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5.3.2 函数的极值与最大(小)值 （1） -A基础练
一、 选择题
1．（2021·全国高二课时练）如图是函数y＝f（x）的导数y＝f'（x）的图象，则下面判断正确的是
（ ）
A．在（﹣3，1）内f（x）是增函数 B．在x＝1时，f（x）取得极大值
C．在（4，5）内f（x）是增函数 D．在x＝2时，f（x）取得极小值
【答案】C
【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A，在（﹣3， ）上，f′（x）＜0，f（x）为减函
数，A错误；对于B，在（ ，2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x＝1不是f（x）的极大值
点，B错误；对于C，在（4，5）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，C正确；对于D，在（ ，
2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，在（2，4）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，则在x＝2时f
（x）取得极大值，D错误；故选：C．
2．（2021·全国高二课时练）若函数 可导，则“ 有实根”是“ 有极值”的
（ ）．
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】 ，但 在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时 在零点处无极值，但 有极值则 在极值处一定等于 .所以“ 有实根”是“ 有极值”的必要不
充分条件.故选：A
3．（2021·山东菏泽高二期末）当函数 取极小值时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 即 故选B．
4．（2021·福州屏东中学高二期末）若函数 有小于零的极值点，则实数m的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 ，得 ．因为函数 有小于零的极值点，
所以 有小于零的实根，即 有小于零的实根，∵ ，
∴ ，∴ ．故选：B
5．（多选题）（2021·冷水江市第一中学高二期末）已知定义在 上的函数 ，其导函数
的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（ ）A．
B．函数 在 上递增，在 上递减
C．函数 的极值点为 ，
D．函数 的极大值为
【答案】ABD
【详解】解：由题图知可，当 时， ，当 时， ，当
时， ，所以 在 上递增，在 上递减，在 上递增，
对A， ，故A错误；
对B，函数 )在 上递增，在 上递增，在 上递减，故B错误；
对C，函数 的极值点为 ， ，故C正确；
对D，函数 的极大值为 ，故D错误.故选：ABD.
6．（多选题）（2021·广东东莞高二期末）已知函数 ，则下列说法正确的是（
）
A． 有且只有一个极值点
B．设 ，则 与 的单调性相同
C． 有且只有两个零点
D． 在 上单调递增
【答案】ACD
【详解】解：由题知， ， ，所以 在上单调递增，当 时， ；当 时， ，所以存在
，使得 ，所以函数 在 上单调递减，在
上单调递增，所以 有且只有一个极值点，故A正确；因为 ，所
以 ，所以 所以
，故 的一个极值点为 ，所以 与 的单调性不相同，故B错误；因为
有且只有一个极值点 ， ，且 ，所以 在 和
上各有一个零点，所以 有且只有两个零点，故C正确；因为 与 在 上都
是单调递增，所以 在 上单调递增，D正确．故选：ACD．
二、 填空题
7．（2021·全国高二课时练）若函数 在 处取得极值，则 ________.
【答案】
【详解】由题意，函数 ，可得 ，因为 是函数
的极值点，可得 ，所以 ，解得 .
8．（2021·河北正定高二期末）已知函数 ，当 时函数 的极值为 ，则 __________ ．
【答案】
【解析】f′(x)=x2+2ax+a.由题意知f′(-1)=0,f(-1)=- ,
即 解得 所以f(x)= x3+x2+x- .所以f(2)= .
9．（2021·海林市高二期末）设函数 ，若 是 的极大值点，则a
取值范围为_______________.
【答案】
【解析】 的定义域为 ，由 ，得 ，所以
.①若 ，由 ，得 ，当 时， ，此时
单调递增，当 时， ，此时 单调递减，所以 是 的极大值点；②若
，由 ，得 或 .因为 是 的极大值点，所以 ，解得
，综合①②： 的取值范围是 ，故答案为 .
10．（2021·全国高二课时练）已知函数 在 处有极值，其图象在
处的切线平行于直线 ，则 极大值与极小值之差为__________．【答案】4
【详解】求导得 因为函数 在 取得极值，所以
即 ，
又因为图象在 处的切线与直线 平行，
所以 即 ，
联立①②可得 ，
当 时， 或 ；当 时，
∴函数的单调增区间是 和 ，函数的单调减区间是 ，
因此求出函数的极大值为 ，极小值为 ，
故函数的极大值与极小值的差为 ．
三、 解答题
11．（2021·全国高二课时练）求下列函数的极值．
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【详解】（1）因为 ，所以 ，
令 ，即 ，解得 或 ，
当 变化时， 、 的变化情况如下表：3
0 0
极小
增函数 极大值 减函数 增函数
值
故当 时，函数 有极大值， ，
当 时，函数 有极小值， ．
（2）因为 ，定义域为 ，
所以 ，
令 ，解得 或 ，
当 变化时， 、 的变化情况如下表：
0 0
极小
减函数 增函数 极大值 减函数
值
故当 时，函数有极小值， ，
当 时，函数有极大值， ．
（3）因为 ，
所以 ，函数 的定义域为 ，
令 ，解得 或 （舍去），
当 时， ，当 时， ，
故当 时，函数有极小值， ，无极大值.12．（2221·安徽六安高二期末）设函数 ，其中在 ，曲线
在点 处的切线垂直于 轴
（1）求a的值；
（2）求函数 极值．
【详解】（1）因 ，故
由于曲线 在点 处的切线垂直于 轴，
故该切线斜率为0，即 ，
从而 ，解得
（2）由（1）知 ，
令 ，解得 （因 不在定义域内，舍去）
当 时， 故 在 上为减函数；
当 时， 故 在 上为增函数，
故 在 处取得极小值
