函数的旋转、两函数的对称问题与不动点问题（学生版）(1)_2024年4月_01按日期_6号_2024届新结构高考数学合集_新高考19题（九省联考模式）数学合集140套

函数的旋转、两函数的对称问题与不动点问题
【方法技巧与总结】
1. 不动点与稳定点
【一阶不动点】对于函数y=f(x)，定义域为I，如果存在x ∈I，使得f(x )=x ，则称x 是函数f(x)的一阶不
0 0 0 0
动点，简称不动点．
①不动点是方程x=f(x)的解
②不动点是y=x与y=f(x)图像交点的横坐标
【二阶周期点】对于函数y=f(x)，定义域为I，如果存在x ∈I，使得f(f(x ))=x 且f(x )≠x ，则称x 为函
0 0 0 0 0 0
数f(x)的二阶周期点
y=f(x)

①二阶周期点是方程组x=f(y)的解
x≠y
②二阶周期点是y=f(x)图像上关于y=x对称(不在y=x上)的两点的横坐标
【二阶不动点】对于函数y=f(x)，定义域为I，如果存在x ∈I，使得f(f(x ))=x 则称x 为函数f(x)的二阶
0 0 0 0
不动点，简称稳定点
①稳定点是不动点和二阶周期点的并集
②稳定点是y=f(x)图像上关于y=x对称的两点的横坐标以及y=f(x)与y=x的交点的横坐标
2. 两函数的对称问题转化为函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)问题，常用的方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用
数形结合的方法求解
【典型例题】
1 (2024·山东青岛·高三统考开学考试)将函数y= 13-x2-2(x∈[-3,3])的图象绕点(-3,0)逆时针旋
转α(0≤α≤θ)，得到曲线C，对于每一个旋转角α，曲线C都是一个函数的图象，则θ最大时的正切值为
( )
3 2
A. B. C.1 D. 3
2 3
2 (2024·山东潍坊·高三统考阶段练习)已知函数fx
1
 =lnx+1  x≥0  ，将函数fx  的图象绕原点逆时
针旋转α α∈0,θ    角后得到曲线C，若曲线C仍是某个函数的图象，则θ的最大值为 ( )
π π π π
A. B. C. D.
6 4 3 2
3 (2024·江西·校联考模拟预测)已知函数f(x)=ax-ex与函数g(x)=xlnx+1的图像上恰有两对关于x
轴对称的点，则实数a的取值范围为 ( )
e-1 A.(e-1,+∞) B.  ,+∞
2
 C.   e-1 ,+∞
 2
 D.(-∞,e-1)
4 (2024·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考期末)已知函数fx  =ax-xlnx与函数gx  =ex-1
的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为 ( )A. -∞,1-e
2
 1-e B. -∞,
2
 C. -∞,1-e  1-e D. -∞,
2

5 (2024·全国·高三专题练习)对于连续函数 fx  ，若 fx 0  =x 0 ，则称x 0 为 fx  的不动点．设 fx  =
x
ax+2  ，若fx  有唯一不动点，且fx 0 
1
= 1012 ，x n =fx n-1  n=1,2,⋯  ，则x = ． 2023
6 (2024·北京海淀·清华附中校考模拟预测)对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x 0 ，使得fx 0 
=x 0 ，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称x 0 为该函数的一个不动点，现新定义：若x 0 满足fx 0  =
-x 0 ，则称x 0 为fx 0  的次不动点，有下面四个结论
①定义在R上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点
②定义在R上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点
3
③当1≤a≤
2
时，函数f(x)=log 24x-a⋅2x+1  在[0,1]上仅有一个不动点和一个次不动点．
1
④不存在正整数m，使得函数f(x)= ex- x-m在区间[0,1]上存在不动点，其中，正确结论的序号为
2
．
7 (2024·广东揭阳·高三校考阶段练习)拓扑空间中满足一定条件的图象连续的函数f(x)，如果存在点x ，
0
使得fx 0  =x ，那么我们称函数f(x)为“不动点”函数，而称x 为该函数的不动点．类比给出新定义：若 0 0
不动点x 0 满足f x 0  =x ，则称x 为f(x)的双重不动点．则下列函数中，①f(x)=x3-xsinx；②f(x)=ex 0 0
1 ex+e-x
- ；③f(x)= -1具有双重不动点的函数为 ．(将你认为正确的函数的代号填在横线上)
x 2
【过关测试】
一、单选题
1. (2024·安徽池州·高三统考期末)设D是含数1的有限实数集，f(x)是定义在D上的函数，若f(x)的图象绕
π
原点逆时针旋转 后与原图象重合，则在以下各项中f(1)的取值只可能是
3
3
A. 3 B.1 C. D.0
3
2. (2024·贵州贵阳·高一贵阳一中校考阶段练习)设D是含数3的有限实数集，fx  是定义在D上的函数，若
fx  的图象绕原点逆时针旋转45°后与原图象重合，则在以下各项中，f3  的可能取值只能是 ( )
A. 3 B.3 C.-3 D.0
3. (2024·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试)2021年第十届中国花卉博览会举办在即，其中，以
“蝶恋花”为造型的世纪馆引人瞩目(如图①)，而美妙的蝴蝶轮廓不仅带来生活中的赏心悦目，也展示了极
致的数学美学世界.数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：   
如图②，平面上有两定点O､A，两动点B､Q，且|OA|=|OB|=1,OA绕点O逆时针旋转到OB所形成的
角记为θ，设函数fθ
3
 =4⋅signθ  ⋅cosθ-sin5θ-π≤θ≤π  ，其中signx 
1x>0

