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4.2.2 等差数列的前n项和（2）
一、单选题
1．等差数列 的前n项和为 ，且 =6， =4，则公差d等于（ ）
A．1 B． C．-2 D．3
【答案】C
【解析】依题意得 ， ，
故选C.
2．已知数列{a}的通项公式为a＝2n－37，则S 取最小值时n的值为（ ）
n n n
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】B
【解析】因为 ，当 时， ，当 时， ，故 的最小值为 ，
故选B.
3．在等差数列 中，首项 ，公差d 0，若 ，则k=（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
【答案】A
【解析】依题意有 ，由于 ，故 .
故选A.
4．等差数列 共有2n+1项，其中 ， ，则n的值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】A
【解析】由 ，可得 ，由 ，可得 ，，又 ， .
故选A.
5．已知等差数列 中， ，那么 =（ ）
A．390 B．195 C．180 D．120
【答案】B
【解析】由等差数列性质： ， 和 ，原式可以化简：
，
故选B.
6．已知数列 中，前 项和 ，则使 为最小值的 是（ ）
A．7 B．8 C．7或8 D．9
【答案】C
【解析】 ，
∴数列 的图象是分布在抛物线 上的横坐标为正整数的离散的点．
又抛物线开口向上，以 为对称轴，且 |，
所以当 时， 有最小值．
故选C．
7．等差数列的前 项和为25，前 项和为100，则它的前 项和为（ ）
A．125 B．200 C．225 D．275
【答案】C
【解析】由题可知， ， ，由 成等差数列，即成等差数列， ，解得
故选C
8．在数列 中，若 ，且 ，则这个数列前30项的绝对值之和为（ ）
A．495 B．765 C．46 D．76
【答案】B
【解析】由题意，可知 ，即 ，即数列 为公差为3的等差数列，
又由 ，所以 ， ，
可得当 时， ，当 时， ，
所以数列前 项的绝对值之和为：
，
故选B.
9．设数列 是等差数列，且 ， ， 是数列 的前n项和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，设公差为 ，则 ，因此 是前 项
和 的最小值.
故选C.
10．已知 为等差数列， , ,以 表示 的前 项和，则使得
达到最大值的 是（ ）A．21 B．20 C．19 D．18
【答案】B
【解析】设等差数列 的公差为 ，则由已知 , ,得：
，解得： ，
，由 ，得： ，
当 时， ，当 时， ，
故当 时， 达到最大值.
故选B．
11．设等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】 是等差数列
又 ，
∴公差 ，
，
故选C．
12．在等差数列 中， ，其前 项和为 ，若 ，则 的值等于（）
A．2011 B．-2012 C．2014 D．-2013
【答案】C
【解析】等差数列中， 即数列 是首项为 ，
公差为 的等差数列；因为， ，所以， ， ，
所以， ，
故选 .
二、填空题
13．设等比数列 的前 项和是 ，若 ，则 ________.
【答案】
【解析】由等比数列前 项和的性质，可得 成等比数列，
所以 .
由 得 ，代入上式可得 ，
所以 ，即 .
故填
14．数列 是等差数列，首项 则使前 项和 0成立的最大自然数是_______.
【答案】4006
【解析】因为数列 是等差数列，首项 ， ， ，
所以 ， ，
因此 ，
，
所以 的最大值是4006.
故填4006.
15．设 为等差数列， 则使其前 项和 0成立的最大自然数是______.
【答案】12
【解析】因为 ，故 ，
又 ， ，所以 ，可知 ，即 最大取12.
故填12.
16．等差数列 中， 且 ， 为其前 项和，则使 的 的最小值为
________.
【答案】20
【解析】因为 ， ， ，所以 ，
因此 ， ，
，
因此n的最小值为20.故填20.
17．若两个等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若对于任意的 都有 ，则
__________．
【答案】
【解析】由等差数列的性质可得： ．
对于任意的 都有 ，
则 ．
故填 ．
18．已知正项数列 满足 ，且 ，其中 为数列 的前 项和，若实数 使
得不等式 恒成立，则实数 的最大值是________.
【答案】9
【解析】依题意，数列 为等差数列，因为 ，
即 ，即 ，因为 ，
即 ，因为 在 时单调递增，
其最小值为9，所以 ，故实数 的最大值为9.
故填9三、解答题
19．已知等差数列 满足 ， ，求数列 的通项公式及 的最大值．
【解析】由题意可知， ，即数列 的通项公式为
， ， 当 或
8时， 取最大值28．
20．已知两个等差数列 和 的前n项和分别为 和 ，且 ，试求能使 为整数的
正整数n的个数．
【解析】
，
当 时， 为正整数，即能使 为整数的正整数n的个数为5个.
21．已知数列 的前n项和为 ， ，其中λ为常数．
（1）证明： ；
（2）当 为何值时，数列 为等差数列？并求 ．
【解析】（1）由题设， ．两式相减，得 ． ，
（2）由题设， ，可得 ，由（1）知， ，
若数列 为等差数列，则 ．解得 ，故 ，
由此得 是首项为1，公差为4的等差数列， ；
是首项为3，公差为4的等差数列， ．
．
因此当 时，数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，且
22．设数列 的前 项和为 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求 .
【解析】（1）当 时， ，当 时，
，所以 ，当 是上式也符合，故数
列 的通项公式为 .令 ，解得 ，故 为负数， 开始数列
为正数.故 .也即数列 的通项公式为 .
（2）当 时， .
， .当 时， .
综上所述 ， .
