专题14二项式定理、复数（5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）-备战2024年高考数学考试易错题（新高考专用）（原卷版）_2024年3月_02按日期_16号

专题 14 二项式定理、复数 易错点 一：忽略了二项式中的负号而致错（（a-b）n化解问题） Ⅰ：二项式定理 n 一般地，对于任意正整数 ，都有： ， (ab)n 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做 的二项展开式． 式中的 做二项展开式的通项，用 表示，即通项为展开式的第 项： ， 其中的系数 （r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数， Ⅱ：二项式 的展开式的特点： ①项数：共有 项，比二项式的次数大1； ②二项式系数：第 项的二项式系数为 ，最大二项式系数项居中； ③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数 ．字母 降幂排列，次数由 到 ；字母 升幂排列，次 数从 到 ，每一项中， ， 次数和均为 ； ④项的系数：二项式系数依次是 ，项的系数是 与 的系数（包括二项式系数）． Ⅲ：两个常用的二项展开式：(ab)n C0anC1an1b(1)rCranrbr(1)nCnbn nN* ① n n n n （ ） (1x)n 1C1xC2x2Crxrxn ② n n n Ⅳ：二项展开式的通项公式 二项展开式的通项： Cr 公式特点：①它表示二项展开式的第 项，该项的二项式系数是 n； ②字母 的次数和组合数的上标相同； ③ 与 的次数之和为 ． Cranrbr Crbnrar 注意：①二项式 的二项展开式的第r+1项 n 和 的二项展开式的第r+1项 n 是有 区别的，应用二项式定理时，其中的 和 是不能随便交换位置的． T (1)rCranrbr ②通项是针对在 这个标准形式下而言的，如 的二项展开式的通项是 r1 n （只 需把 看成 代入二项式定理）． 易错提醒：在二项式定理 的问题要注意 的系数为 ，在展开求解时不要忽略. 例、已知 的展开式中含 的项的系数为30，则 （ ） A． B． C．6 D． 变式1：在 的展开式中， 的系数是 ． 变式2： 展开式的常数项为 . 变式3： 的展开式中 的系数为 .1． 的二项式展开式中 的系数为（ ） A．560 B．35 C．-35 D．-560 2．若 的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则 的展开式中的常数项为 （ ） A．6 B．8 C．28 D．56 3． 的展开式中 的系数为（ ） A．55 B． C．65 D． 4．若 的展开式中含有常数项（非零），则正整数 的可能值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 5． 的展开式中 的系数为 ，则实数 （ ） A．2 B．1 C． D． 6．在 的展开式中， 的系数为（ ） A． B．21 C．189 D． 7． 的展开式中含 的项的系数为 . 8．已知 的展开式中的常数项是672，则 . 9．在 的展开式中， 的系数为 ． 10． 的展开式中，按 的升幂排列的第3项的系数为 ．11．在 的展开式中的 的系数是 . 12．二项式 的展开式中常数项为 ． 13． 的展开式的第三项的系数为135，则 ． 易错点二：三项式转化不合理导致计算麻烦失误（三项展开式的问题） 求三项展开式式中某些特定项的系数的方法 第一步：通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解 第二步：两次利用二项式定理的通项公式求解 第三步：由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作 几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量 易错提醒：对于三项式的展开问题，一般采取转化为二项式再展开的办法进行求解，但在转化为二项式的 时候，又有不同的处理策略：一是如果三项式能够化为完全平方的形式，或者能够进行因式分解，则可通 过对分解出来的两个二项展开式分别进行分析，进而解决问题（如本例中的解法二）；二是不能化为完全 平方的形式，也不能进行因式分解时，可直接将三项式加括号变为二项式，套用通项公式展开后对其中的 二项式再利用通项展开并进行分析求解，但要结合要求解的问题进行合理的变形，以利于求解. 例、 的展开式中，x的一次项的系数为（ ） A．120 B．240 C．320 D．480 变式1：在 的展开式中，含 的系数为 . 变式2： 展开式中 的系数为 （用数字作答）．变式3：在 的展开式中，形如 的所有项系数之和是 ． 1． 的展开式中的常数项为（ ） A．588 B．589 C．798 D．799 2．在 的展开式中， 的系数是（ ） A．24 B．32 C．36 D．40 3． 的展开式中 的系数为12，则 （ ） A． B． C． D． 4． 的展开式中 的系数为（ ） A． B．60 C． D．120 5．设 ，已知 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，且展开式中所有项的系数和为 256，则 中 的系数为（ ） A． B． C． D． 6． 的展开式中， 的系数为（ ） A．80 B．60 C． D． 7．