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江苏省四校联合 2024 届高三新题型适应性考试
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．使用斜二测画法作一个五边形的直观图，则直观图的面积是原来五边形面积的
1 2 1 2
A． 倍 B． 倍 C． 倍 D． 倍
2 2 4 4
2．已知a，b 是两个不共线的单位向量，向量c =λa+µb (λ,µ∈R)，则“λ>0且µ>0”
是“c⋅(a+b)>0”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知等差数列{a }的前n项和为S ，S =1，S =4，则a +a +a +a =
n n 4 8 17 18 19 20
A．7 B．8 C．9 D．10
1−ai
4．设i为虚数单位，若复数 为纯虚数，则a=
1+i
A．−1 B．1 C．0 D．2
5．甲、乙、丙、丁四人参加书法比赛，四人对于成绩排名的说法如下．甲说：“乙在丙之前”，
乙说：“我在第三名”，丙说：“丁不在第二名，也不在第四名”，丁说：“乙在第四名”．若
四人中只有一个人的说法是错误的，则甲的成绩排名为
A．第一名 B．第二名 C．第三名 D．第四名
6．已知P为抛物线x2 =4y上一点，过P作圆x2+(y−3)2 =1的两条切线，切点分别为A，B，
则cos∠APB的最小值为
1 2 3 7
A． B． C． D．
2 3 4 8
数学试题 第 1 页（共 4 页）
学科网（北京）股份有限公司7．若全集为U ，定义集合A与B的运算：A⊗B={x|x∈AB且x∉AB}，则(A⊗B)⊗B=
A．A B．B C．A B D．B A
U U
1 1 1 5 5
8．设a= ，b=2ln(sin +cos )，c= ln ，则
4 8 8 4 4
A．am>1，则
A3
A．C3 =C5 B．C3 = 7
8 8 7 4!
C．mCm =(n−1)Cm−1 D．Am +mAm−1 =Am
n n−1 n n n+1
10．设函数 f(x)=2sin2 x−3sin|x|+1，则
π
A． f(x)是偶函数 B． f(x)在(− ,0)上单调递增
4
1
C． f(x)的最小值为− D． f(x)在[−π,π]上有4个零点
8
11．已知圆M ：(x−1)2+ y2 =16，点A是M 所在平面内一定点，点P是M 上的动点，若线
段PA的中垂线交直线PM 于点Q，则Q的轨迹可能为
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．有一组从小到大排列的数据：3，5，x，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据
的中位数为__________．
13．围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史．在围棋中，对于一些复杂的死活问题，比如
在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时，可利用数列通项的递推方法来计算．假设大
小为n的眼有a 口气，大小为n+1的眼有a 口气，则a 与a 满足的关系是
n n+1 n n+1
a =1，a =2，a −n=a −1(n≥2,n∈N*)
1 2 n+1 n
则a 的通项公式为__________．
n
2π
14．若A，B，C，D四点均在同一球面上，∠BAC = ，∆BCD是边长为2的等边三角形，
3
则∆ABC面积的最大值为__________，四面体 ABCD体积取最大值时，球的表面积为
__________．
数学试题 第 2 页（共 4 页）
学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC ⊥PD，二面角A−CD−P
为直二面角．
（1）证明：PB⊥PD；
（2）若PC =PD，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．
16．（15分）
在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器．某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则
