九江市2024年第二次高考模拟统一考试(命题人：周宝、李高飞、王锋、卢恩良、冯上旭、黄芳、杨玉露、段训明、林健航）(1)_2024年3月_013月合集

九江市 2024 年第二次高考模拟统一考试 数 学 试 题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试题卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.若集合Ax|2≤x≤4，B{x|x2 6x≥0}，则A B ( A ) A.[2,0] B.[0,4] C.[2,6] D.[4,6] 解: Bx|x≤0或x≥6，A B[2,0]，故选A. 2i 2.已知z  ，则z( D ) 1i 3 3 3 3 1 3 1 3 A.  i B.  i C.  i D.  i 2 2 2 2 2 2 2 2 (2i)(1i) 1 3 1 3 解: z    i，z   i，故选D. (1i)(1i) 2 2 2 2 3.若函数 f(x)ln(ax1)在(1,2)上单调递减，则实数a的取值范围是( C ) 1 1 A.(,0) B.( ,0) C.[ ,0) D.[1,0) 2 2 解：由复合函数单调性可知，u(x)ax1在(1,2)上单调递减，a0.由定义域可知，u(x)ax10 1 1 在(1,2)上恒成立，u(2)≥0，a≥- .综上 ≤a0.故选C. 2 2 4.第14届国际数学教育大会(ICME-International Congress of Mathematics Education)在我国上海华东师范大学举行.如图是 本次大会的会标，会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦 中的四卦——3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换 算成现代十进制是383 782 481480 2020 ，正 是会议计划召开的年份，那么八进制数77 7换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是( B ) 10个7 A.1 B.3 C.5 D.7 7(1810) 解:换算后的数是780 781 789  810 1，81，82，83，84， 的末位数字构成以4为周期的 18 数列8，4，2，6，8，4，2，6， ，故810 1的末位数字是3.故选B. 5.在正方体ABCD ABC D 中，O为四边形ABC D 的中心，则下列结论正确的是（ B ） 1 1 1 1 1 1 1 1 {#{QQABKQqAggiAAoAAARhCUQGgCEMQkAGACIoGBBAIoAAAiRFABAA=}#}A.AO//BC B.AO  BD 1 C.平面AOB 平面COD D.若平面AOB平面COD l，则l//平面BC D 1 解：A选项，连接AD ，AD //BC ，又 AO AD  A，A错误. 1 1 1 1 B选项，BD平面ACC A ，AO平面ACC A ，故AOBD，B正确. D 1 C 1 1 1 1 1 O E C选项，取AB,CD的中点M,N ，AD,BC 的中点E,F， F 1 1 1 1 A 1 B 1 连接OM,ON,MN,EF，易得EF 平面MON ，故MON 为 平面AOB与平面COD所成的二面角，设AB 2，则OM ON  5， D N C π MN=2，显然MON  ，C错误. 2 A M B D 选项，若平面AOB平面COD l，则l即为直线EF ，EF∥AB，而AB 平面BC D B，D 错 1 误. 故选B. π 5 1 6.已知,(0, )，cos() ，tantan ，则( A ) 2 6 4 π π π 2π A. B. C. D. 3 4 6 3  5  2 coscossinsin , coscos ,    6  3 解：由已知可得 解得 sinsin 1 1   ,  sinsin . coscos 4  6 1 π cos()coscossinsin , (0,π)， .故选A. 2 3 x2 y2 7.