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年普通高等学校招生全国统一考试 模拟
２０２４ （ ）
数学试题参考答案及评分标准
２０２４．３
说明：
一 本解答只给出了一种解法供参考 如考生的解法与本解答不同 可根据试题的主要
、 ， ，
考查内容参照评分标准酌情赋分
．
二 当考生的解答在某一步出错误时 如果后继部分的解答未改该题的内容与难度 可
、 ， ，
视影响的程度决定后继部分的给分 但不得超过该部分正确答案应得分数一半 如
， ；
果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误 就不再给分
， ．
三 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数
、 ， ．
四 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分
、 ， ．
一、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项
８ ５ ４０
是符合题目要求的。
１．Ｂ ２．Ａ ３．Ｃ ４．Ｃ ５．Ａ ６．Ｂ ７．Ｄ ８．Ｂ
二、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分。 在每小题给出的选项中，有多项符合题
３ ６ １８
目要求。 全部选对的得 分，部分选对的得部分分，有选错的得 分。
６ ０
９．ＡＣＤ １０．ＢＣＤ １１．ＡＣ
三、填空题：本题共 小题，每小题 分，共 分。
３ ５ １５
１２．［１，１０） １３． ２ １４．３６（２＋ ３）π １４４π
四、解答题：本题共 小题，共 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
５ ７７
． 分
１５ （１３ ）
解 ｆ ｘ ａ ｂ
：（１） （ ）＝ ·
２ｘ ｘ ｘ 分
＝２ｃｏｓ ＋２ ３ｓｉｎ ｃｏｓ ………………………………………………… １
ｘ ｘ 分
＝ｃｏｓ２ ＋１＋ ３ｓｉｎ２ …………………………………………………… ３
ｘ π 分
＝２ｓｉｎ（２ ＋ ）＋１， ……………………………………………………… ４
６
因为ｆ ｘ １１ 即 ｘ π １１ 所以 ｘ π ３ 分
（ ０）＝ ， ２ｓｉｎ（２ ０＋ ）＋１＝ ， ｓｉｎ（２ ０＋ ）＝ ，………………… ５
５ ６ ５ ６ ５
又ｘ π π 所以 ｘ π π ５π
０∈（ ， ）， ２ ０＋ ∈（ ， ），
６ ３ ６ ２ ６
所以 ｘ π ４ 分
ｃｏｓ（２ ０＋ ）＝ － ， …………………………………………………………… ６
６ ５
所以 ｘ ｘ π π 分
ｃｏｓ２ ０＝ｃｏｓ（２ ０＋ － ） ……………………………………………………… ７
６ ６
数学试题答案 第 页 共 页
１ （ ６ ）
{#{QQABAYQQggiAABJAAAhCQw0YCEEQkAAAAIoORBAIsAABCANABAA=}#}ｘ π π ｘ π π
＝ｃｏｓ（２ ０＋ ）ｃｏｓ ＋ｓｉｎ（２ ０＋ ）ｓｉｎ
６ ６ ６ ６
３－４ ３． 分
＝ ………………………………………………………………… ８
１０
由题意知 ｇ ｘ １ ｘ π π ｘ π 分
（２） ， （ ）＝ （２ｓｉｎ（２（ － ）＋ ）＋１－１）＝ｓｉｎ（２ － ），……………… １０