为：①每次祈愿获取五星角色的概率 p =0.006；②若连续89次祈愿都没有获取五星角色，那
0
么第90次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互
独立．设X 表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数．
（1）求X 的概率分布；
（2）求X 的数学期望．
参考数据：0.99490≈0.582．
17．（15分）
已知函数 f(x)=ax −elog x−e，其中a>1．
a
（1）若a=e，证明 f(x)≥0；
（2）讨论 f(x)的极值点的个数．
数学试题 第 3 页（共 4 页）
学科网（北京）股份有限公司18．（17分）
x2 y2
已知等轴双曲线C的顶点分别为椭圆Γ： + =1的焦点F ，F ．
1 2
6 2
（1）求C的方程；
（2）若Q为C上异于顶点的任意一点，直线QF ，QF 与椭圆Γ的交点分别为P，R与M ，
1 2
N ，求|PR|+ 4|MN |的最小值．
19．（17分）
交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设A，B，C，D是直线l上
AC BD
互异且非无穷远的四点，则称 ⋅ （分式中各项均为有向线段长度，例如AB=−BA）为A，
BC AD
B，C，D四点的交比，记为(A,B;C,D)．
1
（1）证明：1−(D,B;C,A)= ；
(B,A;C,D)
（2）若l ，l ，l ，l 为平面上过定点P且互异的四条直线，L ，L 为不过点P且互异的
1 2 3 4 1 2
两条直线，L 与l ，l ，l ，l 的交点分别为A，B ，C ，D ，L 与l ，l ，l ，l 的交点分
1 1 2 3 4 1 1 1 1 2 1 2 3 4
别为A ，B ，C ，D ，证明：(A,B;C ,D)=(A ,B ;C ,D )；
2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2
（3）已知第（2）问的逆命题成立，证明：若∆EFG与∆E′F′G′的对应边不平行，对应顶点
的连线交于同一点，则∆EFG与∆E′F′G′对应边的交点在一条直线上．
数学试题 第 4 页（共 4 页）
学科网（北京）股份有限公司江苏省四校联合 2024 届新题型适应性考试
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．D 2．A 3．C 4．B
5．B 6．C 7．A 8．D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．AD 10．ABC 11．ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
n2−3n+6
， n≥2 3 20π
12．7.5 13． a = 2 14． ；
n 3 3
1 ， n=1
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．解：
（1）在四棱锥P−ABCD中，因为二面角A−CD−P为直二面角，所以平面PCD⊥平面
ABCD，因为底面ABCD为正方形，所以BC ⊥DC，而BC ⊂平面ABCD，DC =平面PCD
平面ABCD，所以BC ⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，所以BC ⊥PD，又因为PC ⊥PD，
BC，PC ⊂平面PBC，BCPC =C，所以PD⊥平面PBC，又因为PB⊂平面PBC，所以
PB⊥PD；
（2）分别取CD，AB中点为O，E，连接OP，OE，因为PC =PD，
所以OP⊥DC，又因为平面PCD⊥平面ABCD，DC =平面PCD
平面ABCD，OP⊂平面PCD，所以OP⊥平面ABCD，以O为坐标
原点，OD，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示
的空间直角坐标系O−xyz，则O(0,0,0)，C(−1,0,0)，B(−1,2,0)，
P(0,0,1)，E(0,2,0)， A(1,2,0)， AP=(−1,−2,1)， AB=(−2,0,0)，
n⋅AP=0 −x−2y+z =0
PC =(−1,0,−1)，设n=(x,y,z)是平面PAB的一个法向量，则 ，即 ，