已知 展开式的各项系数之和为 ，则展开式中 的系数为（ ） A．270 B． C．330 D． 8． 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为256，则中 的系数为（ ） A．1 B．4或1 C．4或0 D．6或0 9． 的展开式中 项的系数为 ． 10． 展开式中， 项的系数为 . 11． 的展开式中 项的系数为 ． 12．在 的展开式中， 的系数为 . 13． 的展开式中， 的系数为10，则 . 14． 展开式中的常数项为 .（用数字做答） 15． 展开式中含 项的系数为 ． 16． 的展开式中 的系数为 ． 17． 的展开式中 的系数为 （用数字作答）． 易错点三：混淆项的系数与二项式系数致误（系数与二项式系数问题） Ⅰ：二项式展开式中的最值问题 1.二项式系数的性质 ①每一行两端都是 ，即 ；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即 ． ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 ． ③二项式系数和令 ，则二项式系数的和为 ，变形式． ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令 ， 则 ， 从而得到： ． ⑤最大值： 如果二项式的幂指数 是偶数，则中间一项 的二项式系数 最大； 如果二项式的幂指数 是奇数，则中间两项 ， 的二项式系数 ， 相等且最大． 2.系数的最大项 求 展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为 ，设第 项系数最大，应有 ，从而解出 来． Ⅱ：二项式展开式中系数和有关问题 常用赋值举例： abn C0an C1an1bC2an2b2Cranrbr Cnbn （1）设 n n n n n ， 二项式定理是一个恒等式，即对 ， 的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取 ， 的值． ab1 2n C0 C1 Cn ①令 ，可得： n n n 0C0C1C2C31nCn ②令 ，可得： n n n n n，即： C0 C2 Cn C1 C3Cn1 n n n n n n n （假设 为偶数），再结合①可得： C0 C2 Cn C1 C3Cn1 2n1 n n n n n n ． （2）若 ，则 ①常数项：令 ，得 ．②各项系数和：令 ，得 ． 注意：常见的赋值为令 ， 或 ，然后通过加减运算即可得到相应的结果． 易错提醒：二项式定理 的问题要注意：项的系数与二项式系数的区别与联系（求所有项的系数只要 令字母值为1）. 例、设 的展开式中，第三项的系数为36，试求含 的项． 变式1：求 的展开式中第3项的系数和二项式系数． 变式2：计算 的展开式中第5项的系数和二项式系数． 变式3：求 的展开式中常数项的值和对应的二项式系数． 1．在二项式 的展开式中，二项式系数最大的是（ ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第3项和第4项 2．已知二项式 的展开式中仅有第 项的二项式系数最大，则 为（ ） A． B． C． D． 3．在二项式 的展开式中，下列说法正确的是（ ） A．常数项是 B．各项系数和为 C．第5项二项式系数最大 D．奇数项二项式系数和为32 4．在二项式 的展开式中，下列说法正确的是（ ）A．第6项的二项式系数最大 B．第6项的系数最大 C．所有项的二项式系数之和为 D．所有项的系数之和为1 5．已知2，n，8成等差数列，则在 的展开式中，下列说法正确的是（ ） A．二项式系数之和为32 B．各项系数之和为1 C．常数项为40 D．展开式中系数最大的项为80x 6．下列关于 的展开式的说法中正确的是（ ） A．常数项为－160 B．第4项的系数最大 C．第4项的二项式系数最大 D．所有项的系数和为1 7．若 的展开式的二项式系数之和为16，则 的展开式中 的系数为 . 8．已知常数 ，在 的二项展开式中的常数项为15，设 ，则 ． 9．在 的二项式中，所有的二项式系数之和为64，则各项的系数的绝对值之和为 ． 10．二项式 的展开式中常数项为 （用数字作答）. 11．已知 的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则 . 12． 的展开式中含 项的系数为 .13．若 展开式的二项式系数和为64，则展开式中第三项的二项式系数为 . 14．若 的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是 . 15．已知 ，若 展开式各项的二项式系数的和为 1024，则 的值为 ． 16．已知 的展开式中二项式系数和是64，则展开式中x的系数为 ． 17．已知二项式 的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则 . 18．已知 的展开式中第7项和第8项的二项式系数相等，求展开式中系数最大的项及二项式系数 最大的项． 易错点四：混淆虚部定义致错（求复数虚部） Ⅰ：复数的概念 ①复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，a，b分别是它的实部和虚部， 叫虚数单位，满足 （1）当且仅当b＝0时，a＋bi为实数； （2）当b≠0时，a＋bi为虚数； （3）当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数．