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第六章 平面向量及其应用
6.1.3相等向量与共线向量
一、基础巩固
1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ）
（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；
（3）若 ，则 ；
（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】
由相等向量的定义知（1）正确；
平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，（2）错；
方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错；
相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，（4）错，
2．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；
②若 都是单位向量，则 ；
③向量 与 相等．
则所有正确命题的序号是（ ）
A．① B．③
C．①③ D．①②
【答案】A
【详解】
根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错
误；
向 与 互为相反向量，故③错误．
3．将向量 向右平移1个单位，再向下平移1个单位，所得向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为将向量进行平移变换不改变向量的长度和方向，所以平移以后的向量与原向量相等，
所以向量 向右平移1个单位，再向下平移1个单位，所得向量的坐标为 .
4．下列关于向量的结论：
（1）若 ，则 或 ；
（2）向量 与 平行，则 与 的方向相同或相反；
（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；
（4）若向量 与 同向，且 ，则 ．
其中正确的序号为（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）
【答案】D
【详解】
（1）若 ，由于 的方向不清楚，故不能得出 或 ，故（1）不正确.
（2）由零向量与任何向量平行，当向量 与 平行时，不能得出 与 的方向相同或相反，故（2）不正
确.
（3）由向量的相等的定义，起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；故（3）正确.
（4）向量不能比较大小，故（4）不正确.
5．以下说法正确的是（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．零向量没有方向
C．共线向量又叫平行向量
D．若 和 都是单位向量，则
【答案】C
【详解】
只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故A错误，
零向量是没有方向的向量，B错误；
共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，C正确；
若 ， 都是单位向量，两向量的方向不定，D错误；
6．下列命题正确的是（ ）
A．若 与 共线， 与 共线，则 与 共线
B．三个向量共面，即它们所在的直线共面
C．若 ，则存在唯一的实数 ，使
D．零向量是模为 ，方向任意的向量
【答案】D
【详解】
A选项，若 ，则根据零向量方向的任意性，可的 与 共线， 与 共线；但 与 不一定共线，故
A错；
B选项，因为向量是可以自由移动的量，因此三个向量共面，其所在的直线不一定共面；故B错；
C选项，根据共线向量定理，若 ，其中 ，则存在唯一的实数 使 ；故C错；
D选项，根据零向量的定义可得，零向量是模为 ，方向任意的向量；即D正确.
7．下列说法错误的是（ ）
A．向量 的长度与向量 的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行
C．长度相等方向相反的向量共线 D．方向相反的向量可能相等
【答案】D
【详解】A.向量 与向量 的方向相反，长度相等，故A正确；
B.规定零向量与任意非零向量平行，故B正确；
C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C正确；
D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，
8．判断下列命题：
①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；
②若 ，则 与 的方向相同或相反；
③若 且 ，则 ；
④若 ，则 ．
其中正确的命题个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B.
【详解】
①，两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同，根据相等向量的知识可知①是正确的.
②，若 ，则可能 为零向量，方向任意，所以②错误.
③，若 且 ，则可能 为零向量，此时 不一定平行，所以③错误.
④，向量既有长度又有方向，所以向量不能比较大小，所以④错误.
故正确的命题有 个.
9．（多选）若四边形ABCD是矩形，则下列命题中正确的是（ ）
A． 共线 B． 相等
C． 模相等，方向相反 D． 模相等
【答案】ACD
【详解】
∵四边形ABCD是矩形， ,所以 共线， 模相等,故A、D正确;
∵矩形的对角线相等,∴|AC|=|BD|,
模相等,但的方向不同，故B不正确;
|AD|=|CB|且AD∥CB，所以 的模相等，方向相反，
故C正确.
10．（多选）如图所示，梯形 为等腰梯形，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】
解： 与 显然方向不相同，故不是相等向量，故 错误；
与 表示等腰梯形两腰的长度，所以 ，故 正确；
向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故 错误；
等腰梯形的上底 与下底 平行，所以 ，故 正确；
11．（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．模相等的两个向量是相等向量
B．若 ， ， 分别表示 ， 的面积，则C．两个非零向量 , ，若 ，则 与 共线且反向
D．若 ，则存在唯一实数 使得
【答案】BC
【详解】
相等向量是大小相等、方向相同的向量，向量的模相等，但方向不一定相同，故A选项错误；
设AC的中点为M，BC的中点为D，因为 .所以 ，即
，所以O是线段MD上靠近点M的三等分点，可知O到AC的距离等于D到AC距离的 ，
而B到AC的距离等于D到AC距离的2倍，故可知O到AC的距离等于B到AC距离的 ，根据三角形面
积公式可知B选项正确；
C选项中，当 与 共线且反向时，可知 成立，当 与 不共线或共线方向相同时，结
论不成立，故C选项正确；
D选项错误，例如 ，
12．（多选）已知向量 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使 共线的是( )
A． 且
B．存在相异实数 ，使
C． （其中实数 满足 ）
D．已知梯形 ．其中
【答案】AB
【详解】对于A， 向量 是两个非零向量， 且 ，
，此时能使 共线，故A正确；
对于B，存在相异实数 ，使 ，要使非零向量 是共线向量，由共线定理即可成立，故
B正确；
对于C， （其中实数 满足 ）如果 则不能使 共线，故C不正确；
对于D，已知梯形 中， ， ，如果 是梯形的上下底，则正确，否则错误；
二、拓展提升
13．如图所示，O为正方形 对角线的交点，四边形 ， 都是正方形，在图中所标出的
向量中，
（1）分别写出与 ， 相等的向量；
（2）写出与 共线的向量；
（3）写出与 模相等的向量.
【答案】（1） ， ；
（2）与 共线的向量有 ， ， ；
（3）与 模相等的向量有 ， ， ， ， ， ， .
（3）根据模相等向量的定义求解即可.
【详解】解：（1） ， .
（2）与 共线的向量有 ， ， .
（3）与 模相等的向量有 ， ， ， ， ， ， .
.
14．将向量用具有同一起点O的有向线段表示.
（1）当 与 是相等向量时，判断终点M与N的位置关系；
（2）当 与 是平行向量，且 时，求向量 的长度，并判断 的方向与
的方向之间的关系.
【答案】（1）M与N重合（2）答案不唯一，具体见解析
【详解】
解：（1）M与N重合.
（2）①当 与 同向时，如图（1）， ， 与 方向相反；
②当 与 反向时，如图（2）， ， 与 方向相同.
15．如图所示是棱长为1的正三棱柱ABCAB C .
1 1 1(1)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，举出与向量 相等的向量；
(2)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，举出向量 的相反向量；
(3)若E是BB 的中点，举出与向量 平行的向量．
1
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【详解】
(1)由正三棱柱的结构特征知与 相等的向量只有向量 .
(2)向量 的相反向量为 ， .
(3)取AA 的中点F，连接B F，
1 1
则 ， ， 都是与 平行的向量．
