信息必刷卷02（新高考新题型专用）（解析版）_2024年3月_013月合集_2024年高考考前信息必刷卷三套（新高考新题型）数学

绝密★启用前 2024年高考考前信息必刷卷（新高考新题型）02 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 随着九省联考的结束，全国陆续有多个省份宣布在2024年的高考数学中将采用新题型模式。 新的试题模式与原模式相比变化较大，考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解 答题），其中单选题的题量不变，多选题、填空题、解答题各减少1题，多选题由原来的0分、2分、5分 三种得分变为“部分选对得部分分，满分为6分”，填空题每题仍为5分，总分15分，解答题变为5题， 分值依次为13分、15分、15分、17分、17分。 新的试题模式与原模式相比，各个题目的考查内容、排列顺序进行了大幅度的调整。多年不变的集合 题从单选题的第1题变为填空题，且以往压轴的函数与导数试题在测试卷中安排在解答题的第1题，难度 大幅度降低；概率与统计试题也降低了难度，安排在解答题的第 2题；在压轴题安排了新情境试题。这些 变化对于打破学生机械应试的套路模式，对促使学生全面掌握主干知识、提升基本能力具有积极的导向作 用。 九省联考新模式的变化，不仅仅体现在题目个数与分值的变化上，其最大的变换在于命题方向与理念 的变化，与以往的试题比较，试题的数学味更浓了，试卷没有太多的废话，也没有强加所谓的情景，体现 了数学的简洁美，特别是最后一道大题，题目给出定义，让考生推导性质，考查考生的数学学习能力和数 学探索能力，这就要求考生在平时的学习中要注重定理、公式的推导证明，才能培养数学解决这类问题的 思维素养。 试卷的命制体现“多想少算”的理念，从重考查知识回忆向重考查思维过程转变，试卷题目的设置层 次递进有序，难度结构合理，中低难度的题目平和清新，重点突出；高难度的题目不偏不怪，中规中矩， 体现了良好的区分性，可有效的引导考生在学习过程中从小处着手，掌握基本概念和常规计算；从大处着 眼，建构高中数学的知识体系。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1． 的展开式中 的系数为 ，则 （ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】D 【解析】二项式 展开式的通项为 （其中 且 ）， 令 可得 ，所以 ，解得 . 故选：D 2．设 是等比数列 的前 项和，若 ，则 （ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得 ， ， 因为 成等比数列，故 ， 即 ，解得 ， 故 . 故选：B 3．某学校运动会男子100m决赛中，八名选手的成绩（单位： ）分别为： ， ， ， ， ， ， ，则下列说法错误的是（ ） A．若该八名选手成绩的第 百分位数为 ，则 B．若该八名选手成绩的众数仅为 ，则 C．若该八名选手成绩的极差为 ，则 D．若该八名选手成绩的平均数为 ，则 【答案】A 【解析】对A,因为 ，当 ,八名选手成绩从小到大排序，故该八名选手成绩的第 百分位数为 ，但 ，故A错误； 对B,由众数是出现次数最多的数据，B正确； 对C,当 ，极差为 ，不符合题意舍去； 当 ，极差为 ，符合题意 当 ，极差为 不符合题意舍去，综上， ，C正确； 对D,平均数为 解得 ，故D正确. 故选：A 4. 在 中， ， ， ，则 的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在 中， ， ， ， 由余弦定理可得 ，解得 ， 所以 ， 故选：D 5．已知 ，则 （ ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【解析】已知 ， 则 ， ， ， ，则 ， ， 则 . 故选：A. 6．第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前 往3个场馆 开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆 时，场馆 仅有 2名志愿者的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不考虑甲是否去场馆 ，所有志愿者分配方案总数为 ， 甲去场馆 的概率相等，所以甲去场馆 或 的总数为 ， 甲不去场馆 ，分两种情况讨论， 情形一，甲去场馆 ，场馆 有两名志愿者共有 种； 情形二，甲去场馆 ，场馆 场馆 均有两人共有 种， 场馆 场馆 均有两人共有 种，所以甲不去场馆 时， 场馆 仅有2名志愿者的概率为 . 故选：B． 7．在平行四边形 中， ， ， ， 分别为 ， 的中点，将 沿直 线 折起，构成如图所示的四棱锥 ， 为 的中点，则下列说法不正确的是（ ）A．平面 平面 B．四棱锥 体积的最大值为 C．无论如何折叠都无法满足 D．三棱锥 表面积的最大值为 【答案】C 【解析】选项A，平行四边形 ,所以 ，又 , 分别为 中点，所以 ,即四边形 为平行四边，所以 ,又 平面 , 平面 ,所以 平面 ，又 是 中点，所以 ,又 平面 , 平面 ,所以 平面 ,又 , 平面 ,所以平面 平面 ，故A正确； 选项B，当平面 平面 ,四棱锥 的体积最大，因为 ，所以最大值为 ,故B正确； 选项C，根据题意可得 ,只要 , , 平面 ,所以 平面 ，即 ,故C错误； 选项D，当 ,根据对称性可得 ,此时 的面积最大，因此三棱锥 表面积最大，最大值为 ,选项D正确. 