２ ６ ６ ６
由ｇ ｘ １ 得 π ｋ ｘ π ５π ｋ ｋ Ｚ
（ ）≥ ， ＋２ π≤２ － ≤ ＋２ π， ∈ ，
２ ６ ６ ６
π ｋ ｘ π ｋ ｋ Ｚ 分
∴ ＋ π≤ ≤ ＋ π， ∈ ， ……………………………………………………… １１
６ ２
令ｋ 得ｘ π π 令ｋ 得ｘ ５π π
＝０， ∈［ ， ］， ＝－１， ∈［－ ，－ ］，
６ ２ ６ ２
又ｘ π π ｘ π π ．
∈［－ ， ］，∴ ∈［ ， ］
６ ３ ６ ３
故不等式ｇ ｘ １ ｘ π π 的解集为 π π ． 分
（ ）≥ ， ∈［－ ， ］ ［ ， ］ …………………………… １３
２ ６ ３ ６ ３
． 分
１６ （１５ ）
解 随机变量Ｘ可能取值为 ． 分
（１） ： ６，７，８，９ …………………………………………… １
由题意得每次掷骰子上两级台阶的概率为２ 上三级台阶的概率为１ 分
， ， ………… ２
３ ３
则Ｘ Ｂ １ 分
－６ （３， ） …………………………………………………………………… ３
３
可得Ｐ Ｘ ２ ３ ８ 分
（ ＝６）＝（ ） ＝ ， ………………………………………………………… ４
３ ２７
Ｐ Ｘ Ｃ１ １ ２ ２ ４ 分
（ ＝７）＝ ３× ×（ ） ＝ ， ………………………………………………… ５
３ ３ ９
Ｐ Ｘ Ｃ２ １ ２ ２ ２ 分
（ ＝８）＝ ３×（ ） × ＝ ， ………………………………………………… ６
３ ３ ９
Ｐ Ｘ １ ３ １ 分
（ ＝９）＝（ ） ＝ ， ………………………………………………………… ７
３ ２７
所以Ｘ的分布列为
Ｘ
６ ７ ８ ９
Ｐ ８ ４ ２ １
２７ ９ ９ ２７
因为Ｅ Ｘ １ 所以Ｅ Ｘ ． 分
（ －６）＝ ３× ＝１， （ ）＝ ７ …………………………………………… ９
３
数学试题答案 第 页 共 页
２ （ ６ ）
{#{QQABAYQQggiAABJAAAhCQw0YCEEQkAAAAIoORBAIsAABCANABAA=}#}解 记甲 乙两位学生参加游戏 恰有一人获得奖品的概率为Ｐ
（２） ： 、 ， ，
由题意知 位于第 级台阶则认定游戏失败 无法获得奖品 所以投掷 次后 学员站
， １０ ， ， ３ ，
在第 步台阶 第四次投掷次骰子 出现 的倍数 即位于第 级台阶 分
７ ， ， ３ ， １０ ， …………… １０
其概率Ｐ Ｃ１ １ ２ ２ １ ４ 分
１＝ ３× ×（ ） × ＝ ，………………………………………………… １２
３ ３ ３ ２７
所以Ｐ Ｃ１ Ｐ Ｐ ４ ２３ １８４． 分
＝ ２× １×（１－ １）＝ ２× × ＝ ………………………………………… １４
２７ ２７ ７２９
甲 乙两位学生参加游戏 恰有一人获得奖品的概率为１８４． 分
、 ， ……………………… １５
７２９
． 分
１７ （１５ ）
解 作直线ＡＢ 即为所求． 分
：（１） １ ……………………………………………………… １
连结ＡＣ 交ＤＥ于点Ｍ 连结ＭＦ 分
１ ， ， ………………………………………………… ２
ＡＤ ＤＡ Ｃ Ｅ ＥＣ [
∵ ＝２ １， １ ＝２ ， # ' $
ＡＤ Ｃ Ｅ ２ＡＡ
∴ ＝ １ ＝ １＝２，
３
又ＡＤ Ｃ Ｅ 四边形ＡＤＣ Ｅ为平行四边形 "
∥ １ ，∴ １ ，
ＡＭ ＭＣ 分 &
∴ ＝ １，…………………………………………… ４ % .