n⋅AB=0 −2x=0
不妨取y=1，z =2，则n=(0,1,2)是平面PAB的一个法向量．
|n⋅PC| 10
设直线PC与平面PAB的夹角为θ，则sinθ=|cos|= = ．所以直线PC与
|n||PC| 5
10
平面PAB所成的角的正弦值为 ．
5
数学参考答案 第 1 页（共 4 页）
学科网（北京）股份有限公司16．解：
（1）将每次祈愿获取五星角色的概率记为 p ，X 的所有可能取值为1，2，3，…，90．
0
从而P(X =1)= p ，P(X =2)=(1− p )p ，P(X =3)=(1− p )2p ，…，P(X =89)=(1− p )88p ，
0 0 0 0 0 0 0
(1− p )k−1p ,1≤k≤89
P(X =90)=(1− p )89．所以X 的概率分布为P(X =k)= 0 0 ,k∈N*．
0 (1− p )89,k =90
0
（2）X 的数学期望E(X)=1×P(X =1)+2×P(X =2)+3×P(X =3)+⋅⋅⋅+90×P(X =90)
=1×p +2×(1− p )p +3×(1− p )2p +⋅⋅⋅+90×(1− p )89，
0 0 0 0 0 0
(1− p )E(X)=1×(1− p )p +2×(1− p )2p +3×(1− p )3p +⋅⋅⋅+90×(1− p )90，
0 0 0 0 0 0 0 0
p E(X)= p +(1− p )p +(1− p )2p +⋅⋅⋅+(1− p )88p +90×(1− p )89−89×(1− p )89p
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
−90×(1− p )90，
0
90×(1− p )89 90×(1− p )90
E(X)=1+(1− p )+(1− p )2+⋅⋅⋅+(1− p )88+ 0 −89×(1− p )89− 0
0 0 0 p 0 p
0 0
90×(1− p )89
=1+(1− p )+(1− p )2+⋅⋅⋅+(1− p )88+ 0 [1−(1− p )]−89×(1− p )89
0 0 0 p 0 0
0
1−(1− p )90
=1+(1− p )+(1− p )2+⋅⋅⋅+(1− p )88+(1− p )89 = 0 ，
0 0 0 0 p
0
1−(1− p )90 1−0.99490 1−0.582
因为 p =0.006，所以E(X)= 0 = ≈ ≈69.67．
0
p 0.006 0.006
0
17．解：
e
（1）当a=e时， f(x)=ex −elnx−e， f′(x)=ex − ， f′(1)=0， f(1)=0，当x<1时，
x
f′(x)<0， f(x)单调递减；当x>1时， f′(x)>0， f(x)单调递增，从而 f(x)≥f(1)=0；
e xaxln2a−e
（2）由题意知，函数 f(x)的定义域为(0,+∞)， f′(x)=axlna− = ，设
xlna xlna
g(x)=xaxln2a−e，a>1，显然函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，g(x)与 f′(x)同号，
①当a>e时，g(0)=−e<0，g(1)=aln2a−e>0，所以函数g(x)在(0,1)内有一个零点，
所以函数 f(x)在(0,+∞)上有且仅有一个极值点；
②当a=e时，由第（1）问知，函数 f(x)在(0,+∞)上有且仅有一个极值点；
1 1 1 1 lna 1
③当11，g( )=aln2a −e，因为lnaln2a = = >1，所以 1 ，
ln2a ln2a ln2a lna aln2a >e
1 1
g( )>0，又g(1)=aln2a−e<0，所以函数g(x)在(1, )内有一个零点，所以函数 f(x)在
ln2a ln2a
(0,+∞)上有且仅有一个极值点；
综上所述，函数 f(x)在(0,+∞)上有且仅有一个极值点．
数学参考答案 第 2 页（共 4 页）
学科网（北京）股份有限公司18．解：
（1）椭圆Γ的c2 =a2 −b2 =4，故F(−2,0)，F (2,0)，设等轴双曲线C的方程为x2−y2 =d ，
1 2
将F 带入求得d =4，故等轴双曲线C的方程为x2−y2 =4；
2
（2）设直线QF 的方程为x=my−2，直线QF 的方程为x=ny+2，点P，R，M ，N 的
1 2
x=my−2
