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2024年高考考前信息必刷卷（新高考新题型）03
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
2023年的对于三视图的考察也将近有尾声，留意的是立体几何中对圆锥的考察（侧面积的计算也会成
一个热点）。
其他的题目难度变化不大，但侧重于考察学生运算能力与分析能力。
应特别注意新高考函数位于第一大题的位置，其难度有所下降，函数中多研究含参讨论单调性及恒成立存
在问题，新高考概率位于第二大题的位置，概率中多研究条件概率、古典概率问题，同时注重圆锥曲线常
规联立及二级结论（推导）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知学生的数学和地理成绩具有线性相关关系，高三某次模考中，5名学生的数学和地理成绩如下表：
学生的编号
1 2 3 4 5
i
数学成绩x 100 105 90 85 80
地理成绩y 75 ■ 68 64 62
现已知其线性回归方程为 ，则“■”代表该生的地理成绩为（ ）
A．76 B．74.85 C．73 D．72.5
【答案】A
【解析】 ，
所以■ ．
故选：A2．已知点 是 的重心，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设 的中点为D，连接 ，点 是 的重心，则P在 上，
且
，
由此可知A，B，C错误，D正确，
故选：D
3．在等比数列 中， ，则 （ ）
A．-4 B．8 C．-16 D．16
【答案】C
【解析】设等比数列 的公比为 ，则 ，即 ，
.
故选:C.
4．下列说法中正确的是（ ）
A．没有公共点的两条直线是异面直线
B．若两条直线a，b与平面α所成的角相等，则C．若平面α，β，γ满足 ， ，则
D．已知a，b是不同的直线，α，β是不同的平面.若 ， ， ，则
【答案】D
【解析】对A，没有公共点的两条直线是异面直线或平行直线，故A错误；
对B，若两条直线a，b与平面α所成的角相等，
则a，b可以平行、相交或异面，故B错误；
对C，若平面α，β，γ满足 ， ，则α，γ不一定垂直，故C错误；
对D，两个平面垂直等价于这两个平面的垂线垂直，故D正确.
故选：D.
5．一支由12人组成的登山队准备向一座海拔5888米的山峰攀登，这12人中姓赵、钱、孙、李、周、吴
的各有2人．现准备从这12人中随机挑选4人组成先遣队，如果这4人中恰有2人同姓，则不同的挑选方
法的种数为（ ）
A．480 B．270 C．240 D．60
【答案】C
【解析】方法一：
先在12人中挑选同姓的2人，方法有 （种），
然后在剩余的10人中，挑选不是同姓的2人，方法有 （种），
所以不同的挑选方法的种数是 .
方法二：
先在12人中挑选同姓的2人，方法有 （种），
然后在剩余的10人中，挑选不是同姓的2人，方法有 （种），
所以不同的挑选方法的种数是 .
故选；C
6．已知函数 ，若不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于函数 ，定义域为R，满足 ，
得 是奇函数，且在R上为减函数.
在 上恒成立， 在 上恒成立，
在 上恒成立， 在 上恒成立.
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
，即a的取值范围为 ，
故选：D.
7．已知 ，则 的值为（ ）
A． B．1 C．4 D．
【答案】C
【解析】在 中，
而 ，
由二项式定理知 展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，令 ， ，
故 ，
同理令 ，解得 ，令 ，解得 ，故 ，故 .
故选：C
8．已知 分别是椭圆 的左、右焦点，过点 作x轴的垂线与椭圆C在第一象限
的交点为P，若 的平分线经过椭圆C的下顶点，则椭圆C的离心率的平方为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
设 ，将 代入椭圆方程，易得 ，
则 ．
记椭圆C的下顶点为 ，则 的斜率 ，
∴直线 的方程为 ，
令 得直线 与x轴的交点为 ，
则 ，
又 ，，即 ，
，得 （舍去负值），
．
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．用“五点法”作函数 （ ， ， ）在一个周期内的图象时，列表
计算了部分数据，下列有关函数 描述正确的是（ ）
0
x a b c
1 3 1 d 1
A．函数 的最小正周期是
B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 的图象关于直线 对称
D．函数 与 表示同一函数
【答案】ACD【解析】根据表格可知 ，且 ，则 ，
由正弦函数的周期性可知 的最小正周期为 ，故A正确；
由已知结合正弦函数的对称性可知：
，
显然 此时取得最小值，所以 的图象不关于点 对称，故B错误；
由已知结合正弦函数的对称性可知：
，此时 取得最大值，
所以 的图象关于直线 对称，故C正确；
由诱导公式可知 ，故D正确.
故选：ACD
10．若复数 ，则（ ）
A． 的共轭复数 B．
C．复数 的虚部为 D．复数 在复平面内对应的点在第四象限
【答案】ABD
【解析】 ，则 ，故 正确；
，故 正确；复数 的虚部为 ，故 错误；
复数 在复平面内对应的点为 ，在第四象限，故 正确.故选：ABD
11．已知函数 与其导函数 的定义域均为 ，且 和 都是奇函数，且 ，则
下列说法正确的有（ ）
A． 关于 对称 B． 关于 对称
C． 是周期函数 D．
【答案】ACD
【解析】因为 为奇函数，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 的图象关于直线 对称.故A正确；
因为 为奇函数，则其图象关于 对称，
向左平移一个单位后得到 的图象，
则 的图象关于 对称，故B错误；
因为 为奇函数，则 ，
则有 ，
所以 ①,
又 ，
则 ②,
由①② ，
则 ，
则 ， ，则 ，
所以8是函数 的一个周期.，
是周期函数，故C正确；
因为 ， ，
所以 ，
，
所以 ，
故D正确，
故选：ACD.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合 与集合 ，求集合
【答案】
【解析】由题意 ， ，所以 .