又Ｂ Ｆ ＦＣ
１ ＝ １，
ＭＦ ＡＢ 分 # $ Z
∴ ∥ １， ………………………………………… ５
又ＭＦ 平面ＤＥＦ ＡＢ 平面ＤＥＦ
⊂ ， １⊄ ， "
ＡＢ 平面ＤＥＦ． 分 Y
∴ １∥ …………………………………… ６
Ｓ １ ＡＢＣ ＡＢＣ
（２）∵ △ ＡＢＣ＝ ×２×２ｓｉｎ∠ ＝２ｓｉｎ∠
２
当 ＡＢＣ π时 Ｓ 取最大值 即当ＡＢ ＢＣ时 三棱柱ＡＢＣ Ａ Ｂ Ｃ 的体积最大
∴ ∠ ＝ ， △ ＡＢＣ ２， ⊥ ， － １ １ １ ，
２
分
………………………………………………………………………………………… ７
又 ＢＢ ＡＢ ＢＢ ＢＣ 以Ｂ为坐标原点 ＢＡ ＢＣ ＢＢ 为ｘ轴 ｙ轴 ｚ轴建立空间直角
∵ １⊥ ， １⊥ ， ， ， ， １ ， ，
坐标系 分
， …………………………………………………………………………………… ８
则Ｄ Ｅ Ｆ
（２，０，２）， （０，２，１）， （０，１，３），
Ｄ→Ｅ Ｅ→Ｆ 分
∴ ＝（－２，２，－１）， ＝（０，－１，２）， ……………………………………………… １０
设平面ＤＥＦ的法向量ｎ ｘ ｙ ｚ
＝（ ， ， ），
{ｎ Ｄ→Ｅ { ｘ ｙ ｚ
由 · ＝０ 得 －２ ＋２ － ＝０，
ｎ Ｅ→Ｆ ， ｙ ｚ
· ＝０ － ＋２ ＝０，
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３ （ ６ ）
{#{QQABAYQQggiAABJAAAhCQw0YCEEQkAAAAIoORBAIsAABCANABAA=}#}取ｚ 则ｙ ｘ ３ 此时ｎ ３ 分
＝１， ＝２， ＝ ， ＝（ ，２，１）， ……………………………………… １２
２ ２
又平面ＡＢＣ的一个法向量为ｍ 分
＝（０，０，１）， ……………………………………… １３
记平面ＤＥＦ与平面ＡＢＣ夹角为θ
，
ｍ ｎ
则 θ ｜ · ｜ １ ２ ２９． 分
ｃｏｓ ＝ ｍ ｎ ＝ ＝ …………………………………………… １４
｜ ｜｜ ｜ ９ ２９
＋４＋１
４
故平面ＤＥＦ与平面ＡＢＣ夹角的余弦值为２ ２９． 分
………………………………… １５
２９
． 分
１８ （１７ ）
解 当ａ 时 ｆ ｘ ｘ２ ｘ
：（１） ＝１ ， （ ）＝ （ｌｎ ＋１），
ｆ 分
∴ （１）＝ １， …………………………………………………………………………… １
又ｆ′ ｘ ｘ ｘ 分
（ ）＝ （２ｌｎ ＋３）， ……………………………………………………………… ２
ｆ′ 分
∴ （１）＝ ３，…………………………………………………………………………… ３
ｆ ｘ 在 ｆ 处的切线方程为 ｘ ｙ ． 分
∴ （ ） （１， （１）） ３ － －２＝０ …………………………………… ４
ｘ
（２）∵ ∈（０，＋∞），
ｆ′ ｘ ｘ ｘ ａ ｘ ｘ ｘ ａ 分
（ ）＝ ２ （ｌｎ ＋ ）＋ ＝ （２ｌｎ ＋２ ＋１），……………………………………………… ５
令φ ｘ ｘ ａ
（ ）＝ ２ｌｎ ＋２ ＋１，
φ′ ｘ ２
（ ）＝ ｘ ＞０，
φ ｘ 在 上单调递增 分
∴ （ ） （０，＋∞） ， …………………………………………………… ６
由φ ｘ ｘ ａ 得ｘ － ａ － １ 分
（ ）＝ ２ｌｎ ＋２ ＋１＝０ ＝ｅ ２， ……………………………………………… ７
ｆ ｘ 在 － ａ － １ 上单调递减 在 － ａ － １ 上单调递增． 分
∴ （ ） （０，ｅ ２） ， （ｅ ２，＋∞） ……………………… ９