其中，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数 相等 （两复数对应同一点） ③复数的模：复数 的模，其计算公式 Ⅱ：复数的加、减、乘、除的运算法则 1、复数运算（1） （2） 其中 ，叫z的模； 是 的共轭复数 ． （3） ． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 2、复数的几何意义 （1）复数 对应平面内的点 ； （2）复数 对应平面向量 ； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数 的模 表示复平面内的点 到原点的距离． 易错提醒：1、求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a， b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.2、复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R b＝0(a， ⇔ b∈R)；②z∈R z＝；③z∈R z2≥0 3、复数是纯虚数的条件：①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0 ⇔ ⇔ 且b≠0(a，b∈R)；②z是纯虚数⇔z＋＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2＜0 例、复数 虚部是（ ） 的A. B. C. D. 变式1：已知复数 （ 为虚数单位），则 的虚部为（ ） A． B． C． D． 变式2：已知 是虚数单位，则复数 的虚部是（ ） A． B． C． D． 变式3：已知复数 ，则复数z的虚部为 ， ． 1． 的虚部为（ ） A．4 B． C． D．2 2．复数 （i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为（ ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 3．已知 ， 则 的虚部是（ ） A．2 B． C． D． 4． 的虚部为（ ） A． B． C． D． 5．若 是虚数单位，则复数 的虚部为（ ） A． B． C． D．6．已知复数 ，则 的虚部为（ ） A．－2 B．－1 C．6 D．2 7．已知复数 满足 ，则复数 的虚部为（ ） A．i B．1 C． D． 8．已知复数 在复平面内的对应点为 ，则 的虚部为（ ） A． B． C． D． 9．若复数z满足 （i是虚数单位），则复数z的虚部为（ ） A． B． C． D． 10．已知i为虚数单位，复数z满足 ，则 的虚部是（ ） A． B． C． D． 11．已知复数 满足 ，其中 是 的共轭复数，则复数 的虚部是（ ） A．1 B． C． D． 12．已知复数z满足 （ 为虚数单位），则z的虚部为（ ） A． B． C． D． 13．已知 ，则z的虚部为（ ） A． B． C． D． 易错点五：复数的几何意义应用错误（复数有关模长的求算） 复数的模：复数 的模，其计算公式 易错提醒：复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系，两个复数差的模可以理解为两点之间的距 离.例、若 ，且 ，则 最的小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式1：已知复数z满足 ， 为z的共轭复数，则 的最大值为 . 变式2：已知 为虚数单位，且 ，则 的最大值是 . 变式3：已知复数 满足 ，则 的最大值为 ． 1．设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为 ，则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 的最小值为（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 3．若复数 满足 ，则 （ 为虚数单位）的最小值为（ ） A． B． C． D． 4．若复数z满足 ( 为虚数单位），则 的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D． +1 5．复数 满足 （ 为虚数单位），则 的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．66．设复数 满足 ， 在复平面内对应的点为 ，则（ ） A． B． C． D． 7．设复数 满足 ，则 的最大值是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．已知复数z满足 ，则 的最小值为（ ） A．1 B．3 C． D． 9．已知复数 满足 ，则（ ） A． 的虚部为 B． C． 在复平面内对应的点在第四象限 D．若复数 满足 ，则 10．已知复数 满足 ，则 的最大值是 ． 11．复数z满足 （i为虚数单位），则 的最大值为 ． 12．若复数 满足 ，则 的最小值为 . 13．已知复数 满足 ，则 的最小值为 . 14．已知 为虚数单位，且 ，则 的最大值是 ． 15．已知复数z满足 ，则 的最大值是 ． 16．设复数 满足 ， 在复平面内对应的点为 ，则点 的轨迹方程为 .17．若复数z满足 ，则 的最小值为 ．