文档内容
4.3.2等比数列的前n项和公式 (2) -B提高练
一、选择题
1．（2021·全国高二课时练）我国明代著名乐律学家､明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的
十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c键到下一个 键的8个白键与5个
黑键(如图)的音频恰成一个公比为 的等比数列的原理，也即高音 的频率正好是中音c的2倍.
已知标准音 的频率为440Hz，那么频率为 的音名是（ ）
A．d B．f C．e D．#d
【答案】D
【详解】由题意可得从左到右的音频恰成一个公比为 的等比数列，设频率为 的音名
为等比数列的首项，标准音 为第 项，则 ，解得 ，从标准音 开
始，往左数7个的音名是#d.故答案为：D.
2．（2021·山东临沂市高二期末）已知数列 满足 ， ， ， 是等
比数列，则数列 的前8项和 （ ）
A．376 B．382 C．749 D．766
【答案】C
【详解】由已知得， ， ，而 是等比数列，故 ，
，，化简得 ，
3．（2021·湖北黄石高二期末）在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某
机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每32人为一组，把每个人抽
取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该32人再次抽检确认感
染者.某组32人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性)，若逐一检测可能需要31次才能确
认感染者.现在先把这32人均分为两组，选其中一组16人的样本混合检查，若为阴性，则认定在另
一组；若为阳性，则认定在本组.继续把认定的这组的16人均分两组，选其中一组8人的样本混合
检查……依此类推，最终从这32人中认定那名感染者需要经过（）次检测.
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】法一：先把这32人均分为2组，选其中一组16人的样本混合检查，
若为阴性则认定在另一组；
若为阳性，则认定在本组，此时进行了1次检测，
继续把认定的这组的16人均分两组，选其中一组8人的样本混合检查，
若为阴性则认定在另一组；
若为阳性，则认定在本组，此时进行了2次检测.
继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查，
若为阴性则认定在另一组；
若为阳性，则认定在本组，此时进行了3次检测，
继续把认定的这组的4人均分两组，选其中一组2人的样本混合检查，
若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了4次检测.
选认定的这组的2人中一人进行样本检查，
若为阴性则认定是另个人；若为阳性，则认定为此人，此时进行了5次检测，
所以，最终从这32人中认定那名感染者需要经过5次检测，故选C.
法二：设第 次检测后余下的人数为 ，则 且 ，
故 ，令 ，则 ，故需要检测5次，故选：C.4．（2021·宁夏吴忠市吴忠中学高二期末）已知数列 中，其前 项和为 ，且满足
，数列 的前 项和为 ，若 对 恒成立，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当 时， ，得 ；当 时，由 ，得 ，两
式相减得 ，所以数列 是以1为首项， 为公比的等比数列．
因为 ，所以 ．又 ，所以 是以1为首项， 为公比的等比数列，
所以 ， ，
由 ，得 ，所以 ，
所以 ，所以 ．综上，实数 的取值范围是 ．
5．（多选题）（2021·江苏省木渎高级中学高二期末）一个弹性小球从100m高处自由落下，每次
着地后又跳回原来高度的 再落下.设它第n次着地时，经过的总路程记为 ，则当 时，下
面说法正确的是（ ）
A． B．C． 的最小值为 D． 的最大值为400
【答案】AC
【详解】由题可知，第一次着地时， ；第二次着地时， ；
第三次着地时， ；……
第 次着地后，
则 ，显然 ，又 是关于 的
增函数， ，故当 时， 的最小值为 ；
综上所述，AC正确故选：AC
6. （多选题）（2021·全国高二课时练）设首项为1的数列 的前 项和为 ，已知
，则下列结论正确的是（ ）
A．数列 为等比数列 B．数列 为等比数列
C．数列 中 D．数列 的前 项和为
【答案】BCD
【详解】因为 ，所以 ．
又 ，所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列，故B正确；
所以 ，则 ．
当 时， ，但 ，故A错误；由当 时， 可得 ，故C正确；
因为 ，所以
所以数列 的前 项和为 ，故D正确．故选：BCD．
二、填空题
7．（2021·北京高二期末）我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老
鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙.大老鼠第一天打进 1尺，以后每天进度是前一天的 倍.小老鼠
第一天也打进 尺，以后每天进度是前一天的一半.如果墙的厚度为 尺，则两鼠穿透此墙至少在
第________天.
【答案】4
【详解】设两只老鼠在第 天相遇，则大老鼠第 天打洞的厚度成以 为公比的等比数列，
小老鼠第 天打洞的厚度成以 为公比的等比列，由等比数列的求和公式可得 ，
整理得 ，可得 （舍去）或 ，所以，两鼠
穿透此墙至少在第 天.
8．（2021·河南郑州市高二期末）数列 中， ，若
，则 _______________________．
【答案】3
【详解】因为 ，所以 ，所以 ， 是等比数列，公
比为2．所以 ．因为，所以 ．
9．（2020·宁夏银川一中高二期末）如图，在平面上作边长为 的正方形，以所作正方形的一边为
斜边向外作等腰直角三角形，然后以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，再以新的
正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形， 如此这般的作正方形和等腰直角三角形，不断地
持续下去，求前n个正方形与前n个等腰直角三角形的面积之和__________.
【答案】
【详解】设依次所作的第 个正方形的边长为 ，第 个正方形与第 个等腰直角三角形的面积和
为 ，则第 个等腰直角三角形的腰长为 ，且 .
第 个正方形的边长为 ， ， ，
，且 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列. .
10．（2021·河南开封高二期末）已知数列 的前 项和为 ，首项 且 ，
若 对 恒成立，则实数 的取值范围是__________．
【答案】【解析】因为 ，所以 ，
∴数列 是以 为首项，公比为2的等比数列，
∴ ， .因此 .
所以 对 恒成立，可化为 对 恒成立.
当 为奇数时， ，所以 ，即 ；
当 为偶数时， ，解得 .综上，实数 的取值范围是 .
三、解答题
11．（2021·上海市金山中学高二期末）某商店采用分期付款的方式促销一款价格每台为6000元的
电脑.商店规定，购买时先支付货款的 ，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，
且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为 .
（1）到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？
（2）假设货主每月还商店 元，写出在第 个月末还款后，货主对商店欠款数表达
式.
（3）每月的还款额 为多少元（精确到0.01元）？
【详解】（1）因为购买电脑时，货主欠商店 的货款，即 ，
又按月利率 ，到第一个月底的欠款数应为 元，
即到第一个月底，欠款余额为 元；
（2）设第 个月底还款后的欠款数为 ，则有 ，
，
，……
整理得： ；
（3）由题意可得： ，所以 ，
因此
12．（2020·辽宁高二期末）某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利
，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，
方能保持原有的利润增长率．设经过 年之后，该项目的资金为 万元．
（1）设 ，证明数列 为等比数列，并求出至少要经过多少年，该项目的资金才可以
达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标（取 ）；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
【详解】
解：（1）由题意可得， ，
∵ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，数列 是以250为首项，以 为公比的等比数列，
∴ ， ，令 可得 ，
∴ ，
从而可得， ，
故 ，至少要经过12年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番的目标；
（2） ，
，
，
两式相减可得， ，
，
∴ ．
