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2024届新高考二轮复习第四讲：导数及导数的应用
15. 已知函数 在点 处的切线与直线 垂直．
（1）求 ；
（2）求 的单调区间和极值．
题型一：导数的计算及几何意义
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例1.（2024春·湖北省）若点 是曲线 上任意一点，则点 到直线 的最小距离为
（ ）
A. 1 B. C. D.
【变式训练】
1.（2024春·新高考）已知函数 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2.（2024春·安徽芜湖）若 为奇函数，则曲线 在点 处的切线
方程为 .
3．（2024春·重庆）已知定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时， ．
若 ，则 在点 处的切线方程为 ．（结果用含 的表达式表示）
4.（2024春·云南大理）（多选）激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中
的函数. 函数是常用的激活函数之一，其解析式为 ，则（ ）
A． 函数是奇函数
B． 函数是减函数
C．对于实数 ，当 时，函数 有两个零点
D．曲线 存在与直线 垂直的切线
题型二：用导数研究函数的单调性
【典例例题】
例1.（2024春·安徽合肥）已知函数 .
(1)若 ，分析 的单调性；
(2)若 ，证明： 在 ， 内各恰有一个零点，并且这两个零点互为相反数.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
【变式训练】
1.（2024春·山东枣庄）（多选）已知定义在 上的连续函数 ，其导函数为 ，且
，函数 为奇函数，当 时， ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024春·全国新高考）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)设 ， 分别为 的极大值点和极小值点，记 ， ．
（ⅰ）证明：直线AB与曲线 交于另一点C；
（ⅱ）在（i）的条件下，判断是否存在常数 ，使得 ．若存在，求n；若
不存在，说明理由．
附： ， ．
3.（2024春·陕西西安）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
(2)求证：当 时，对 ，不等式 恒成立．
题型三：函数的极值和最值
【典例例题】
例1.（2024春·广东省）已知函数 有极值点
(Ⅰ)求函数 的单调区间及 的取值范围；
(Ⅱ)若函数 有两个极值点 ，且 求 的值.
【变式训练】
1.（2024春·黑龙江哈尔滨）已知函数 的定义域为 ，且满足 ，
在 处取极值，则下列说法中正确的是 （ ）
A． 是奇函数 B． 是偶函数
C． 在 处取极小值 D． 的最大值为4
2.（2024春·湖北武汉）已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
（2）证明： ．
3.（2024春·江西赣州）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若 ，不等式 在 上存在实数解，求实数 的取值范围．
4．（2024春·河北衡水）已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 是 的极小值点，求 的取值范围．
题型四：导数的新颖题型
【典例例题】
例 1.（2024 春新高考）若函数 在 上有定义，且对于任意不同的 ，都有
，则称 为 上的“ 类函数”.
(1)若 ，判断 是否为 上的“3类函数”；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
(2)若 为 上的“2类函数”，求实数 的取值范围；
(3)若 为 上的“2类函数”，且 ，证明： ， ， .
【变式训练】
1．（2024春·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）对于函数 ，若存在 ，使得
，则称 为函数 的一阶不动点； 若存在 ，使得 ，则称 为函数 的
二阶不动点； 依此类推，可以定义函数 的 阶不动点. 其中一阶不动点简称不动点，二阶不动点也
称为稳定点.
(1)已知 ，求 的不动点；
(2)已知函数 在定义域内单调递增，求证： “ 为函数 的不动点”是“ 为函数 的稳定
点”的充分必要条件；
(3)已知 ，讨论函数 的稳定点个数.
2.（2024春·浙江宁波）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察
如图所示的光滑曲线C： 上的曲线段 ，其弧长为 ，当动点从A沿曲线段 运动到B点时，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
A点的切线 也随着转动到B点的切线 ，记这两条切线之间的夹角为 （它等于 的倾斜角与 的倾
斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲
程度越大，因此可以定义 为曲线段 的平均曲率；显然当B越接近A，即 越小，K就越能精
确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义 （若极限存在）为曲线C在点A处
的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示 在点A处的一阶、二阶导数）
(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
(2)求椭圆 在 处的曲率；
(3)定义 为曲线 的“柯西曲率”．已知在曲线 上存在两点
和 ，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求 的取值范围．
一、单项选择
1．（2024春·江苏常州）已知定义在 上的函数 的导数为 ， ，且对任意的 满足
，则不等式 的解集是（ ）更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
A． B． C． D．
2.（2024春·江西省）设 、 、 满足 ， ， ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
二、填空题
3．（2024春·陕西）已知 ，函数 有两个极值点 ，则下列说法正确的序号为
．
①若 ，则函数 在 处的切线方程为 ；②m可能是负数；
③ ；④若存在 ，使得 ，则 ．
4.（2024春·新高考）已知 若存在 ，使得 成立，
则 的最大值为 .
5.（2024春·江西省）若 ，设 的零点分别为 ，则 ，
.（其中 表示a的整数部分，例如： ）
6. （2024春·湖北省）已知 ， ，则在下列关系① ② ③
④ 中，能作为“ ”的必要不充分条件的是______（填正确的序号）.
三、简答题
7．（2024春·全国）设函数 .
(1)若 ，求函数 的最值；
(2)若函数 有两个不同的极值点，记作 ，且 ，求证： .更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
8．（2024春·天津宁河）已知函数 ， ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)求 的单调区间；
(3)设 是函数 的两个极值点，证明： ．
9．（2024春·黑龙江）设函数 ， .
(1)已知 对任意 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)已知直线 与曲线 、 分别切于点 、 ，其中
①求证： ；
②已知 对任意 恒成立，求 的取值范围．
10．（2024春·湖南长沙）给出下列两个定义：更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
I.对于函数 ，定义域为 ，且其在 上是可导的，若其导函数定义域也为 ，则称该函数是“同
定义函数”.
II.对于一个“同定义函数” ，若有以下性质：
① ；② ，其中 为两个新的函数， 是
的导函数.
我们将具有其中一个性质的函数 称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数 称之
为“双向导函数”，将 称之为“自导函数”.
(1)判断函数 和 是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写
出其对应的“自导函数”；
(2)已知命题 是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题
.判断命题 是 的什么条件，证明你的结论；
(3)已知函数 .
①若 的“自导函数”是 ，试求 的取值范围；
②若 ，且定义 ，若对任意 ，不等式 恒成立，求
的取值范围.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
11．（2024春·云南昆明）悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建
立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数 的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：①
，②和角公式： ，③导数： 定义双曲正
弦函数 ．
(1)直接写出 ， 具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；
(2)若当 时， 恒成立，求实数a的取值范围；
(3)求 的最小值．
12．（2024春·江苏常州）已知函数 ，曲线 在点 处切线方程为 ．
(1)讨论函数 在 上的单调性；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
