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第六章 平面向量及其应用
6.2.3向量的数乘运算
一、基础巩固
1．在 中， ，且 ， ， 分别为 ， 的中点，若 ， ，
则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
如图，由题得 .
2．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
，
3．如图，四面体S-ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE，则 =（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
四面体S-ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE，
∴ = = = + =
.4．如图，在梯形 中， ， ， 为线段 的中点，且 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
解：由题意，根据向量的运算法则，可得
，
5．若点M是 的重心，则下列各向量中与 共线的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
，不与 共线，不与 共线
因为点M是 的重心，所以 ， ，
所以 ，与 共线
，不与 共线
故选：C
6．已知 是 的重心，且 ，则实数 ( )
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】C
【详解】
因为 是 的重心，所以 ，解得 .
7．在 中，若 ，则点G是 的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【答案】D
【详解】
因为 ，
所以 ，
化简得 ，
故点G为三角形ABC的重心
8．已知点O，N在 所在的平面内，且 ， ，则点O，N依次是的（ ）
A．重心、垂心 B．外心、垂心
C．外心、重心 D．外心、内心
【答案】C
【详解】
因为 ，
所以点O到三角形的三个顶点的距离相等，
所以O为 的外心；
由 ，得 ，
由中线的性质可知点N在AB边的中线上，
同理可得点N在其他边的中线上，
所以点N为 的重心.
9．（多选）若 是直线 上的一个单位向量，这条直线上的向量 ， ，则下列说法正确的
是（ ）
A． B．
C． 的坐标为0 D．
【答案】BD
【详解】
因为 ， ，所以 ， ， ，， ，
， 的坐标为 .
10．（多选）若点D，E，F分别为 的边BC，CA，AB的中点，且 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】
如图，
在 中， ，故A正确；
，故B正确；
， ，故C正确；
，故D不正确．
11．（多选）下列关于平面向量的说法中不正确的是（ ）
A．已知 ， 均为非零向量，则 存在唯-的实数 ，使得
B．若向量 ， 共线，则点 ， ， ， 必在同一直线上
C．若 且 ，则
D．若点 为 的重心，则【答案】BC
【详解】
对于选项A，由平面向量平行的推论可得其正确；
对于选项B，向量 ， 共线，只需两向量方向相同或相反即可，点 ， ， ， 不必在同一直
线上，故B错误；
对于选项C， ，则 ，不一定推出 ，故C错误；
对于选项D，由平面向量中三角形重心的推论可得其正确.
12．（多选）如图，B是 的中点， ，P是平行四边形 内（含边界）的一点，且
，则下列结论正确的为（ ）
A．当 时，
B．当P是线段 的中点时， ，
C．若 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
D． 的最大值为
【答案】BCD
【详解】
当 时， ，则 在线段 上，故 ，故A错当 是线段 的中点时，
，故B对
为定值1时， ， ， 三点共线，又 是平行四边形 内（含边界）的一点，故 的轨迹
是线段，故C对
如图，过 作 ，交 于 ，作 ，交 的延长线于 ，则： ；
又 ； ， ；
由图形看出，当 与 重合时： ；
此时 取最大值0， 取最小值1；所以 取最大值 ，故D正确
二、拓展提升
13．已知直线上向量 的坐标为 的坐标为5，求下列向量的坐标：
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】（1）3 （2）1 （3）-11
【详解】
解：（1） 的坐标为 .（2） 的坐标为 .
（3） 的坐标为 .
14．化简：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【详解】
（1）原式 ；
（2）原式 ；
（3）原式 ．
15．已知单位向量 的夹角 ，向量 .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求向量 的夹角.
【答案】（1） ；（2） .
【详解】
（1）根据题意，向量 ，
若 ，设 ，则有 ，
则有 ，解可得 ；
（2）根据题意，设向量 的夹角为 ；
若 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，则 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
又由 ，所以 ；
故向量 的夹角为 ．