=0x=0, 令ρ=fθ
-1x<0
 ，作
 
OQ=ρOB，随着θ的变化，就得到了点Q的轨迹，其形似“蝴蝶”，则以下4幅图中，点Q的轨迹(考虑蝴蝶
的朝向)最有可能为 ( )
A. B.
C. D.4. (2024·陕西榆林·高三校考阶段练习)已知函数fx
4
 =x2-m与函数g(x)=ln 1 -x,x∈  1 ,2
x  2
 的图像上恰
有两对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是 ( )
A. 0,2-ln2  1 B. 0,- +ln2
4

C.  - 1 +ln2,2-ln2
 4
 1 D. - +ln2,ln2
4

5. (2024·贵州六盘水·高三校考期末)已知函数f(x)=-x3+ax∈  1 ,e
 e
 (e是自然对数的底数)与g(x)=3lnx
的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是 ( )
 1 A. 0, +2
 e3
 B. 0,e3-4  C. 1,e3-3  D. e3-4,+∞  ,
6. (2024·贵州贵阳·高三贵阳一中阶段练习)若函数y=x3-x2-1-a，((x∈  1 ,e
 e
 ，e为自然对数的底数)与
y=x2-3lnx的图象上存在两组关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是
1 A. 0, +2
e3
 B. 0,e3-4  1 C.  +2,e3-4
e3
 1 D.  +2,+∞
e3

1
7. (2024·湖北·校联考二模)已知函数f(x)=a-x2( ≤x≤e,e为自然对数的底数)与g(x)=2lnx的图象上
e
存在两组关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是 ( )
A. 1,e2-2  1 B. 1, +2
e2
 1 C.  +2,e2-2
e2
 D.   1 +2,e2-2
e2

8. (2024·全国·高三专题练习)函数y=fx  定义在R上，已知y=f(x)的图象绕原点旋转90°后不变，则关于
方程fx  =x的根，下列说法正确的是 ( )
A.没有实根 B.有且仅有一个实根 C.有两个实根 D.有两个以上的实根
9. (2024·河南·高三校联考阶段练习)已知函数fx  =x2+m与函数gx  =-ln 1 -3x x∈  1 ,2
x  2
   的图象上
至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是 ( )
A.   5 +ln2,2
 4
 B.  2-ln2, 5 +ln2
 4
 C.   5 +ln2,2+ln2
 4
 D. 2-ln2,2 
10.(2024·青海海南·高三校联考期末)已知函数fx  =ln-x  与函数gx  =ex-e-1  x-a的图象上存在关
于y轴对称的点，则实数a的取值范围为 ( )
A. 0,e  B. 1,+∞  C. e,+∞ 
1
D.  ,+∞
e

1
11.(2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=ex- (x<0)与g(x)=ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称
2
的点，则实数a的取值范围是 ( )
1
A. -∞,
e
 B. 0, e 
1
C. - , e
e

1
D. - e,
e

12.(2024·湖北·高三校联考阶段练习)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定
理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊
兹·布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个实数x 0 ，使得fx 0  =x ，那么我 0们称该函数为“不动点”函数，x 为函数的不动点.设函数f(x)=ex-1+e1-x+x2-x+a，a∈R.若f(x)在区
0
间(0,3)上存在不动点，则a的取值范围是 ( )
A. -e2-e-2-3,-1
5
 B. -e2-e-2,-1 
C. -e2-e-2-7,-e-e-1  D. -e2-e-2-5,-e-e-1 
13.(2024·山东菏泽·统考一模)定义在实数集R上的函数y=fx  ，如果∃x 0 ∈R，使得fx 0  =x ，则称x 为函 0 0
数fx  的不动点.给定函数fx  =cosx，gx  =sinx，已知函数fx  ，f gx    ，g fx    在0,1  上均存在
唯一不动点，分别记为x,x ,x ，则 ( )
1 2 3
A.x >x>x B.x >x >x C.x >x>x D.x >x >x
3 1 2 2 3 1 2 1 3 3 2 1
14.(2024·河南开封·统考一模)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可
应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数
fx  ，存在点x 0 ，使得fx 0  =x 0 ，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数fx  =xaex-lnx  为“不动
点”函数，则实数a的取值范围是 ( )
A. -∞,0  1 B. -∞,
e
 C. -∞,1  D. -∞,e 
15.(2024·全国·高三专题练习)对于函数fx  ，若fx  =x，则称x为fx  的“不动点”，若f fx    =x，则称x
为fx  的“稳定点”，记A= x fx    =x  ，B= x f fx      =x  ，则下列说法错误的是 ( )
A.对于函数fx  =x，有A=B成立
B.若fx  是二次函数，且A是空集，则B为空集
C.对于函数fx 
1
=
2

