上所有点中，顶点到焦点距离最小可得，|PF|的最小值为 ．故选D．
【题组二 抛物线的标准方程】
1．（2020·全国高二课时练习）已知抛物线 的焦点为F，点 是
抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线 交于E，G两点，若 ，则抛物线C的
方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】作 ，垂足为点D．
由题意得点 在抛物线上，则 得 ．①
由抛物线的性质，可知， ，
因为 ，所以 ．
所以 ，解得： ．②．由①②，解得： （舍去）或 ．
故抛物线C的方程是 ．
故选C．
2．（2020·定远县育才学校高二月考（文））设斜率为2的直线 过抛物线 的焦点F，且
和y轴交于点A．若 为坐标原点)的面积为 ，则抛物线的方程为（ ）
A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝±4x D．y2＝±8x
【答案】D
【解析】 的焦点是 ，直线 的方程为 ，令 得 ，所以由
的面积为 得， ，故选 .
3．（2020·天津和平.耀华中学高二期末）设抛物线 ( )的焦点为 ,准线为 ,过焦点的直线
分别交抛物线于 两点,分别过 作 的垂线,垂足为 .若 ,且三角形 的面积为
,则 的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过点B作 交直线AC于点M，交 轴于点N，
设点 ，
由 得 ，即 ……①，
又因为 ,
所以 ,
所以 ，
所以 ……②，
由①②可解得 ，
在 中， ，
，
所以 ，
所以 ,
解得 或 （舍去），
故选：C
4．（2018·河南洛阳.高二一模（文））已知点 ，抛物线 ： 的焦点为 ，射线
与抛物线 交于点 ，与抛物线准线相交于 ，若 ，则 的值为（ ）
A．4 B．1 C．2 D．3
【答案】C【解析】依题意F点的坐标为（ ，0），设M在准线上的射影为K
由抛物线的定义知|MF|=|MK|，
则|KN|：|KM|=2：1， ， 得p=2，选C.
5．（2019·黑龙江香坊.哈尔滨市第六中学校高二期中（文））已知点 在抛物线
上，则 ______；点 到抛物线 的焦点的距离是______.
【答案】2 2
【解析】点 代入抛物线方程得： ，解得： ；
抛物线方程为： ，准线方程为： ，点M到焦点的距离等于点M到准线的距离：
故答案为2,2
6．（2020·全国高二课时练习）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ．若位于 轴上方
的动点 在准线 上，线段 与抛物线 相交于点 ，且 ，则抛物线 的标准方程为
____．
【答案】
【解析】如图所示，设 ，
过点 作 于点 ，由抛物线的定义知， ， ， ；
在 中， ， ，
从而 ；
又 ，所以 ，
即 ，所以 ；
在 中， ， ，
所以 ，
所以抛物线 的标准方程为 ．
故答案为 ．
7．（2020·四川省广元市川师大万达中学高二期中）已知抛物线 的准线与圆
相切，则 的值为_____.
【答案】2；
【解析】抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣ ，因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，
所以3+ =4，解得p=2．
故答案为2
【题组三 直线与抛物线的位置关系】
1．（2018·湖南衡阳市八中高二期中（文））过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的
直线共有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【解析】通过图形可知满足题目要求的直线只能画出3条
2．（2020·四川南充.高二期末（文））已知过点M（1，0）的直线AB与抛物线y2=2x交于A，B两点，O
为坐标原点，若OA，OB的斜率之和为1，则直线AB方程为______．
【答案】2x+y-2=0
【解析】依题意可设直线AB的方程为：x=ty+1，代入y2=2x得 ，
设A（x，y），B（x，y），则yy=-2，y+y=2t，
1 1 2 2 1 2 1 2
所以 ，∴ ，解得 ，
∴直线AB的方程为：x= +1，即2x+y-2=0．故答案为2x+y-2=0．
3．（2020·四川阆中中学高二月考（文））直线 与抛物线 交于 两点，若
，则弦 的中点到直线 的距离等于________.