坐标分别为(x ,y )，(x ,y )，(x ,y )，(x ,y )，联立直线QF 与椭圆Γ： ，得
1 1 2 2 3 3 4 4 1 x2+3y2 =6
4m 2
(m2 +3)y2 −4my−2=0，y + y = ，y y =− ，从而|PR|= (x −x )2 +(y −y )2
1 2 m2 +3 1 2 m2 +3 1 2 1 2
4m 2 m2+1
= m2+1 (y + y )2−4y y = m2+1 ( )2−4(− ) =2 6 ，联立直线QF 与
1 2 1 2 m2+3 m2+3 m2 +3 2
x=ny+2 4n 2
椭圆Γ： ，得(n2 +3)y2 +4ny−2=0，y + y =− ，y y =− ，从而
x2+3y2 =6 3 4 n2 +3 3 4 n2 +3
4n 2
|MN |= (x −x )2 +(y −y )2 = n2 +1 (y + y )2 −4y y = n2 +1 (− )2 −4(− )
3 4 3 4 3 4 3 4 n2 +3 n2 +3
n2 +1 x=my−2 2m+2n 4
=2 6 ，联立直线QF 与QF ： ，得Q( , )，又Q在双曲线C上，
n2 +3 1 2 x=ny+2 m−n m−n
2m+2n 4 1 m2+1 n2 +1
带入得( )2−( )2 =4，化简得n= ．从而|PR|+4|MN |=2 6( + )
m−n m−n m m2 +3 n2 +3
10
=2 6(
m2 +1
+
4m2 +4
)=2 6⋅
7m4 +20m2 +13
=2 6(
7
−
3
)
m2 +3 3m2 +1 3m4 +10m2 +3 3 9 768 104
3(m2 − )+ +
5 9 5
25(m2− )
5
10
≥2 6( 7 − 3 )= 9 6 ，当且仅当 3(m2 − 9 )= 768 ，即m=± 5时取等，
3 2 3⋅ 768 + 104 2 5 25(m2 − 9 )
25 5 5
9 6
故|PR|+ 4|MN |的最小值为 ．
2
数学参考答案 第 3 页（共 4 页）
学科网（北京）股份有限公司19．解：
DC⋅BA BC⋅AD+DC⋅BA BC⋅(AC+CD)+CD⋅AB
（1）1−(D,B;C,A)=1− = =
BC⋅DA BC⋅AD BC⋅AD
BC⋅AC+BC⋅CD+CD⋅AB BC⋅AC+AC⋅CD AC⋅BD 1
= = = = ；
BC⋅AD BC⋅AD BC⋅AD (B,A;C,D)
AC ⋅BD S ⋅S
（2）(A,B;C ,D)= 1 1 1 1 = ∆PA1C1 ∆PB1D1
1 1 1 1 BC ⋅AD S ⋅S
1 1 1 1 ∆PB1C1 ∆PA1D1
1 1
⋅PA ⋅PC ⋅sin∠APC ⋅ ⋅PB ⋅PD ⋅sin∠BPD
2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 sin∠APC ⋅sin∠BPD
= = 1 1 1 1
1 1 sin∠BPC ⋅sin∠APD
⋅PB ⋅PC ⋅sin∠BPC ⋅ ⋅PA ⋅PD ⋅sin∠APD 1 1 1 1
2 1 1 1 1 2 1 1 1 1
sin∠A PC ⋅sin∠B PD S ⋅S AC ⋅B D
= 2 2 2 2 = ∆PA2C2 ∆PB2D2 == 2 2 2 2 =(A ,B ;C ,D )；
sin∠B PC ⋅sin∠A PD S ⋅S B C ⋅A D 2 2 2 2
2 2 2 2 ∆PB2C2 ∆PA2D2 2 2 2 2
第（2）问图 第（3）问图
（3）设EF与E′F′交于X ，FG与F′G′交于Y，EG与E′G′交于Z ，连接XY ，FF′与XY
交于L，EE′与XY 交于M ，GG′与XY 交于N ，欲证X ，Y ，Z 三点共线，只需证Z 在直
线XY 上．考虑线束XP，XE，XM ，XE′，由第（2）问知(P,F;L,F′)=(P,E;M,E′)，再
考虑线束YP ，YF ，YL ，YF′ ，由第（2）问知 (P,F;L,F′)=(P,G;N,G′) ，从而得到
(P,E;M,E′)=(P,G;N,G′)，于是由第（2）问的逆命题知，EG，MN，E′G′交于一点，即
为点Z ，从而MN过点Z ，故Z 在直线XY 上，X ，Y，Z 三点共线．
数学参考答案 第 4 页（共 4 页）
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