x
，有A=B成立
D.对于函数fx 
b
= ，存在b∈0,+∞
x
 ，使得A=B成立
16.(2024·全国·高三专题练习)对于函数fx  ，若fx 0  =x 0 ，则称x 0 为函数fx  的“不动点”；若f fx 0    =x ， 0
则称x 0 为函数fx  的“稳定点”．如果函数fx  =x2+aa∈R  的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数
a的取值范围是 ( )
1 A. -∞，
4
 3 B. - ，+∞
4
 3 1 C. - ，
4 4
 D.  - 3 ， 1
 4 4

17.(2024·全国·高三专题练习)若存在一个实数t，使得Ft  =t成立，则称t为函数Fx  的一个不动点.设函
数gx  =ex+1- e  x-a(a∈R,e为自然对数的底数)，定义在R上的连续函数fx  满足f-x  +fx 
=x2，且当x≤0时，f'x  <x.若存在x 0 ∈ x fx 
1
+ ≥f1-x 2    +x   ，且x 0 为函数gx  的一个不动点，
则实数a的取值范围为 ( )
e A. -∞,
2
  e B.  ,+∞
 2
 e C.  , e
2
 e D.  ,+∞
2

二、多选题
18.(2024·安徽六安·高三六安一中校考期末)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动
点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一
个点x 0 ，使得fx 0  =x ，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称x 为该函数的一个不动点，依据不动点 0 0
理论，下列说法正确的是 ( )
A.函数f(x)=sinx有3个不动点B.函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)至多有两个不动点
C.若函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)没有不动点，则方程f(f(x))=x无实根
D.设函数f(x)= ex+x-a(a∈R，e为自然对数的底数)，若曲线y=sinx上存在点(x ,y )使f(f(y ))=
0 0 0
y 0 成立，则a的取值范围是1,e
6

19.(2024·全国·高三专题练习)将函数hx  =ex x≥0  的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ θ∈0,π    ，得
到曲线C，若曲线C仍然是一个函数的图像，则θ的可能取值为 ( )
π π 3π
A. B. C. D.π
4 2 4
20.(2024·新疆克孜勒苏·高三统考期末)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不
动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲，就是对于满足一定
条件的连续函数fx  ，存在一个点x 0 ，使得fx 0  =x ，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不 0
动点”函数的是 ( )
A. fx  =x2-x-3 B. fx  =2x+x C. fx 
1
=x2+2 D. fx  =log 2 x  -1
21.(2024·广东珠海·高三校考期末)布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷
兰数学家布鲁伊·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数fx  ，存在一个定点x 0 ，使得fx 0 
=x ，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称x 为该函数的不动点，则下列说法中正确的有 ( )
0 0
A.函数fx  =lnx+1  是“不动点”函数 B.函数fx  =x2-x-3的不动点为-1和3
C.函数fx  =ex+x的导函数是“不动点”函数 D.函数fx  =ex+x的导函数不是“不动点”函数
22.(2024·全国·高三专题练习)(多选)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动
点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲，就是对于满足一定条
件的连续函数fx  ，存在一个点x 0 ，使得fx 0  =x ，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动 0
点”函数的是 ( )
A. fx  =2x+x B. fx  =x2-x-3 C. fx 
1
= +1 D. fx x2  =log 2 x  -1
三、填空题
1
23.(2024·全国·高三专题练习)设函数y= x-1
2

1
+ x-2
2
 +1．
(1)该函数的最小值为 ；
π
(2)将该函数的图象绕原点顺时针方向旋转角θ0≤θ≤
2
 得到曲线C．若对于每一个旋转角θ，曲线C
都是一个函数的图象，则θ的取值范围是 ．
1
24.(2024·浙江温州·统考一模)将函数y= x-1
2

1
+ x-2
2
 +1的图像绕原点顺时针方向旋转角
π
θ0≤θ≤
2
 得到曲线C.若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图像，则θ的取值范围是
.
25.(2024·四川攀枝花·高一统考期末)已知函数f(x)=ex-2(x<0)与g(x)=ln(x+a)的图象上存在关于y轴
对称的点，则实数a的取值范围是 ．
26.(2024·全国·高三专题练习)曲线y=lnx绕坐标原点逆时针旋转90°后得到的曲线的方程为 ．
27.(2024·宁夏银川·高三校考阶段练习)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学(一个数学分支)里一个非常重要的定理，简单的讲就是对于满足一定条件的图象为连续不断的函数fx
7
 ，存在一个点x 0 ，使得fx 0  =
x ，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的有 (填写序号)
0
①fx  =x+1
②fx 
1
= -x,x>0
x
③fx  =x2-x+3
④fx  =log x
1
2