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:  1(ab0)的右焦点为F( 5,0)，P为C 上一点， a2 b2 6 以OP为直径的圆与C 的两条渐近线相交于异于点O 的M,N 两点.若|PM ||PN| ,则C 的离心率为 5 （ B ） 10 15 3 A. B. C. D. 5 2 3 2 x 2 y 2 解:依题意得PM OM ,PN ON ，设P(x ,y )，则 0  0 1， 0 0 a2 b2 |bx ay | |bx ay | |b2x 2 a2y 2| a2b2 a2b2 6 |PM ||PN| 0 0  0 0  0 0    ，a2b2 6，又a2 b2 5， a2 b2 a2 b2 a2 b2 c2 5 5 15 ab0，a 3，b 2 ，e ，故选B. 3 8.已知一个圆台内接于球O(圆台的上、下底面的圆周均在球面上).若该圆台的上、下底面半径分别为1 {#{QQABKQqAggiAAoAAARhCUQGgCEMQkAGACIoGBBAIoAAAiRFABAA=}#}和2，且其表面积为(5 3 2)π，则球O的体积为（ C ） 32π 20 5π 5 5π A. B.5π C. D. 3 3 3 解:设圆台母线长为l，上、下底面半径分别为r 和r ，则圆台侧面积为 D r 1 C 1 2 l M r S π(r r )l π (1 2) l 3πl，上、下底面面积分别为π和4π. A 2 B 侧 1 2 O 圆台表面积为(5 3 2)π， l 2， 圆台高h l2 (r r)2  211. 2 1 设球O半径为R，圆台轴截面ABCD为等腰梯形，且AB 4，CD 2，高为1.作OM AB于点M ， R2 4 x2, 设OM x. r2 h2 2r2， 球心O在圆台外部， 解得x 1,R 5， 球O 1 2 R2 1 (1 x)2, 20 5π 的体积为 .故选C. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.射击作为一项综合运动项目，不仅需要选手们技术上的过硬，更需要他们在临场发挥时保持冷静和专注. 第19届亚运会在我国杭州举行，女子10米气步枪团体决赛中，中国队以1896.6环的成绩获得金牌，并 创造新的亚洲纪录.决赛中，中国选手黄雨婷、韩佳予和王芝琳在最后三轮比赛中依次射击，成绩（环） 如下: 黄雨婷 韩佳予 王芝琳 第4轮 105.5 106.2 105.6 第5轮 106.5 105.7 105.3 第6轮 105 106.1 105.1 则下列说法正确的是（ ABD ） A．三轮射击9项成绩极差为1.5 B．三轮射击成绩最好的一轮是第五轮 C．从三轮射击成绩来看，黄雨婷射击成绩最稳定 D．从三轮各人平均成绩来看，韩佳予表现更突出 解:三轮射击9项成绩极差为106.5 105 1.5，A正确；第四轮的总成绩为317.3环，第五轮的总成绩为 317.5环，第六轮的总成绩为316.2环，B正确；王芝琳的射击成绩最稳定，C错误；黄雨婷的平均成绩约 为105.67，韩佳予的平均成绩为106，王芝琳的平均成绩约为105.33，D正确.故选ABD. 10.已知抛物线C:y2 2px( p0)的焦点为F ，O 为坐标原点，动点P在C 上，若定点M(2, 3)满足 MF 2OF ，则（ BD ） A.C 的准线方程为x 2 B.△PMF 周长的最小值为5 π C.直线MF 的倾斜角为 D.四边形OPMF 不可能是平行四边形 6 p p 解: MF  (2 )2 3，OF  ，由 MF 2OF ，得3p2 8p280，解得 p2.C 的方程为 2 2 y2 4x，准线方程为x1，A错误；过点P作准线x1的垂线，垂足为H ，由抛物线定义知 PF  PH ， {#{QQABKQqAggiAAoAAARhCUQGgCEMQkAGACIoGBBAIoAAAiRFABAA=}#}△PMF 周长为 PM  PF  MF  PM  PH 2，当M,P,H 三点共线时， PM  PH 取得最小值3， 30 π △PMF周长的最小值为5，B正确； k   3，直线MF 的倾斜角为 ，C错误；过点M MF 21 3 3 3 5 作OF 的平行线，交抛物线于点P，可得P的坐标为( , 3)，此时 PM 2   OF ，四边形OPMF 4 4 4 不是平行四边形，D正确. 故选BD. 11.