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数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D C B B C D
【解析】
1． ， ，故选A．
2．由题意 ，由 ，整理得 ，故选B．
3．向量 在向量 方向上的投影向量 ，故选D．
4． ，其中 ， ，又当 时，
取得最大值，所以 ，即 ，所以
，故选C．
5． ， ， ， ，…， ，
，将以上等式累加，从第二个等式开始，上一个等式的左边与该等式右边第一项相消，
即得 ，所以 ，故选B．
6．因为 ，所以 ，即
，由余弦定理， ， ， ，则
， 故 ， 由 余 弦 定 理 ，
， 所 以 ， 由 正 弦 定 理 ，
，则 ，因为 ，所
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学科网（北京）股份有限公司以 ，所以 ，故选B．
7．当 时，游戏币已经输光了，因此 ，当 时，参与者已经到了终止游戏的
条件，因此输光的概率 ，故 A 正确；由题意可得， ，所以
， 故B正确；参与者有n个游戏币的
状态，可能来源于有 个游戏币再赢一局，也可能来源于有 个游戏币再输一局，
由 全 概 率 公 式 ， ， 故 C 错 误 ； 因 为
，所以 为等差数列，其中首项 ，设公差为 ，
则 ，即 ， ，所以 ，当 时
，故D正确，故选C．
8． 当且仅当 时，等号成立，故选
D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
题号 9 10 11
答案 ACD BCD ABC
【解析】
9．根据频率分布直方图可得，右边拖尾，则平均数变大，中位数变小，故平均数大于中位
数，A正确；回归分析中，线性相关系数的取值范围为 ，故B错误； 回归分析中，
决定系数越大，拟合效果越好，故C正确；在独立性检验中，当 （ 为 的临界
值）时，推断零假设 不成立，故D正确，故选ACD．
10．如图 1，作 ， ， ，由 ，可知
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图1A，B在以点C为圆心， 为半径的圆上，以 ， 为邻边作矩形 ，由矩形
的性质可知， ，可得 ，即点D在以点C为圆心，8
为半径的圆上， ，即 ， ，
故选BCD．
11．如图 2，延长 到M，交 延长线于 M，则 ，
为三角形 的中位线，所以 ，故A正确；三
角形 面积 故B正确；三角形
的内切圆与x轴相切于双曲线的顶点，故C 正确；设P在
图2
左支， ， ， ①，
图3
②，由①、②得：
，如图3：同理P在右支时， ，
故D错误，故选ABC．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
题号 12 13 14
答案 （答案不唯一）
【解析】
12．由题意知指数函数符合上述条件，答案不唯一.
13．如图4，将“羡除” 分割为两个四棱锥 ，
和直棱柱 ，故所求几何体的体积为
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图．
14．∵ 不是方程 的根，所以 有两个不相等的实数
根 ，令 ，则 ．当 时， ， 在
区间 上单调递减，且 ；当 时， ， 在区
间 上单调递减，且 ，当 时， ， 在区间
图5
上单调递增，且 ，∴ 的极小值为 ，图象大致如图5：若
有两个不相等的实数根 ，则 ，即 ，且 ，令 ，
则 ，由 ，得 ，又∵ ，∴ ，∴ ，取对
得 ，∴ ．设 ，则 ，当且仅
当 时取等，所以 在 上单调递减，则 . 又∵
在 区 间 上 单 调 递 减 ， ， ， ∴
，即 ．∴实数 的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
（1）证明：已知总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和
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学科网（北京）股份有限公司样本方差分别为： ， ， ； ， ， ．记总样本的平均数为 ，样本方差为 ，
由 ，得
所以
.
…………………………………………………………（7分）
（2）解：设在男生、女生中分别抽取m名和n名，
则 ， 解得 ， ，
记抽取的总样本的平均数为 ，
根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，
可得： ，
所以，抽取的总样本的平均数为166cm；
男生样本的平均数为 ，样本方差为 ；女生样本的平均数为 ，
样本方差为 ，记总样本的样本方差为 ，
则 ，
所以，估计高三年级全体学生的身高的方差为46.4 .
…………………………………………………………（13分）
16．（本小题满分15分）
（1）证明：因为 ， ， ，
是等腰直角三角形，故 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以B，F，D，G四点共面．
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学科网（北京）股份有限公司……………………………………………………（5分）
（2）解：因为 ，以A为原点，建立如图6所示的空间直角坐
标系，
， 因 为 ， 则 ， ，
， ， ，
所以 ， . 图6
设平面 的法向量为 ，
则有 化简得 所以可取 ，
， .
设平面 的法向量为 ，
则有 化简得 所以取 ，
平面 与平面 的夹角即 与 夹角或其补角，
所以 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
…………………………………………………………（15分）
17．（本小题满分15分）
（1）解： ，
所以曲线 在点 处的曲率为
…………………………………………………………（5分）
（2）证明：由题意可得 ，
，
若 曲率为0，则 ，即 ，
分别化简可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，
令 ，得 ，
所以在 上， ， 单调递增，且 ；
在 上， ， 单调递减，且 .
又 ，所以 有两个解.
设为 ， ， ，
又 ，
由 可设 ， ，
所以 ， ，
，
化简可得 ，则 .
要证 ，即证 ，
需要证 ，即证 ，
令 ，
，
所以 在 上单调递增，
所以 ，得证．
……………………………………………………（15分）
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学科网（北京）股份有限公司18．（本小题满分17分）
解：（1）因为点 在 ： 内，
所以圆N内切于圆M，则 ，
由椭圆定义知，圆心N的轨迹为椭圆，且 ， ，
则 ， ，
所以动圆圆心N的轨迹方程为 ． ………………………………（7分）
（2）由 ， ，
设直线GH的方程为： ，联立椭圆的方程 整理得
两边同时除以 ，令 ，
整理得
由已知： 解得：
所以直线GH的方程为： ，恒过点
…………………………………………………………（17分）
19．（本小题满分17分）
解：（1）由 得 ，
……………………………………………………（3分）
（2）由变换 的定义及 知： ，
所以
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学科网（北京）股份有限公司……………………………………………………（8分）
（3）由（2）知， 中0的个数和1的个数相等，
设 中有 个01数对，由变换 的定义知 中的11数对只能由 中的01数对得到，
所以 ， 中的01数对有两个产生路径① 中的0得到，② 中的11得到，
而 中有0和1的个数相等均为 .
所以有 ，即 ，
由 ， ，知 ，
当 时，若 为偶数，则有：
累加得： ，
同理可得，当 为奇数时，
综上所述，
…………………………………………………………（17分）
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