故答案为： .
13．已知抛物线 的焦点为 ，第一象限的 、 两点在抛物线上，且满足 ，
.若线段 中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 .
【答案】
【解析】设 ，因为 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为 都在第一象限，所以 ，
又因为 且 ，
所以 ，所以 ，所以抛物线方程为 ，
故答案为： .
14．如图，在棱长为2的正方体 中， 均为所在棱的中点，则下列结论正确的
序号是 ．
①棱 上一定存在点 ，使得 ；②三棱锥 的外接球的表面积为 ；
③过点 作正方体的截面，则截面面积为 ；
④设点 在平面 内，且 平面 ，则 与 所成角的余弦值的最大值为 ．
【答案】②③④
【解析】
对于①，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示空间直角坐标系，
则由已知， ， ，
设棱 上一点 ，则 ， ，
若 ，则 ，
整理得 ，即 ， 无实数解，
∴棱 上不存在点 ，使得 ，故①错误；
对于②，如图，分别取棱 ， ， ， 的中点 ， ， ， ，
由已知， ，易知棱柱 为长方体，其外接球的直径为 ，外接球表面积 ，
∵三棱锥 的顶点均在长方体 的外接球上，故该球也是三棱锥 的外接球，
∴三棱锥 的外接球的表面积为 ，故②正确；
对于③，如图所示，过点 作正方体的截面是边长为 的正六边形，其可分成六个全等的，边长为
的等边三角形，面积 ，故③正确；
对于④，由①中所建立空间直角坐标系， ， ， ， ， ，
， ，设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ， ，∴ ，
设平面 内一点 ，则 ，
∵ 平面 ，∴ ，即 ，
又∵ ，∴ 与 所成角的余弦值为 ，
其中， ，
∴ ，
即当且仅当 时， 与 所成角的余弦值的最大值为 ，故④正确.
故答案为：②③④.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数 在 时取得极值．
(1)求实数 的值；
(2)若对于任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）易知 ，
依题意 ，解得 ，
此时 ，
当 或 时， ；当 时， ，
即函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
因此函数 在 时取得极值，
所以 ．
（2）由（1）得函数 在 上单调递减，在 上单调递增；所以 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以 的取值范围为 ．
16．（15分）2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车
消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂
对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，
测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新
能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为 ，良好的概率为 ；在续航测试中结果为优秀的概率为 ，
良好的概率为 ，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为 .
(1)求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率；
(2)求离散型随机变量 的分布列与期望.
【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为
【解析】（1）记事件 为“该型号新能源汽车参加碰撞测试的得分为 分 ”，
则 ， ， .
记事件 为“该型号新能源汽车参加续航测试的得分为 分 ”，
则 ， ， .
记事件 为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格”，
则
，
则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率为 .
（2）由题知离散型随机变量 的所有可能取值分别为2，4，6，8，10，，
，
，
，
，
则离散型随机变量 的分布列为
2 4 6 8 10
所以数学期望 .
17．（15分）如图，直四棱柱 的底面为平行四边形， 分别为 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)若底面 为矩形， ，异面直线 与 所成角的余弦值为 ，求 到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析(2) .
【解析】（1）连接 ，交 于点 ，连接 ，则 为 的中点，
因为 为 的中点，所以 ，且 ，
因为 为 的中点，所以 ，
所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
又因为 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）由题意（1）及几何知识得，
在直四棱柱 中， ，
两两垂直，以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴､ 轴､ 轴建立如图所示的空间
直角坐标系. 资料来源：微信公众号 智慧学库设 ，则 ， ，
.
设异面直线 与 所成角为 ，则
，
解得： ，
故 ，
则
设平面 的一个法向量为 ，
到平面 的距离为 .
所以 即 取 ，
得 .
所以 ，
即 到平面 的距离为 .
18．（17分）已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆 上，过点 的两条直
线 ， 分别与椭圆 交于另一点A，B，且直线 ， ， 的斜率满足 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)证明直线 过定点；(3)椭圆C的焦点分别为 ， ，求凸四边形 面积的取值范围．
【答案】(1) (2)证明见解析(3)
【解析】（1）由题设得 ，解得 ，
所以 的方程为 ；
（2）由题意可设 ，设 ， ，
由 ，整理得 ，
．
由韦达定理得 ， ，
由 得 ，
即 ，
整理得 ，
因为 ，得 ，解得 或 ，
时，直线 过定点 ，不合题意，舍去；
时，满足 ，
所以直线 过定点 ．
（3））由（2）得直线 ，所以 ，由 ，
整理得 ， ，
由题意得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
令 ， ，
所以 ，在 上单调递减，
所以 的范围是 ．
19．（17分）已知 ， ，…， 是由 （ ）个整数 ， ，…， 按任意次序排列而成的数列，数
列 满足 （ ）.
（1）当 时，写出数列 和 ，使得 .
（2）证明：当 为正偶数时，不存在满足 （ ）的数列 .
（3）若 ， ，…， 是 ， ，…， 按从大到小的顺序排列而成的数列，写出 （ ），并用含 的式子表示 .
（参考： .）
【答案】（1） ， ， ； ， ， 或 ， ， ； ， ，
.（2）证明见解析（3） （ ）；
【解析】[解]（1） ， ， ； ， ， .
， ， ； ， ， .
[证明]（2）若 （ ），则有 ，于是 .
当 为正偶数时， 为大于1的正奇数，故 不为正整数.
因为 ， ，…， 均为正整数，所以不存在满足 （ ）的数列 .
[解]（3） （ ）.
因为 ，于是
.