已知函数 f(x)的定义域为R，x,yR，f(xy)xy  xf(y) yf(x)，则下列命题正确的是（ ACD ） A. f(x)为奇函数 B. f(x)为R上减函数 1 1 10 C.若x 0，则xf( ) f(x)为定值 D.若 f(2)2，则 f(2k)2046 x x k1 解：令x  y 1，得 f(1)1；令x y 1，得 f(1)1；令y 1，得 f(x)x xf(1) f(x)， 即 f(x)f(x)， f(x)为奇函数，A正确； 由 f(1)1， f(1)1，知 f(x)不可能为R上减函数，B错误； 1 1 1 1 1 令y  ，得 f(1)1 xf( ) f(x)，即xf( ) f(x)2，C正确； x x x x x 令 y 2，得 f(2x)2x xf(2)2f(x)， f(2)2， f(2x)2f(x)，故 f(2n)2n， 10 2(1210)  f(2k)2122  210  2046，D正确. 12 k1 故选ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.为助力乡村振兴，九江市教科所计划选派 5 名党员教师前往 5 个乡村开展“五育”支教进乡村党建活 动，每个乡村有且仅有1人，则甲不派往乡村A的选派方法有_ 96 _种. 解:C1A4 96. 4 4 13.欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这 条线称之为三角形的欧拉线.已知A(0,2)，B(4,2)，C(a,1)，且△ABC为圆x2  y2 ExFy 0内 接三角形，则△ABC的欧拉线方程为y 1. 22 2F 0, E 4, 解:依题意得 解得 故圆心坐标为(2,1)，即△ABC 的外心坐标为 42 22 4E2F 0, F 2. a4 (2,1).又△ABC的重心坐标为( ,1)，故△ABC的欧拉线方程为y 1. 3 14.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知A,B,C成等差数列，a2 c2 4，则△ABC 3 面积的最大值是 ,(4sin AsinC3)b2  12 . 2 {#{QQABKQqAggiAAoAAARhCUQGgCEMQkAGACIoGBBAIoAAAiRFABAA=}#}π 解: A,B,C成等差数列，2B  AC，又AC  πB，B ， 3 a2 c2 4≥2ac，ac≤2，当且仅当ac 2 时取等号， 1 3 3 3 S  acsinB ac≤ ，故△ABC面积的最大值为 . △ABC 2 4 2 2 3 3 由正弦定理得bsinAasinB a，bsinC csinB c， 2 2 3 3 (4sinAsinC3)b2 4(bsinA)(bsinC)3b2 4 a c3b2 3(acb2)， 2 2 由余弦定理得b2 a2 c2 2accosB a2 c2 ac，即acb2 a2 c2 4， (4sin AsinC3)b2 3412. (第一空2分，第二空3分) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知函数 f(x)(2xa)ln(x1)b(a,bR)在x2处的切线方程为3x y20. (1)求a,b的值; (2)判断 f(x)的单调性. 2xa 解:(1) f(x)2ln(x1) ………1分 x1 由题意， f(2)3， f(2)4………3分(每写对一个得1分) 4a3且b4，即a1，b4………5分(每写对一个得1分) 2x1 (2)由(1)知 f(x)2ln(x1) (x1)………6分 x1 2x1 2 1 2x3 令g(x) f(x)2ln(x1) ，则g(x)   ………7分 x1 x1 (x1)2 (x1)2 3 3 当x(1, )时，g(x)0；当x( ，)时，g(x)0………9分(每写对一个得1分) 2 2 3 3  f(x)在(1, )上单调递减，在( ，)上单调递增………10分 2 2 3 f(x)≥ f( )42ln20………12分 2  f(x)在(1,)上单调递增………13分 16.(本小题满分15分) 2023年10月10日，习近平总书记来到九江市考察调研，特别关注生态优先，绿色发展.