函数的旋转、两函数的对称问题与不动点问题（学生版）(1)_2024年4月_01按日期_6号_2024届新结构高考数学合集_新高考19题（九省联考模式）数学合集140套

函数的旋转、两函数的对称问题与不动点问题 【方法技巧与总结】 1. 不动点与稳定点 【一阶不动点】对于函数y=f(x)，定义域为I，如果存在x ∈I，使得f(x )=x ，则称x 是函数f(x)的一阶不 0 0 0 0 动点，简称不动点． ①不动点是方程x=f(x)的解 ②不动点是y=x与y=f(x)图像交点的横坐标 【二阶周期点】对于函数y=f(x)，定义域为I，如果存在x ∈I，使得f(f(x ))=x 且f(x )≠x ，则称x 为函 0 0 0 0 0 0 数f(x)的二阶周期点 y=f(x)  ①二阶周期点是方程组x=f(y)的解 x≠y ②二阶周期点是y=f(x)图像上关于y=x对称(不在y=x上)的两点的横坐标 【二阶不动点】对于函数y=f(x)，定义域为I，如果存在x ∈I，使得f(f(x ))=x 则称x 为函数f(x)的二阶 0 0 0 0 不动点，简称稳定点 ①稳定点是不动点和二阶周期点的并集 ②稳定点是y=f(x)图像上关于y=x对称的两点的横坐标以及y=f(x)与y=x的交点的横坐标 2. 两函数的对称问题转化为函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)问题，常用的方法： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用 数形结合的方法求解 【典型例题】 1 (2024·山东青岛·高三统考开学考试)将函数y= 13-x2-2(x∈[-3,3])的图象绕点(-3,0)逆时针旋 转α(0≤α≤θ)，得到曲线C，对于每一个旋转角α，曲线C都是一个函数的图象，则θ最大时的正切值为 ( ) 3 2 A. B. C.1 D. 3 2 3 2 (2024·山东潍坊·高三统考阶段练习)已知函数fx 1  =lnx+1  x≥0  ，将函数fx  的图象绕原点逆时 针旋转α α∈0,θ    角后得到曲线C，若曲线C仍是某个函数的图象，则θ的最大值为 ( ) π π π π A. B. C. D. 6 4 3 2 3 (2024·江西·校联考模拟预测)已知函数f(x)=ax-ex与函数g(x)=xlnx+1的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数a的取值范围为 ( ) e-1 A.(e-1,+∞) B.  ,+∞ 2  C.   e-1 ,+∞  2  D.(-∞,e-1) 4 (2024·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考期末)已知函数fx  =ax-xlnx与函数gx  =ex-1 的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为 ( )A. -∞,1-e 2  1-e B. -∞, 2  C. -∞,1-e  1-e D. -∞, 2  5 (2024·全国·高三专题练习)对于连续函数 fx  ，若 fx 0  =x 0 ，则称x 0 为 fx  的不动点．设 fx  = x ax+2  ，若fx  有唯一不动点，且fx 0  1 = 1012 ，x n =fx n-1  n=1,2,⋯  ，则x = ． 2023 6 (2024·北京海淀·清华附中校考模拟预测)对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x 0 ，使得fx 0  =x 0 ，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称x 0 为该函数的一个不动点，现新定义：若x 0 满足fx 0  = -x 0 ，则称x 0 为fx 0  的次不动点，有下面四个结论 ①定义在R上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点 ②定义在R上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点 3 ③当1≤a≤ 2 时，函数f(x)=log 24x-a⋅2x+1  在[0,1]上仅有一个不动点和一个次不动点． 1 ④不存在正整数m，使得函数f(x)= ex- x-m在区间[0,1]上存在不动点，其中，正确结论的序号为 2 ． 7 (2024·广东揭阳·高三校考阶段练习)拓扑空间中满足一定条件的图象连续的函数f(x)，如果存在点x ， 0 使得fx 0  =x ，那么我们称函数f(x)为“不动点”函数，而称x 为该函数的不动点．类比给出新定义：若 0 0 不动点x 0 满足f x 0  =x ，则称x 为f(x)的双重不动点．则下列函数中，①f(x)=x3-xsinx；②f(x)=ex 0 0 1 ex+e-x - ；③f(x)= -1具有双重不动点的函数为 ．(将你认为正确的函数的代号填在横线上) x 2 【过关测试】 一、单选题 1. (2024·安徽池州·高三统考期末)设D是含数1的有限实数集，f(x)是定义在D上的函数，若f(x)的图象绕 π 原点逆时针旋转 后与原图象重合，则在以下各项中f(1)的取值只可能是 3 3 A. 3 B.1 C. D.0 3 2. (2024·贵州贵阳·高一贵阳一中校考阶段练习)设D是含数3的有限实数集，fx  是定义在D上的函数，若 fx  的图象绕原点逆时针旋转45°后与原图象重合，则在以下各项中，f3  的可能取值只能是 ( ) A. 3 B.3 C.-3 D.0 3. (2024·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试)2021年第十届中国花卉博览会举办在即，其中，以 “蝶恋花”为造型的世纪馆引人瞩目(如图①)，而美妙的蝴蝶轮廓不仅带来生活中的赏心悦目，也展示了极 致的数学美学世界.数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：    如图②，平面上有两定点O､A，两动点B､Q，且|OA|=|OB|=1,OA绕点O逆时针旋转到OB所形成的 角记为θ，设函数fθ 3  =4⋅signθ  ⋅cosθ-sin5θ-π≤θ≤π  ，其中signx  1x>0  =0x=0, 令ρ=fθ -1x<0  ，作   OQ=ρOB，随着θ的变化，就得到了点Q的轨迹，其形似“蝴蝶”，则以下4幅图中，点Q的轨迹(考虑蝴蝶 的朝向)最有可能为 ( ) A. B. C. D.4. (2024·陕西榆林·高三校考阶段练习)已知函数fx 4  =x2-m与函数g(x)=ln 1 -x,x∈  1 ,2 x  2  的图像上恰 有两对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是 ( ) A. 0,2-ln2  1 B. 0,- +ln2 4  C.  - 1 +ln2,2-ln2  4  1 D. - +ln2,ln2 4  5. (2024·贵州六盘水·高三校考期末)已知函数f(x)=-x3+ax∈  1 ,e  e  (e是自然对数的底数)与g(x)=3lnx 的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是 ( )  1 A. 0, +2  e3  B. 0,e3-4  C. 1,e3-3  D. e3-4,+∞  , 6. (2024·贵州贵阳·高三贵阳一中阶段练习)若函数y=x3-x2-1-a，((x∈  1 ,e  e  ，e为自然对数的底数)与 y=x2-3lnx的图象上存在两组关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是 1 A. 0, +2 e3  B. 0,e3-4  1 C.  +2,e3-4 e3  1 D.  +2,+∞ e3  1 7. (2024·湖北·校联考二模)已知函数f(x)=a-x2( ≤x≤e,e为自然对数的底数)与g(x)=2lnx的图象上 e 存在两组关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是 ( ) A. 1,e2-2  1 B. 1, +2 e2  1 C.  +2,e2-2 e2  D.   1 +2,e2-2 e2  8. (2024·全国·高三专题练习)函数y=fx  定义在R上，已知y=f(x)的图象绕原点旋转90°后不变，则关于 方程fx  =x的根，下列说法正确的是 ( ) A.没有实根 B.有且仅有一个实根 C.有两个实根 D.有两个以上的实根 9. (2024·河南·高三校联考阶段练习)已知函数fx  =x2+m与函数gx  =-ln 1 -3x x∈  1 ,2 x  2    的图象上 至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是 ( ) A.   5 +ln2,2  4  B.  2-ln2, 5 +ln2  4  C.   5 +ln2,2+ln2  4  D. 2-ln2,2  10.(2024·青海海南·高三校联考期末)已知函数fx  =ln-x  与函数gx  =ex-e-1  x-a的图象上存在关 于y轴对称的点，则实数a的取值范围为 ( ) A. 0,e  B. 1,+∞  C. e,+∞  1 D.  ,+∞ e  1 11.(2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=ex- (x<0)与g(x)=ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称 2 的点，则实数a的取值范围是 ( ) 1 A. -∞, e  B. 0, e  1 C. - , e e  1 D. - e, e  12.(2024·湖北·高三校联考阶段练习)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定 理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊 兹·布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个实数x 0 ，使得fx 0  =x ，那么我 0们称该函数为“不动点”函数，x 为函数的不动点.设函数f(x)=ex-1+e1-x+x2-x+a，a∈R.若f(x)在区 0 间(0,3)上存在不动点，则a的取值范围是 ( ) A. -e2-e-2-3,-1 5  B. -e2-e-2,-1  C. -e2-e-2-7,-e-e-1  D. -e2-e-2-5,-e-e-1  13.(2024·山东菏泽·统考一模)定义在实数集R上的函数y=fx  ，如果∃x 0 ∈R，使得fx 0  =x ，则称x 为函 0 0 数fx  的不动点.给定函数fx  =cosx，gx  =sinx，已知函数fx  ，f gx    ，g fx    在0,1  上均存在 唯一不动点，分别记为x,x ,x ，则 ( ) 1 2 3 A.x >x>x B.x >x >x C.x >x>x D.x >x >x 3 1 2 2 3 1 2 1 3 3 2 1 14.(2024·河南开封·统考一模)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可 应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数 fx  ，存在点x 0 ，使得fx 0  =x 0 ，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数fx  =xaex-lnx  为“不动 点”函数，则实数a的取值范围是 ( ) A. -∞,0  1 B. -∞, e  C. -∞,1  D. -∞,e  15.(2024·全国·高三专题练习)对于函数fx  ，若fx  =x，则称x为fx  的“不动点”，若f fx    =x，则称x 为fx  的“稳定点”，记A= x fx    =x  ，B= x f fx      =x  ，则下列说法错误的是 ( ) A.对于函数fx  =x，有A=B成立 B.若fx  是二次函数，且A是空集，则B为空集 C.对于函数fx  1 = 2  x ，有A=B成立 D.对于函数fx  b = ，存在b∈0,+∞ x  ，使得A=B成立 16.(2024·全国·高三专题练习)对于函数fx  ，若fx 0  =x 0 ，则称x 0 为函数fx  的“不动点”；若f fx 0    =x ， 0 则称x 0 为函数fx  的“稳定点”．如果函数fx  =x2+aa∈R  的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数 a的取值范围是 ( ) 1 A. -∞， 4  3 B. - ，+∞ 4  3 1 C. - ， 4 4  D.  - 3 ， 1  4 4  17.(2024·全国·高三专题练习)若存在一个实数t，使得Ft  =t成立，则称t为函数Fx  的一个不动点.设函 数gx  =ex+1- e  x-a(a∈R,e为自然对数的底数)，定义在R上的连续函数fx  满足f-x  +fx  =x2，且当x≤0时，f'x  0 x ③fx  =x2-x+3 ④fx  =log x 1 2