【答案】
【解析】如图，直线 过定点 ， ，
而抛物线 的焦点 为 ， ，弦 的中点到准线 的距离为 ，
则弦 的中点到直线 的距离等于 ．
故答案为： ．
4．（2020·昆明市官渡区第一中学高二期末（理））设抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交抛物
线于 两点，过 的中点 作 轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点 ，若 ，则直线
的方程为__________．
【答案】
【解析】
抛物线方程为 ，
抛物线焦点为 ，准线为 ，
设 ，因为 在第一象限，所以直线 的斜率 ，
设直线 方程为 ，
代入抛物线方程消去 ，得 ，
，
过 的中点 作准线的垂线与抛物线交于点 ，
设 点的坐标为 ，可得 ，
，
，
得到 ，可得 ，
， ，解之得 ，
所以 ，直线方程为 ，即 ,
，故答案为 .
【题组四 弦长】
1．（2019·安徽滁州.高二期末（理））已知 为抛物线 上的不同两点， 为抛物线 的焦
点，若 ，则 （ ）
A． B．10 C． D．6
【答案】C【解析】设 ，则 ，
又 ，∴ ，∴ ， ，
∴ ，由 ，得 ，∴ .
故选C．
2．（2020·江西赣州.高二月考（理））过抛物线 ： 的焦点 的直线交抛物线 于 、
两点，且 ，则弦 的长为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【解析】抛物线的焦点弦公式为： ，
由抛物线方程可得： ，则弦 的长为 .本题选择C选项.
3．（2020·河南淇滨。鹤壁高中高二月考（文））过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 ，
两点，若 ，则 的值为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【解析】根据过抛物线焦点的弦长公式有 .故选B.
4．（2019·遵义市南白中学（理））已知过抛物线 焦点 的直线 交其于 两点， 为坐标原
点．若 ，则 的面积为_________.【答案】
【解析】设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π），
∵|AF|＝3，∴点A到准线l：x＝﹣1的距离为3，
∴2+3cosθ＝3，即cosθ ，则sinθ ．
∵BF＝2+ BF cos（π﹣θ）
∴BF
∴△AOB的面积为S ．
故答案为： ．
5．（2020·威远中学校高二月考（文））过抛物线 的焦点 作倾斜角为 的弦 ，则 的
弦长为 .
【答案】
【解析】这是一个求过抛物线的焦点弦的长度的问题，可以先求出过抛物线的焦点的弦所在直线的方程，
然后再将直线方程与抛物线方程联立，并结合韦达定理，即可求得结果.由于抛物线的焦点是 ，所
以直线方程是 ，联立消 得 ，所以 ，故答案应填 .
6（2018·民勤县第一中学高二期末（文））过抛物线y2=4x的焦点，作倾斜角为 的直线交抛物线于P、Q
两点，O为坐标原点，则 POQ的面积为_________.
【答案】【解析】设P ，Q ，则 ，过抛物线y2=4x的焦点（1，0），倾斜角为
的直线为x-y-1=0，即x=1+y，代入y2=4x得： ，即 ，∴
，∴ ∴
【题组五 定点定值】
1.（2019·山西太行中学高二月考（理））已知 为抛物线 的焦点，过 的动直线交
抛物线 于 ， 两点．当直线与 轴垂直时， ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）设直线 的斜率为1且与抛物线的准线 相交于点 ，抛物线 上存在点 使得直线 ， ，
的斜率成等差数列，求点 的坐标．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）因为 ，在抛物线方程 中，令 ，可得 ．
于是当直线与 轴垂直时， ，解得 ．
所以抛物线的方程为 ．
（2）因为抛物线 的准线方程为 ，所以 ．
设直线 的方程为 ，
联立 消去 ，得 ．设 ， ， ， ，则 ， ．
若点 ， 满足条件，则 ，
即 ，
因为点 ， ， 均在抛物线上，所以 ．
代入化简可得 ，
将 ， 代入，解得 ．
将 代入抛物线方程，可得 ．
于是点 为满足题意的点．
2．（2019·安徽六安一中高二月考（文））已知 是抛物线 ： 的焦点，点
在抛物线上，且 .