ｆ － ａ ｘ － ａ 时 ｆ ｘ
（３）∵ （ｅ ）＝ ０， ∴ ∈（０，ｅ ） ， （ ）＜０，
ｘ － ａ － １ ｘ － ａ 分
∴ ０＜ １＜ｅ ２＜ ２＜ｅ ， ……………………………………………………………… １０
ｘ ａ １ ｘ ａ
∴ ｌｎ １＜－ － ＜ｌｎ ２＜－ ，
２
即 ｘ ａ ｘ ａ 分
２（ｌｎ １＋ ）＜－１＜２（ｌｎ ２＋ ）＜０， ………………………………………………… １１
由ｆ ｘ ｆ ｘ 得
（ １）＝ （ ２） ，
ｘ ２ ｘ ａ ｘ ２ ｘ ａ
１ （ｌｎ １＋ ）＝ ２ （ｌｎ ２＋ ），
即 ｅ ｌｎ ｘ １ ２ （ｌｎ ｘ １＋ ａ ）ｅ ２ ａ ＝ｅ ｌｎ ｘ ２ ２ （ｌｎ ｘ ２＋ ａ ）ｅ ２ ａ ，
∴ ｅ
２（ｌｎ ｘ １＋ ａ ）
·２（ｌｎ
ｘ
１＋
ａ
）＝ｅ
２（ｌｎ ｘ ２＋ ａ ）
·２（ｌｎ
ｘ
２＋
ａ
）， ……………………………………… １３
分
令ｔ ｘ ａ ｔ ｘ ａ
１＝２（ｌｎ １＋ ）， ２＝２（ｌｎ ２＋ ），
设ｇ ｔ ｔ ｔ ｔ
（ ）＝ ｅ ， ∈（－∞，０），
ｇ′ ｔ ｔ ｔ． 分
∴ （ ）＝（ ＋１）ｅ ………………………………………………………………… １４
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４ （ ６ ）
{#{QQABAYQQggiAABJAAAhCQw0YCEEQkAAAAIoORBAIsAABCANABAA=}#}ｔ 时 ｇ′ ｔ ｇ ｔ 单调递减
∴ ∈（－∞，－１） ， （ ）＜０， （ ） ，
ｔ 时 ｇ′ ｔ ｇ ｔ 单调递增
∈（－１，０） ， （ ）＞０， （ ） ，
下面证明ｔ ｔ 又ｔ 即证ｔ ｔ
１＋ ２＜－２， ２＞－１， １＜－２－ ２＜－１，
即证ｇ ｔ ｇ ｔ
（ １）＞ （－２－ ２），
即证ｇ ｔ ｇ ｔ 分
（ ２）＞ （－２－ ２），……………………………………………………………… １５
令Ｇ ｔ ｇ ｔ ｇ ｔ ｔ
（ ）＝ （ ）－ （－２－ ）， ∈（－１，０），
Ｇ′ ｔ ｇ′ ｔ ｇ′ ｔ ｔ ｔ ｅ－２－ ｔ
（ ）＝ （ ）－ （－２－ ）＝（ ＋１）（ｅ － ）＞０，
Ｇ ｔ 在 上单调递增 分
∴ （ ） （－１，０） ，……………………………………………………… １６
Ｇ ｔ Ｇ 从而得证
∴ （ ）＞ （－１）＝ ０， ，
故 ｘ ａ ｘ ａ
２（ｌｎ １＋ ）＋２（ｌｎ ２＋ ）＜－２，
即 ｘ ｘ ａ
ｌｎ １ ２＜－２ －１，
ｘ ｘ －２ ａ －１
∴ ０＜ １ ２＜ｅ ，
１ ２ ａ ＋１． 分
∴ ｘ ｘ ＞ｅ ………………………………………………………………………… １７
１ ２
． 分
１９ （１７ ）
解 设动圆Ｃ的半径为ｒ 易知圆Ｃ 和圆Ｃ 的半径分别为
（１） ： ， １ ２ ５ ２， ２，
Ｃ与Ｃ Ｃ 都内切 则
∵ １， ２ ，
ＣＣ ｒ ＣＣ ｒ 分
｜ １｜＝５ ２－ ，｜ ２｜＝ － ２， ……………………………………………………… １
ＣＣ ＣＣ ｒ ｒ 分
∴ ｜ １｜＋｜ ２｜＝５ ２－ ＋ － ２＝４ ２， ……………………………………………… ２
又Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ 分
１（－２，０）， ２（２，０），∴ ｜ １ ２｜＝４＜４ ２，………………………………………… ３
