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6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(2) -A基础练
一、选择题
1．求是中学的教学楼共有5层，每层均有两个楼梯，某同学从一楼上到五楼可能的走法有
（ ）
A．10种 B．16种 C．25种 D．32种
【答案】B
【详解】走法共分四步：一层到二层2种，二层到三层2种，三层到四层2种，四层到五层2种，
一共 种.
2．（2021·北京朝阳区高二期末）一般地，一个程序模块由许多子模块组成，一个程序模块从开始
到结束的路线称为该程序模块的执行路径.如图是一个计算机程序模块，则该程序模块的不同的执
行路径的条数是（ ）
A．6 B．14 C．49 D．84
【答案】C
【详解】由分类加法计数原理，子模块1或子模块2或子模块3的子路径共有 条；
子模块4或子模块5中的子路径共有 条，由分步乘法计数原理，整个模块的不同执行路径
共有 条，故选：C
3．（2021·贵州高三开学考试）如图所示，A地到E地要铺设一条煤气管道，其中需经过三级中间
站，两点之间的连线上的数字表示距离.则从A地到E地铺设煤气管道最短距离是（ ）A．19 B．21 C．22 D．23
【答案】A
【详解】对各个路线进行计算可得，由 到 到 到 到 ，距离共19为最短距离.
4．（2021·全国高三专题练习）天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出
甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲
说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人
的名次排列顺序可能出现的种类有（ ）
A．54种 B．60种 C．72种 D．96种
【答案】A
【详解】由题意，甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，故先排乙，有3种情况，再
排甲，也有3种情况，余下3人有 种情况，利用分步相乘计数原理知有
种情况，故选：A.
5．（2021·湖北黄石市黄石二中高二期末）过三棱柱中任意两个顶点连线作直线，在所有这些直线
连线中构成异面直线的对数为（ ）
A．18 B．30 C．36 D．54
【答案】C
【详解】解：如图，分以下几类：
棱柱侧棱与底面边之间所构成的异面直线有： 对；
棱柱侧棱与侧面对角线之间所构成的异面直线有： 对；
底面边与侧面对角线之间所构成的异面直线有： 对；
底面边与底面边之间所构成的异面直线有： 对；侧面对角线与侧面对角线之间所构成的异面直线有： 对；
所以共有 对.故选：C.
6．（多选题）（2021·江苏苏州中学高二月考）现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、
丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工），且允许多人选择同一个工厂，则下列说法
正确的是（ ）
A．所有可能的方法有 种
B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种
D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
【答案】BCD
【详解】所有可能的方法有 种，A错误.对于B，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，
则去工厂甲的同学情况为3种，另外两名同学的安排方法有 种，此种情况共有
种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有3种，另外一名同学的排法有3种，此种
情况共有 种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则共有
种安排方法，B正确.对于C，若A必去甲工厂，则B，C两名同学各有4种安排，共有
种安排，C正确.对于D，若三名同学所选工厂各不同，则共有 种安排，D正确.二、填空题
7． 3科老师都布置了作业，在同一时刻4名学生都做作业的可能情况有_______种.
【答案】81
【详解】因为3科老师都布置了作业，在同一时刻每个学生做作业的情况有3种可能，
所以4名学生都做作业的可能情况3×3×3×3=81种．
8．（2021·全国高二课时练）假设今天是4月23日，某市未来六天的空气质量预报情况如图所示.
该市有甲、乙、丙三人计划在未来六天（4月24日～4月29日）内选择一天出游，甲只选择空气
质量为优的一天出游，乙不选择周一出游，丙不选择明天出游，且甲与乙不选择同一天出游，则这
三人出游的不同方法数为 ________.
未来空气质量预报
明天 后天 周日 周一 周二 周三
4月24日 4月25日 4月26日 4月27日 4月28日 4月29日
优 优 优 优 良 良
【答案】85
【详解】若甲选择周一出游，则三人出游的不同方法数 ；
若甲不选择周一出游，则三人出游的不同方法数 .
故这三人出游的不同方法数 .
9．（2021·广东深圳外国语学校高二期末）回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既
可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，
曾有一副有名的回文联:“客上天然居，居然天上客;人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一
类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为:“回文数”.如44，585，2662 等，那么用数字1，
2，3， 4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为_______.
【答案】
【详解】根据题意，分2种情况讨论：
①4位“回文数”中数字全部相同，有6种情况，即此时有6个4位“回文数”；
②4位“回文数”中有2个不同的数字，有 种情况，即此时有30个4位“回文数”；则一共有 个4位“回文数”．
10．（2021·湖北高三期中）5400的正约数有______个
【答案】48
【详解】 ，5400的正约数一定是由2的幂与3的幂和5的幂相乘的结果，
所以正约数个数为 ．
三、解答题
11．现某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人,高三年级9
人.
(1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？
(2)每个年级选一名组长，有多少种不同的选法？
(3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？
【详解】（1）根据题意，选其中一人为负责人，有3种情况，
若选出的是高一学生，有13种情况，
若选出的是高二学生，有12种情况，
若选出的是高三学生，有9种情况，
由分类计数原理可得，共有12+13+9＝34种选法．
（2）根据题意，从高一学生中选出1人，有13种情况；
从高二学生中选出1人，有12种情况；
从高三学生中选出1人，有9种情况；
由分步计数原理，可得共有12×13×9＝1404种选法．
（3）根据题意，分三种情况讨论：
若选出的是高一、高二学生，有12×13＝156种情况，
若选出的是高一、高三学生，有13×9＝117种情况，
若选出的是高二、高三学生，有12×9＝108种情况，
由分类计数原理可得，共有156+117+108＝381种选法．
12．（2021·四川省眉山高二期末）数学上的“四色问题”，是指“任何一张地图只用四种颜色就
能使具有公共边界的国家着上不同的颜色。”，现有五种颜色供选择，涂色我国西部五省，要求每
省涂一色，相邻各省不同色，有多少种涂色方法．【详解】对于新疆有5种涂色的方法，
对于青海有4种涂色方法，
对于西藏有3种涂色方法，
对于四川：若与新疆颜色相同，则有1种涂色方法，此时甘肃有3种涂色方法；
若四川与新疆颜色不相同，则四川只有2种涂色方法，此时甘肃有2种涂色方法；
根据分步、分类计数原理，则共有5×4×3×（2×2+1×3）＝420种方法．