故选：C8．曲线 是平面内与三个定点 ， 和 的距离的和等于 的点的轨迹.给出下列四个 结论： ①曲线 关于 轴、 轴均对称； ②曲线 上存在点 ，使得 ； ③若点 在曲线 上，则 的面积最大值是1； ④曲线 上存在点 ，使得 为钝角. 其中所有正确结论的序号是（ ） A．②③④ B．②③ C．③④ D．①②③④ 【答案】C 【解析】设曲线 上任意一点 ，由题意可知 的方程为 . ①错误，在此方程中用 取代 ，方程不变，可知 关于 轴对称； 同理用 取代 ，方程改变，可知 不关于 轴对称，故①错误. ②错误，若 ，则 曲线 不存在，故②错误. ③正确， P应该在椭圆D： 内（含边界）， 曲线 与椭圆D有唯一的公共点 ，此时 当点P为 点时， 的面积最大，最大值是1，故③正确； ④正确，由 ③可知，取曲线 上点 ，此时 ， 下面在曲线 上再寻找一个特殊点 ， ，则 ， 把 两边平方， 整理得 ， 解得 ，即 或 . 因为 ，则取点 ， 此时 .故④正确． 故答案为：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ） A．最小正周期为 B．函数 在区间 内有6个零点 C． 的图象关于点 对称 D．将 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，若 在 上的最大值为 ，则 的最大值为 【答案】AD 【解析】， 对于A： ，A正确； 对于B：当 时， ，则 分别取 时对于的 的值为函数 在 区间 上的零点，只有 个，B错误； 对于C： ，故点 不是 的对称中心，C错误； 对于D：由已知 ， 当 时， ， 因为 在 上的最大值为 ， 所以 ，解得 ，D正确. 故选：AD. 10．已知直线 与圆 交于点 ，点 中点为 ， 则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为4 C. 为定值 D. 存在定点 ，使得 为定值 【答案】ACD 【解析】直线 ，即 ，故直线过定点 ,且圆 的圆心为 ，半径为2, ，故 在圆 内， 对于A，当 和直线 垂直时，圆心到直线的距离最大，距离 ， 此时 最小， ，故A正确； 对于B，当 时， 为圆的直径，此时直线过圆心， 方程无解，故直线不可能过圆心，故B错误； 对于C，设 ，则 ， 当直线 斜率不存在时， ，联立圆 得， ， 此时 当直线 斜率存在时，设直线 ，联立圆 ， 得 ，即 ， ， ， , , 带入得： ，故 为定值 ，故C正确； 对于D， 中点 为，故 ,且 在 上， 所以 ,故 是直角三角形， 当 为 中点 时， 为定值，故D正确. 故选：ACD 11．已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 是奇函数， ，且对任意 ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为 ， 令 得： ，又因为 ，所以 ，故A正确； 因为 是定义域为 的奇函数，所以 ，且 为偶函数. 令 ，可得： ① 再用 代替 可得： ② ① ②得： 所以： ，所以 是周期为3的周期函数，所以： ，故B正确. 因为： ， ，所以： ， 所以： ，故C错误； 又因为 亦为周期为3的周期函数，且为偶函数，所以 令 ， 可得： ， 所以 . 所以： .故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若复数 ，则 【答案】 【解析】 ，则 ， . a2c 13．已知三个实数a、b、c，当 时， 且 ，则 的取值范围是 ． c0 b2a3c bca2 b  1 【答案】,   9 【解析】当 时满足： 且 ， ，即 ，进而 ，解得 ． 所以 或 ，， 令 ， ， 由于 所以 在 单调递增，在 单调递减， 当 时， ，当 时， ， 所以 故答案为： ． 14．已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），剩余中 间部分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为 【答案】 【解析】如图：设 为正四面体 的外接球球心， 为 的中心, 为 的中心, 为 的中点， 因为正四面体 棱长为8，易得 平面 ， 易得 ， 平面 ， 平面 ， 则 ， 由正四面体外接球球心为 ，则 在 ，则 为外接球半径， 由 得 ，解得 ， 即 , 在正四面体 中，易得 ， ，所以 ， 则该八面体的外接球半径 , 所以该球形容器表面积的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数 ． (1)当 时，求 的图象在点 处的切线方程； (2)若 ，求实数 的取值范围． 【解析】（1）当 时， ，求导得 ， 则 ，而 ，于是 ，即 ， 所以 的图象在点 处的切线方程是 . （2）函数 定义域为 ，求导得 ， 由 ，得 ，令 ， 求导得 ，令函数 ， 显然函数 在 上单调递增，而 ，则当 时， ， ， 当 时， ， ，函数 在 上递减，在 上递增， ， 因此 ，解得 ， 所以实数 的取值范围是 . 