文档内容
6.3.1 二项式定理 -B提高练
一、选择题
1．（2021·四川南充高二期末）在 的展开式中.常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】：二项式 展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，所以 ，故选：B
2．（2021·深圳市龙岗区龙城高级中学）已知 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ，则其展开式的通项为： ，
当 时， ，所以 ．
3．（2021·福建三明市高二期末） 的展开式中常数项是（ ）
A．-252 B．-220 C．220 D．252
【答案】A【详解】由 ，可得二项式 的展开式通项为
，
令 ，解得 ，所以展开式的常数项为 .
4．（2021·江西吉安高二期末） 展开式中 项的系数为160，则 （ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【详解】二项式 展开式的通项为 ，
令 可得二项式 展开式中 的系数为 ，
∴ 展开式中 的系数为 ，
可得 ，解得 ，故选：C．
5. （多选题）（2021·全国高二专题练）若 的展开式中有且仅有三个有理项，则正
整数 的取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】 的通项公式是
设其有理项为第 ，则 的乘方指数为 ，
依题意 为整数，注意到 ，对照选择项知 、 、 ，逐一检验： 时， 、 ，不满足条件；
时， 、 、 ，成立；
时， 、 、 ，成立，故选：BD.
6．（多选题）（2021·重庆西南大学附中高二期末） 的展开式中（ ）
A． 的系数为40 B． 的系数为32
C．常数项为16 D．常数项为8
【答案】AC
【详解】 ，展开式中 的系数分为两部分，一部分是
中含 的系数 ，另一部分是 中含 项的系数 ，所以含 的
系数是 ，故A正确；展开式中常数项只有 展开式的常数项 ，故C正确.
二、填空题
7．（2021·江苏省新海高级中学高二期末） 的展开式中 的系数为 ，则
________．
【答案】
【详解】解：由二项式定理展开式的通项公式得
，
令 ，解得 ，
所以展开式中 项为 ，其系数为 ，解得 .
8．（2021·全国高二课时练）在 的展开式中， 的系数为__________．【答案】60
【解析】 , 而在 中 ，
， ，则 ， 的系数为60.
9．（2021·湖南师大附中高二期末）已知二项式 ( 且 )展开式的第 项是常
数项，则 的值是__________-
【答案】
【详解】 ，由 得 ．
10．（2021·全国高二课时练）若 的展开式中 项的系数为20，则 的最小值
_______
【答案】
【解析】 展开式的通项为 ，令 得
，所以，由 得 ，从而 ，当且仅当 时，
的最小值为 .
三、解答题
11．（2021·全国高二单元测）已知在 的展开式中，第9项为常数项．求：
（1）n的值；
（2）展开式中x5的系数；
（3）含x的整数次幂的项的个数．
【详解】
二项展开式的通项T = =(-1)k ．
k+1（1）因为第9项为常数项，即当k=8时，2n- k=0，解得n=10．
（2）令2n- k=5，得k= (2n-5)=6，
所以x5的系数为(-1)6 ．
（3）要使2n- k，即 为整数，只需k为偶数，由于k=0，1，2，3，…，9，10，
故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．
12.（2021·上海市嘉定区封浜高级中学高二期末）已知 的二项展开式中，第三项的
系数为7.
（1）求证：前三项系数成等差数列；
（2）求出展开式中所有有理项（即 的指数为整数的项）.
【详解】（1）
∵ ，（负值舍去）
所以前三项分别为 ， ，
所以前三项系数分别为1，4，7，前三项系数成等差数列.
（2） ，
∴ ，展开式中 的指数为整数，
所以展开式中所有有理项为：
、 、 .
