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111公式章 1 节 1课时同步练
5.3.1 函数的单调性与导数
一、单选题
1．下列函数在区间 上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，依次分析选项，
对于A， ，其导数 ，当 时，有 恒成立，则函数
在 上为增函数，符合题意；
对于B， ，其导数为 ，在 上， ，则函数 在 上
为减函数，不符合题意；
对于C， ，其导数为 ，当 时，有 恒成立，则函数
在 上为减函数，不符合题意；
对于D， ，为二次函数，在 上为减函数，不符合题意；
故选A．
2．函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，可得 ，
令 ，即 ，解得 ，即函数的递减区间为 .故选C
3．已知函数 ，则 （ ）
A．在 上递增 B．在 上递增
C．在 上递减 D．在 上递减
【答案】A
【解析】依题意，
当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减.
对照选项可知：函数 在 上递增.
故选A.
4．函数 的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题,对 函数定义域 ,
求导可得 ,
令 ,可得 .
故选D.
5．函数 的单调递增区间（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】由题得 ，
解不等式 ，
所以 .
所以函数的单调增区间为 .
故选C
6．函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C．(1,4) D．(0,3)
【答案】B
【解析】 ， ，解不等式 ，解得 ，
因此，函数 的单调递增区间是 ，
故选B.
7．若函数 ，则函数 的单调递减区间为（ ）
A． B．
C．(0，3) D．
【答案】C
【解析】函数 的定义域为： ，
因为 ，
令 并且 ，得： ，
所以函数 的单调递减区间为(0，3).故选C.
8．若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 函数 在区间 单调递增，
在区间 上恒成立，则 ，而 在区间 上单调递减，
， 的取值范围是
故选D．
9．已知函数 在 上不单调，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 .因为 在 上不单调.
所以 在 上有解，
又 在 上单调递减，
所以 ， ，
故 .
故选C
10．如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数 在区间I上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区
间I上的“缓增区间”，区间I叫做“缓增区间”．若函数 是区间I上的“缓增区间”，
则“缓增区间”I为（ ）A．[1，＋∞) B．[0， ] C．[0，1] D．[1， ]
【答案】D
【解析】因为函数 的对称轴为x＝1，
所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，
又当x≥1时， ，
令 (x≥1)，则 ，
由g′(x)≤0得 ，
即函数 在区间 上单调递减，
故“缓增区间”I为 ，
故选D.
11．已知函数 对于任意的 满足 ,其中 是函数
的导函数,则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意构造函数 ,
则
.对于任意的 满足 ,
故 ,当 时, ,
当 时, ,
因此 在 单调递减,在 单调递增.
又因为 ,因此 ,
因此有 ,
化简得 .
故选B
12．若函数 在区间 上不是单调函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 在区间 上不是单调函数，
所以 在区间 上有解，且不是重解.
即 可得 ，
令 ， ，则 ，
当 时， ，函数 单调递增.
故 的值域为 .
故选A.
二、填空题
13．函数 的递减区间为_______
【答案】 ，
【解析】函数的定义域为 ， ，
故当 时， ，也即函数的递减区间为 .
故填 .
14．若函数 在 上为减函数，则 的取值范围为___________.
【答案】
【解析】由题意可知 ，即 对 恒成立，
所以 ，所以 即 .
故填 .
15．已知函数 ，若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是_____.
【答案】【解析】因为 ，所以 ，
函数 在 上单调递增，可知 在 上恒成立，
即 ，所以 ，即 ，则实数 的取值范围是 ．
故填 ．
16．定义域为 的函数 满足 ，且 的导函数 ，则不等式 的解集
为 _____________．
【答案】 .
【解析】令 ，因为 ，所以 .
所以 为单调增函数.因为 ，所以 .
所以当 时， ，即 ，得 ，解集为
故填
17．已知函数 （ 为自然对数的底数），若 ，则实数 的取值
范围是___________．
【答案】
【解析】令 ，则 为奇函数，且为增函数，所以
故填
18．已知函数 在区间 上是单调函数，则实数t的取值范围______．【答案】
【解析】函数 的定义域为 ， .
令 ，可得 或 ；令 ，可得 .
所以，函数 的单调增区间为 和 ，单调递减区间为 .
由于函数 在 上单调，则 为以上三个区间的子集.
①若 ，可得 ；
②若 ，可得 ，解得 ；
③若 ，则 .
因此，实数 的取值范围是 .
故填 .
三、解答题
19．已知函数 .
（1）求在 处的切线的方程；
（2）求函数的单调区间.【解析】（1）函数 ，则 ，故在 处的切线的斜率 ，故切
线的方程是 ，即 ；
（2）令 ，得 或 ，令 ，得 ，
故函数的单调增区间是 ，单调减区间是 .
20．已知函数 的导函数 的一个零点为 ．
（1）求a的值；
（2）求函数 的单调区间．
【解析】（1） ，
由 ，得 ．
（2）由（1）得 ，
则 ．
令 ，得 或 ．
当 时， ；
当 时， 或 ．
因此 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ．
21．已知函数 ， .
（1）若 与 在 处相切，求 的表达式；
（2）若 在 上是减函数，求实数 的取值范围.【解析】（1） ，
，
又 与 在 处相切，
，
解得： ，
，
即 ，
解得： ，
；
（2） 在 上是减函数，
即 在 上是减函数，
在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
则 在 上恒成立，
又 在 上单调递增，
，
，
解得： ，即实数 的取值范围是 .
22．已知函数 .
（1）若函数 在区间 上是单调函数，求实数a的取值范围；
（2）讨论函数 的单调性.
【解析】（1）由题意得， .
①当 时， ，函数 单调递减.
②当 时，令 ，
∵函数 在区间 上是单调函数，
∴ 在区间 上恒成立，
∴ 在区间 上恒成立.
令 ，
∵ ，当且仅当 时取等号，∴ ，
∴当 时，函数 单调递增，
∴实数a的取值范围是 .
（2）由（1）可知，①当 时， ，函数 在 上单调递减，
②当 时，函数 在 上单调递增，
③当 时，由 ，解得 或 ，
∴函数 在 ， 上单调递增，
在 上单调递减.