16．（15分）已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，且其离心率为 . (1)求椭圆 的方程； (2)已知与坐标轴不垂直的直线 与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中点为 ，求证： （ 为 坐标原点）为定值. 【解析】（1）∵抛物线 的焦点为 ， ∴椭圆 的半焦距为 ，又 ，得 ， . ∴椭圆 的方程为 （2）证明：由题意可知，直线 的斜率存在且不为0，设直线 的方程为 ， 联立 ，得 . ，即 ， 设 ， ， 则 ， ， ∴ ， ∴ . ∴ 为定值 17．（15分）如图，在正四棱台 中， .(1)求证：平面 平面 ； (2)若直线 与平面 所成角的正切值为 ，求二面角 的正弦值. 【解析】（1）延长 交于一点P，连接BD交AC于O； 由正四棱台定义可知，四条侧棱交于点P，且四棱锥 为正四棱锥， 即 ，又点O分别为 的中点， 故 ，而 ， 平面 ， 故 平面 ，又 平面 ， 故平面 平面 ，即平面 平面 ； （2）由（1）知 两两垂直， 故分别以 为 轴建立空间直角坐标系，设棱台的高为h，则 ， 又平面 的法向量可取为 ，而 ， 由题意知直线 与平面 所成角的正切值为 ， 则其正弦值为 ， 则 ，解得 ， 所以 ， 设平面 的法向量为 ，则 ， 令 ，则 ， 故 ，而二面角范围为 ， 故二面角 的正弦值为 . 18. （17分）某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙 餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求．（1）现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据 的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？ 就餐区域 性别 合计 南区 北区 男 33 10 43 女 38 7 45 合计 71 17 88 （2）张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为 ；如果前一 天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为 ， ；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙 餐厅的概率均为 ．张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为 ， ， ． （ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率； （ⅱ）求第 天他去甲餐厅用餐的概率 ． 附： ； 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 【解析】（1）依据表中数据， ， 依据 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，因此可以认为 成立，即认为在不同区域 就餐与学生性别没有关联． （2）设 “第 天去甲餐厅用餐”， “第 天去乙餐厅用餐”， “第 天去丙餐厅用餐”，则 两两独立， ． 根据题意得 ， ． （ⅰ）由 ，结合全概率公式，得 ， 因此，张同学第2天去乙餐厅用餐的概率为 ． （ⅱ）记第 天他去甲，乙，丙餐厅用餐的概率分别为 ， 则 ，由全概率公式，得 故 ① 同理 ② ③ ④由①②， ， 由④， ， 代入②，得： ，即 ， 故 是首项为 ，公比为 的等比数列， 即 ，所以 于是，当 时 综上所述： 19．（17分）已知定义域为 的函数 满足：对于任意的 ，都有 ，则称 函数 具有性质 . （1）判断函数 是否具有性质 ；（直接写出结论）资料来源：微信公众号 智慧学 库 （2）已知函数 ，判断是否存在 ，使函数 具有性质 ？若存 在，求出 的值；若不存在，说明理由； （3）设函数 具有性质 ，且在区间 上的值域为 .函数 ，满足，且在区间 上有且只有一个零点.求证： . 【解析】（1）因为 ，则 ，又 ， 所以 ，故函数 具有性质 ； 因为 ，则 ，又 ， ，故 不具有性质 . （2）若函数 具有性质 ，则 ，即 ， 因为 ，所以 ，所以 ； 若 ，不妨设 ，由 ， 得 （*）， 只要 充分大时， 将大于1，而 的值域为 ， 故等式（*）不可能成立，所以必有 成立， 即 ，因为 ，所以 ， 所以 ，则 ，此时 ， 则 ， 而 ，即有 成立， 所以存在 ， 使函数 具有性质 . （3）证明：由函数 具有性质 及（2）可知， ， 由 可知函数 是以 为周期的周期函数，则 ，即 ，所以 ， ； 由 ， 以及题设可知， 函数 在 的值域为 ，所以 且 ； 当 ， 及 时，均有 ， 这与 在区间 上有且只有一个零点矛盾，因此 或 ； 当 时， ，函数 在 的值域为 ， 此时函数 的值域为 ， 而 ，于是函数 在 的值域为 ， 此时函数 的值域为 ， 函数 在当 时和 时的取值范围不同， 与函数 是以 为周期的周期函数矛盾， 故 ，即 ，命题得证.