某生产小型污水 处理设备企业甲，原有两条生产线，其中1号生产线生产的产品优品率为0.85，2号生产线生产的产品优 品率为0.8.为了进一步扩大生产规模，同时响应号召，助力长江生态恢复，该企业引进了一条更先进、更 环保的生产线，该生产线（3 号）生产的产品优品率为0.95.所有生产线生产的产品除了优品，其余均为 良品.引进 3 号生产线后，1，2 号生产线各承担20%的生产任务，3 号生产线承担60%的生产任务，三 条生产线生产的产品都均匀放在一起，且无区分标志. (1)现产品质检员，从所有产品中任取一件进行检测，求取出的产品是良品的概率； {#{QQABKQqAggiAAoAAARhCUQGgCEMQkAGACIoGBBAIoAAAiRFABAA=}#}(2)现某企业需购进小型污水处理设备进行污水处理,处理污水时，需几台同型号的设备同时工作.现有两 种方案选择：方案一，从甲企业购进设备，每台设备价格30000元，可先购进2台设备.若均为优品，则2 台就可以完成污水处理工作；若其中有良品，则需再购进 1 台相同型号设备才能完成污水处理工作.方案 二，从乙企业购进设备，每台 23000 元，需要三台同型号设备同时工作，才能完成污水处理工作.从购买 费用期望角度判断应选择哪个方案，并说明理由. 解:(1)设事件B 表示“产品来源于第i条生产线”（i 1,2,3），事件A表示“取得良品”. i 由全概率公式，可得P(A) P(B )P(A|B )P(B )P(A|B )P(B )P(A|B )………1分 1 1 2 2 3 3 0.2(10.85)0.2(10.8)0.6(10.95)0.1………5分 (每写对一个得1分) (2)由(1)可知，选择甲企业同时购得两台优品的概率为P (10.1)(10.1)0.81………6分 从甲企业购买设备只需要两台设备的概率为0.81，需要购买第三台设备的概率为0.19…………8分 设从甲企业购买设备费用为 X ，则X 的所有可能取值为60000,90000………10分 X 的分布列为 X 60000 90000 P 0.81 0.19 E(X)600000.81900000.1965700（元）………12分 选择乙企业购买设备费用为Y ，则E(Y)32300069000（元）………14分 应该选择方案一………15分 17.(本小题满分15分) P 如图，三棱锥PABC 中，BC 平面PAC ，BC  3，AC 3，PB  5， 点E满足AE 2EC ，PE 1. C E (1)证明：平面PBE 平面ABC； (2)点D在AB上，且BE CD，求直线PA与平面PCD所成角的正弦值. B D A 解:(1)证明： BC 平面PAC ，PE 平面PAC ，PE  BC ， 同理BC  PC………1分 又点E满足AE 2EC ，AC 3，CE 1………2分 在Rt△PBC 中，PC  PB2 BC2  2………3分 在△PCE中， PE CE 1，PC2  PE2 CE2，PE  AC………4分 z 又AC BC C，AC,BC 平面ABC，PE 平面ABC………5分 P 又PE 平面PBE ，平面PBE 平面ABC………6分 (2)由（1）知PE 平面ABC，PE 平面PAC ，平面PAC 平面ABC， 以C为原点建立空间直角坐标系，如图所示…………7分 C E 则C(0,0,0)，A(0,3,0)，B( 3,0,0)，E(0,1,0)，P(0,1,1)， B D A y PA(0,2,1)…………8分 x 设ADtAB( 3t,3t,0)，则CDCA AD(0,3,0)( 3t,3t,0)( 3t,33t,0), {#{QQABKQqAggiAAoAAARhCUQGgCEMQkAGACIoGBBAIoAAAiRFABAA=}#}BE ( 3,1,0)………9分 1 BE CD，BECD0，即 3 3t1(33t)000，解得t  ，D为AB的中点， 2 3 3 D( , ,0)………10分 2 2 3 3 设平面PCD的法向量为m(x,y,z)，CD( , ,0)，CP(0,1,1)， 2 2  3 3 mCD x y 0， 则 2 2 …………11分  mCP yz 0， 不妨取x  3，则y 1，z 1，m( 3，1,1)…………12分 mPA 3 设直线PA与平面PCD所成的角为，sin cosm,PA   …………14分 m PA 5 3 故直线PA与平面PCD所成角的正弦值为 ………15分 5 18.