4.4.3 不同函数增长的差异
（用时45分钟）
【选题明细表】
知识点、方法 题号
指数函数、对数函数、幂函数模型的比较 1,3,5,9
图象信息迁移问题 2,7,10,12
应用函数模型解决问题 4,6,8,11
基础巩固
1.如果某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍,那么该工厂这一年中的月平均增长率是( )
7 7
A. B. C.1√27-1 D.1√17-1
11 12
【答案】D
【解析】设月平均增长率为x,1月份的产量为a,则有a(1+x)11=7a,则1+x=1√17,故x=1√17-1.
2.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)
的图象大致是( )
【答案】D
【解析】设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意知ax=a(1+0.104)y,即y=log x(x≥1),所以y=f(x)的
1.104
图象大致为D中图象.
3.现有一组实验数据如下:
t 1.99 3.00 4.00 5.10 6.12
V 1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是( )
A.V=log t B.V=log t
2 1
2
t2-1
C.V= D.V=2t-2
2
【答案】C
【解析】当t=4时,选项A中的V=log 4=2,
2选项B中的V=lo g 4=-2,
1
2
42-1
选项C中的V= =7.5,
2
选项D中的V=2×4-2=6,故选C.
4.在固定电压差(电压为常数)的前提下,当电流通过圆柱形的电线时,其电流强度I(单位:安)与电线半
径r(单位:毫米)的三次方成正比.若已知电流通过半径为4毫米的电线时,电流强度为320安,则电流通
过半径为3毫米的电线时,电流强度为( )
A.60安 B.240安 C.75安 D.135安
【答案】D
320
【解析】设比例系数为k,则电流强度I=kr3,由已知可得当r=4时,I=320,故有320=43k,解得k= =5,
64
所以I=5r3,则当r=3时,I=5×33=135(安).
5.若a>1,n>0,则当x足够大时,ax,xn,logx的大小关系是 .
a
【答案】logx<xn<ax
a
【解析】由三种函数的增长特点可知,当x足够大时,总有logx<xn<ax.
a
6.某种细菌在培养过程中,每15分钟分裂1次(由1个分裂成2个),这种细菌由1个分裂成4 096个需
经过 小时.
【答案】3
【解析】设1个细菌分裂x次后有y个细菌,则y=2x.
令2x=4 096=212,则x=12,即需分裂12次,需12×15=180(分钟),即3小时.
1
7.画出函数f(x)=√x与函数g(x)= x2-2的图象,并比较两者在[0,+∞)上的大小关系.
4
【答案】函数f(x)与g(x)的图象如右.根据图象可得:当0≤x<4时,f(x)>g(x);当x=4时,f(x)=g(x);当x>4
时,f(x)<g(x).
【解析】
函数f(x)与g(x)的图象如右.根据图象可得:当0≤x<4时,f(x)>g(x);
当x=4时,f(x)=g(x);当x>4时,f(x)<g(x).
8.某文具店出售软皮本和铅笔,软皮本每本2元,铅笔每支0.5元,该店推出两种优惠办法:
(1)买一本软皮本赠送一支铅笔;
(2)按总价的92%付款.
现要买软皮本4本,铅笔若干支(不少于4支),若购买x支铅笔,付款为y元,试分别建立两种优惠办法
中y与x之间的函数关系式,并说明使用哪种优惠办法更合算?
【答案】见解析【解析】由优惠办法(1)得到y与x的函数关系式为y=2×4+0.5(x-4)=0.5x+6(x≥4,且x∈N).
由优惠办法(2)得到y与x的函数关系式为y=(0.5x+2×4)×92%=0.46x+7.36(x≥4,且x∈N).
令0.5x+6=0.46x+7.36,解得x=34,且当4≤x<34时,0.5x+6<0.46x+7.36,当x>34时,0.5x+6>0.46x+7.36.即
当购买铅笔少于34支(不少于4支)时,用优惠办法(1)合算;当购买铅笔多于34支时,用优惠办法(2)合
算;当购买铅笔34支时,两种优惠办法支付的总钱数是相同的,即一样合算.
能力提升
9.若x∈(0,1),则下列结论正确的是( )
A.2x> 1>lg x B.2x>lg x> 1
x2 x2
C. 1>2x>lg x D.lg x> 1>2x
x2 x2
【答案】A
【解析】在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=2x,y= 1,y=lg x的图象,
x2
如图所示.由图可知,当x∈(0,1)时,2x> 1>lg x.
x2
10.如图,是某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位:月)的近似
函数关系:y=at(t≥0,a>0,且a≠1).有以下叙述:
1 1 1 1
①第4个月时,剩留量会低于 ;②每月减少的有害物质量都相等;③若剩留量为 , , 所经过的时间
5 2 4 8
分别是t,t,t,则t+t=t.
1 2 3 1 2 3
其中所有正确的叙述是 .
【答案】①③
4 4
【解析】由图象可得,当t=2时,y= ,即a2= ,
9 9
解得a=2.故y=(2) t .
3 3所以当t=4时,有害物质的剩余量为y=(2) 4 16 1,所以①正确;
= <
3 81 5
第一个月的减少量为1-(2) 1 1;
=
3 3
第二个月的减少量为2 (2) 2 2,显然两者不同,所以②错误;
- =
3 3 9
③由已知(2) t 1 1 (2) t 2 1 (2) t 3 1,所以(2) t 1 +t 2 (2) t 1 (2) t 2 1 1 1,即
= , = , = = × = × =
3 2 3 4 3 8 3 3 3 2 4 8
(2) t 1 +t 2 (2) t 3,所以t+t=t,故③正确.
= 1 2 3
3 3
11.每年的3月12日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模的义务植树活动.某市
现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,有两种方案如下:
方案一:每年植树1万平方米;
方案二:每年树木面积比上年增加9%.
你觉得哪个方案较好?
【答案】见解析
【解析】(方案一)5年后树木面积是10+1×5=15(万平方米).
(方案二)5年后树木面积是10(1+9%)5≈15.386(万平方米).∵15.386>15,∴方案二较好.
素养达成
1
12. 画出函数f(x)=√x与函数g(x)= x2-2的图象,并比较两者在[0,+∞)上的大小关系.
4
【答案】见解析
【解析】函数f(x)与g(x)的图象如下.
根据图象易得:当0≤x<4时,f(x)>g(x);
当x=4时,f(x)=g(x);当x>4时,f(x)<g(x).