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）若 、 是抛物线 上的两个动点，且 ， 为坐标原点，求证：直线 过定点.
【答案】（1） ;（2）证明见解析
【解析】（1）由题意得, ,解得 ,
因为点 在抛物线 上,则 ,解得 ,
又 ,所以 ,即拋物线 的标准方程为 .（2）设 , ,
因为 ,所以 ,即得 ,
因为点 、 在抛物线 上,所以 , ,
代入得 ,因为 ,则 ,
设直线 的方程为 ,联立 ,得 ,
则 ,所以 ,
所以直线 的方程为 ，过定点 .
3．（2019·黄石市教育科学研究院高二期末（理））已知点F是拋物线C:y2=2px(p>0)的焦点,点M(x ,1)在C
0
上,且|MF|= .
(1)求p的值;
(2)若直线l经过点Q(3,-1)且与C交于A,B(异于M)两点,证明:直线AM与直线BM的斜率之积为常数.
【答案】（1） ；（2）
【解析】(1)由抛物线定义知|MF|=x + ,则x+ = x,解得x=2p,
0 0 0 0
又点M(x ,1)在C上,所以2px=1,解得x=1,p= .
0 0 0
(2)由(1)得M(1,1),C:y2=x.
当直线l经过点Q(3,-1)且垂直于x轴时,不妨设A(3, ),B(3,- ),
则直线AM的斜率k = ,直线BM的斜率k = ,所以k ·k =- × =- .
AM BM AM BM当直线l不垂直于x轴时,设A(x ,y),B(x ,y),
1 1 2 2
则直线AM的斜率k = = = ,同理直线BM的斜率k = ,∴k ·k = · = .
AM BM AM BM
设直线l的斜率为k(显然k≠0且k≠-1),则直线l的方程为y+1=k(x-3).
联立 消去x,得ky2-y-3k-1=0,
所以y+y= ,yy=- =-3- ,故k ·k = = =- .
1 2 1 2 AM BM
综上,直线AM与直线BM的斜率之积为- .
4．（2018·湖南天心.长郡中学高二开学考试（理））在直角坐标系 中，曲线C：y= 与直线
交与M,N两点，
（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.
【答案】（Ⅰ） 或 （Ⅱ）存在
【解析】
【分析】（Ⅰ）由题设可得 ， ，或 ， .
∵ ，故 在 = 处的导数值为 ，C在 处的切线方程为
，即 .
故 在 =- 处的导数值为- ，C在 处的切线方程为
，即 .故所求切线方程为 或 .
（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：
设P（0，b）为复合题意得点， ， ，直线PM，PN的斜率分别为 .
将 代入C得方程整理得 .
∴ .
∴ = = .
当 时，有 =0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，
故∠OPM=∠OPN，所以 符合题意.
5（2020·定远县育才学校高二月考（文））已知抛物线 的顶点在原点,焦点在坐标轴上，点 为抛
物线 上一点.
（1）求 的方程；
（2）若点 在 上，过 作 的两弦 与 ，若 ，求证:直线 过定点.
【答案】（1） 或 ； （2）证明见解析．
【解析】（1）当焦点在 轴时，设 的方程为 ，代人点 得 ，即 .当焦点
在 轴时，设 的方程为 ，代人点 得 ，即 ，
综上可知： 的方程为 或 .（2）因为点 在 上，所以曲线 的方程为 .
设点 ，
直线 ，显然 存在，联立方程有：
.
,
即 即 .
直线 即 直线 过定点 .
6．（2020·长春兴华高中高二期末（文））已知抛物线C； 过点 ．
求抛物线C的方程；
过点 的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点 均与点A不重合 ，设直线AM，AN的斜
率分别为 ， ，求证： 为定值．
【答案】（1） ．（2）见解析．
【解析】（1）由题意得 ，所以抛物线方程为 ．
（2）设 ， ，直线MN的方程为 ，代入抛物线方程得 ．
所以 ， ， ．
所以 ,
所以 ， 是定值．