(本小题满分17分) x2 y2 已知椭圆E:  1(ab0)和圆C:x2  y2 1，C 经过E 的焦点，点A,B为E 的右顶点和上顶点， a2 b2 1 C 上的点D满足AD AB. 3 (1)求E 的标准方程； (2)设直线l与C 相切于第一象限的点P，与E 相交于M,N 两点，线段MN 的中点为Q.当|PQ|最大时， 求l的方程. 1 2a b 解:(1)依题意得A(a,0)，B(0,b)，由AD AB，得D( , )…………1 分 3 3 3 4a2 b2 代入C 的方程x2  y2 1中，得  1， ①…………3 分 9 9 又 C经过E 的焦点，c1，即a2 b2 1， ②…………5分 x2 由①②解得a 2，b1，E的方程为  y2 1…………6分 2 (2)解法一：依题意，设l的方程为ykxb(k 0，b0)，M(x ,y )，N(x ,y )，Q(x ,y ) 1 1 2 2 0 0 ………7分 |b| l与C 相切， 1，即b2 k2 1………9分 k2 1 {#{QQABKQqAggiAAoAAARhCUQGgCEMQkAGACIoGBBAIoAAAiRFABAA=}#}x2  1  y2 1，  2 1 (x x )(x x ) 1 又 两式相减得 2 1 2 1 (y  y )(y y )0，即k  ………11分 x 2 2 2 1 2 1 OQ 2k 2  y 2 1，   2 2 ykxb，  2kb b 联立方程组 1 解得x  ，y  ………12分 y x， 0 2k2 1 0 2k2 1   2k 当|PQ|最大时，|OQ|最大………13分 2kb b (4k2 1)b2 (4k2 1)(k2 1) 4k4 5k2 1 |OQ| ( )2 ( )2    2k2 1 2k2 1 (2k2 1)2 (2k2 1)2 4k4 4k2 1 k2 1  1  1 ………14分 4k4 4k2 1 1 4k2  4 k2 1 1 2 4k2  4≥2 4k2 48，当且仅当k  时取等号………15分 k2 k2 2 1 3 2 3 2 6 |OQ|≤ 1  ，即|OQ|的最大值为 ，此时b ………16分 8 4 4 2 故l的方程为x 2y 30………17分 解法二：依题意，设l的方程为xmyn(m0,n0)，M(x ,y )，N(x ,y )，Q(x ,y )，P(x ,y ) 1 1 2 2 0 0 3 3 ………7分 xmyn，  联立方程组x2 化简得(m2 2)y2 2mnyn2 20………8分   y2 1，  2 2mn mn 由0，得m2 n2 20，y  y  ，y  ………9分 1 2 m2 2 0 m2 2 xmyn， 联立方程组 化简得(m2 1)y2 2mnyn2 10………10分 x2  y2 1， mn 由0，得n2 m2 1，y  ………11分 3 m2 1 1 m 1  PQ  1m2 y  y  1m2  mn    ………14分 0 3 (m2 1)(m2 2) m2 2 2 (m)( ) m 2 1 2 又 (m)( )≥2 2 ，当且仅当m 2时取等号，PQ ≤  ………15分 m 2 2 4 当|PQ|最大时，m 2，n 3………16分 {#{QQABKQqAggiAAoAAARhCUQGgCEMQkAGACIoGBBAIoAAAiRFABAA=}#}故l的方程为x 2y 30………17分 19.(本小题满分17分) 定义两个n维向量a (x ,x , ,x )，a (x ,x , ,x )的数量积a a  x x  x x i i，1 i，2 i,n j j,1 j,2 j,n i j i,1 j,1 i,2 j,2  x x (i, jN )，a a a 2，记x 为a 的第k 个分量(k≤n且kN ).如三维向量a i,n j,n  i i i i,k i  1 (2,1,5)，其中a 的第2分量a 1.若由n维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个 1 1,2 n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素a ,a ,满足a 2 a 2 i j i j T (T 为常数)且a a 1.