点Ｃ的轨迹是Ｃ Ｃ 为焦点的椭圆 分
∴ １， ２ ， …………………………………………… ４
ｘ２ ｙ２
设Ｅ的方程为 ａ ｂ 则
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０），
ａ ｃ
２ ＝４ ２，２ ＝４，
ａ２ ｂ２ ａ２ ｃ２
∴ ＝８， ＝ － ＝４，
ｘ２ ｙ２
Ｅ的方程为 ． 分
∴ ： ＋ ＝１ …………………………………………………………… ５
８ ４
证明 设Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ Ｐ ｔ ｔ
（２）（ｉ） ： （ １， １）， （ ２， ２）， （８， ）（ ≠０），
ｘ ｘ ｙ ｙ
则结合圆锥曲线的性质 知直线ＰＡ的方程为 １ １ 分
， ＋ ＝１，………………………… ６
８ ４
ｘ ｘ ｙ ｙ
直线ＰＢ的方程为 ２ ２ 分
＋ ＝１， ……………………………………………………… ７
８ ４
ｔｙ ｔｙ
又直线ＰＡ ＰＢ都过点Ｐ ｔ 则ｘ １ ｘ ２ 分
， （８， ）， １＋ ＝１， ２＋ ＝１，…………………………… ８
４ ４
ｔｙ
因此直线ＡＢ的方程为ｘ 显然当ｙ 时 ｘ 分
＋ ＝１， ＝０ ， ＝１， …………………………… ９
４
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５ （ ６ ）
{#{QQABAYQQggiAABJAAAhCQw0YCEEQkAAAAIoORBAIsAABCANABAA=}#}直线ＡＢ过定点 ． 分
∴ （１，０） …………………………………………………………… １０
设ＡＢ方程为 ｘ ｍｙ ｍ
（ｉｉ） ： ＝ ＋１（ ≠０），
{ｘ ｍｙ
联立 ＝ ＋１ ｍ２ ｙ２ ｍｙ 分
ｘ２ ｙ２ ，∴ （ ＋２） ＋２ －７＝０，………………………………………… １１
＋２ ＝８
ｍ
ｙ ｙ ２ ｙ ｙ －７ 分
∴ １＋ ２＝－ｍ２ ， １ ２＝ｍ２ ，……………………………………………………… １２
＋２ ＋２
又Ａ′ ｘ ｙ
（ １，－ １），
ｙ ｙ
直线Ａ′Ｂ方程为ｙ ｙ １＋ ２ ｘ ｘ 令ｙ 得
＋ １＝ｘ ｘ （ － １）， ＝０
２－ １
ｘ ｙ ｘ ｙ
ｘ １ ２＋ ２ １
Ｍ ＝ ｙ ｙ
１＋ ２
ｍｙ ｙ ｍｙ ｙ
（ １＋１） ２＋（ ２＋１） １
＝ ｙ ｙ
１＋ ２
ｍｙ ｙ ｙ ｙ ｙ ｙ
２ １ ２＋（ １＋ ２） ｍ １ ２
＝ ｙ ｙ ＝２ ·ｙ ｙ ＋１
１＋ ２ １＋ ２
－７
ｍ２
ｍ ＋２ 分
＝２ · ｍ ＋１＝８，……………………………………………………………… １４
２
－ｍ２
＋２
Ｍ 又Ｃ
∴ （８，０）， ２（２，０），
Ｓ Ｓ １ Ｃ Ｍ ｙ ｙ
∴ ｜ １－ ２｜＝ ｜ ２ ｜｜｜ １｜－｜ ２｜｜
２
ｙ ｙ
＝３｜ １＋ ２｜
ｍ
６｜ ｜ ６
＝ｍ２ ＝
＋２ ｍ ２
｜ ｜＋ ｍ
｜ ｜
６ ３ ２ 分
≤ ＝ ， …………………………………………………………… １６
２ ２ ２
Ｓ Ｓ 的最大值为３ ２ 当且仅当 ｍ ２ 即ｍ 时取等号． 分
∴ ｜ １－ ２｜ ， ｜ ｜＝ ｍ ， ＝± ２ ………… １７
２ ｜ ｜
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６ （ ６ ）
{#{QQABAYQQggiAABJAAAhCQw0YCEEQkAAAAIoORBAIsAABCANABAA=}#}