则称A为T 的完美n维向量集. i j (1)求2的完美3维向量集； (2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由； (3)若存在A为T 的完美n维向量集，求证:A的所有元素的第k 分量和S T . k 解:(1)依题意，得集合A中含有3个元素a (i 1,2,3)，且每个元素中含有三个分量………1分 i a2 a 2 a 2 2，每个元素中的三个分量中有两个取1，一个取0………2分 1 2 3 a (1,1,0)，a (1,0,1)，a (0,1,1)………3分 1 2 3 又a a a a a a 1，2的完美3维向量集为A{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}………4分 1 2 1 3 2 3 (直接写出正确答案不扣分. 写成A(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)扣1分) (2)依题意，完美4维向量集B含有4个元素b (i 1,2,3,4)，且每个元素中含有四个分量， i T{0,1,2,3,4}………5分 (ⅰ)当T 0时，b {(0,0,0,0)}，与集合中元素的互异性矛盾，舍去………6分 i (ⅱ)当T 1时，b {(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}，不满足条件③，舍去………7分 i (ⅲ)当T 2时，b {(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1)}． i (1,1,0,0)(0,0,1,1)0，故(1,1,0,0)和(0,0,1,1)至多一个在B中；同理(1,0,1,0)和(0,1,0,1)及 (1,0,0,1)和(0,1,1,0)也至多一个在B中，故集合B中的元素个数小于4，不满足条件①，舍去 ………8分 (ⅳ)当T 3时，b {(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,1)}，不满足条件③，舍去……… 9分 i (ⅴ)当T 4时，b {(1,1,1,1)}，与集合中元素的互异性矛盾，舍去………10分 i 综上所述，不存在完美4维向量集………11分 (判断正确得1分) {#{QQABKQqAggiAAoAAARhCUQGgCEMQkAGACIoGBBAIoAAAiRFABAA=}#}(3)依题意，T 的完美n维向量集C 含有n个元素c (i 1,2, ,n)，且每个元素中含有n个分量， i c2 T ，每个元素中有T 个分量为1，其余分量为0，S S  S nT （*）………13分 i 1 2 n 由(2)分析知T 0,1,n，故2≤T n………14分 假设存在k ，使得T 1≤S ≤n，不妨设T 1≤S ≤n. k 1 (ⅰ)当S n时，如图1，由条件③知S =0或S 1(i1), 1 i i 此时S S  S ≤ n(n1)2n12n≤nT ， 1 2 n 与（*）矛盾，不合题意………15分 (ⅱ)当T 1≤S n时，如图2， 1 记S x x  x (k 1,2, ,n)， k 1,k 2,k n,k 图1 不妨设x x  x 1,x 0，x   x 1． 1,1 2,1 T1,1 n,1 n,2 n,T1 下面研究c ,c , ,c 的前T 1个分量中所有含1的个数. 1 2 T1 一方面，考虑c ,c , ,c 中任意两个向量的数量积为1， 1 2 T1 故x ,x , ,x ( j2,3, ,T 1)中至多有1个1， 1,j 2,j T1,j 故c ,c , ,c 的前T 1个分量中，所有含1的个数至多 1 2 T1 有(T 1)T 2T 1个1 (**)． 图2 另一方面，考虑c c 1(i1,2, ,T 1)，故c ,c , ,c 的前T 1个分量中，含有(T 1)(T 1)2T 2 i n 1 2 T1 个1，与(**)矛盾，不合题意………16分 故对任意k≤n且kN ，S ≤T ，由（*）得S T ………17分  k k {#{QQABKQqAggiAAoAAARhCUQGgCEMQkAGACIoGBBAIoAAAiRFABAA=}#}