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6.3 二项式定理（精讲）
思维导图常见考法
考法一 二项式定理展开式
【例1】(1)求 的展开式为 ．
（2）（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）已知 ，则
的值为
【答案】（1）＋＋54＋108x＋81x2
【解析】（1）方法一 4＝(3)4＋C(3)3·＋C(3)22＋C(3)3＋C4＝81x2＋108x＋54＋＋.
方法二 4＝4＝(1＋3x)4＝·[1＋C·3x＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4]＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋
54＋108x＋81x2.
（2）由 得
则
，即 ，解得 .【一隅三反】
1．（2021·全国课时练习）化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是(
)
A．(2x+2)5 B．2x5
C．(2x-1)5 D．32x5
【答案】D
【解析】依题意可知，多项式的每一项都可看作 ，故为 的展开式，化简
.故选D.
2．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中）化简：
_________.
【答案】
【解析】
则
所以 故答案为： .
考法二 二项式指定项的系数与二项式系数
【例2】（1）（2020·全国高二单元测试）在(x- )10的展开式中，x6的系数是
（2）（2020·广东佛山市·高二期末）二项式 的展开式中常数项是______（用数字作答）
（3）（2020·安徽省蚌埠第三中学高二月考） 的有理项共有 项
【答案】（1）9 （2）70（3）6
【解析】（1）由T = x10-k(- )k，令10-k=6，解得k=4，∴系数为(- )4 =9
k+1（2）二项式 的展开式的通项公式 ，令 ，得 ,则常数项
为 ，故答案为：70
（3） 的通项公式为： ，
，
，
，
所以有理项共有6项，故选：C
【一隅三反】
1．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）二项式 的展开式中的常数项是_______.（用数字作
答）
【答案】60
【解析】有题意可得，二项式展开式的通项为：
令 可得 ，此时 .
2.（2021·上海青浦区）在 二项展开式中，常数项是_______.
【答案】60
【解析】展开式的通项公式是 ，当 时，
.故答案为603.．（2020·青海西宁市）若 的展开式中 的系数为7，则实数 =______.
【答案】
【解析】根据二项展开式的通项公式可得： ，
令 ，可得 ， ，解得： ，故答案为：
4．（2020·梁河县）已知 的展开式的常数项是第7项，则 ________.
【答案】8
【解析】根据题意，可知第7项为 ，而常数项是第7项，则
，故 .故答案为：8.
考法三 多项式系数或二项式系数
【例3】（1）（2020·福建三明市·高二期末） 的展开式中常数项是（ ）
A．-252 B．-220 C．220 D．252
（2）．（2021·四川成都市）若 的展开式中常数项为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）A（2）C
【解析】(1）由 ，
可得二项式 的展开式通项为 ，
令 ，解得 ，所以展开式的常数项为 .故选：A.（2） 的展开式的通项公式为： ，显然， 为奇数，
若求 展开式的常数项， ，解得
故 的展开式的常数项等于： 故选：C.
【一隅三反】
1．（2020·全国高三专题练习） 展开式中常数项为（ ）.
A．11 B． C．8 D．
【答案】B
【解析】将 看成一个整体，展开得到：
的展开式为： 取
当 时， 系数为： 当 时， 系数为：
常数项为 故答案选B
2．（2020·全国高三专题练习） 的展开式中常数项为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 的通项为 ，
，根据式子可知当 或 时有常数项，令; 令 ;故所求常数项为
，故选C.
3．（2020·河南商丘市） 的展开式的常数项为（ ）
A．6 B．10 C．15 D．16
【答案】D
【解析】由题意得 的展开式的通项为 ，
令 ，则 ，所以 的展开式的常数项为 .故选：D.
4．（2020·枣庄市第三中学高二月考）在 的展开式中，x2项的系数为（ ）
A．30 B．45 C．60 D．90
【答案】B
【解析】在 的展开式中，通项公式为T • .
r+1
对于 ，通项公式为T •xr﹣2021k，k≤r，r、k∈N，r≤10.
k+1
令r﹣2021k＝2，可得r＝2+2021k，故k＝0，r＝2，故x2项的系数为 • 45，故选：B.
5．（2020·全国高二专题练习）若 的展开式中 的系数为 ，则 等于（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】将题中所给式子可化为根据二项式定理展开式通项为 , 的通项为
令 解得
所以 的项为 令 解得
所以 的项为
综上可知, 的系数为 解得 故选:D
考法四 二项式定理的性质
【例2】（1）（多选）（2020·全国高二单元测试） 的展开式中二项式系数最大的项是
（ ）
A．第5项 B．第6项
C．第7项 D．第8项
（2）（2020·山东省桓台第一中学高二期中）（多选）二项式 的展开式中，系数最大的项为
（ ）.
A．第五项 B．第六项 C．第七项 D．第八项
（3）（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学高二开学考试）若 的展开式中只有第 项的二项
式系数最大，则展开式中含 项的系数是
A． B．
C． D．
【答案】（1）BC（2）BC（3）D
【解析】(1）因为n＝11为奇数，所以展开式中第 项和第 项，即第6项和第7项的二项式
系数相等，且最大.故选：BC（2）二项式 的展开式中，每项的系数与二项式系数相等，共有12项
所以系数最大的项为第六项和第七项故选：BC
（3）∵ 的展开式中只有第 项的二项式系数最大，∴ 为偶数，展开式共有 项，则 .
的展开式的通项公式为 ，令 ，得 .
∴展开式中含 项的系数是 ，故选D．
【一隅三反】
1．（2020·辽宁沈阳市·高二期中）在 的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最
大，则 的二项展开式中的常数项为（ ）
A．960 B．1120 C．-560 D．-960
【答案】B
【解析】在（x﹣1）n（n∈N）的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则n=8，
+
则 = 的二项展开式的通项公式为T = •28﹣r•（﹣1）r•x4﹣r，
r+1
令4﹣r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为 •24•（﹣1）4=1120，故选B．
1
2．（2021·湖南常德市）(ax+ )(2x-1) 5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为（ ）
x
A． B． C．10 D．20
【答案】C
1 1
【解析】由已知，当x=1时，(a+ )(2-1) 5=2,即a=1，所以(x+ )(2x-1) 5 展开式中常数项为
1 x
1
×C42x×(-1) 4=10，故选C.
x 53．（多选）（2020·三亚华侨学校高二开学考试）已知 的展开式中第5项的二项式系数最大，则
n的值可以为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】ABC
【解析】∵已知 的展开式中第5项的二项式系数 最大,则 或n＝8或n＝9故选：ABC.
4．（2020·全国高二课时练习）已知 展开式中各项系数的和为m，且 ，求
展开式中二项式系数最大的项的系数 .
【答案】59136
【解析】设 ，令 ，得 ，
所以 ，则 展开式中有13项，且中间一项（第7项）的二项式系数最大，
该项为 .故所求的系数为59136.
5．（2020·重庆市第七中学校高二月考）二项式 的展开式中，二项式系数最大的
项是第4项，则其展开式中的常数项是_________．
【答案】-20
【解析】由题意知，展开式中有7项， ．因为
令 ，得 ，所以常数项为 ．
考法五 二项式系数或系数和【例5】（2020·安徽省泗县）若 .
求：（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】（1）27；（2）14；（3）27.
【解析】（1）令 ，可得 ，
∴ ．①
（2）令 可得 ，
∴ ．②
由① ②得 ，
∴ ．
（3）由题意得二项式 展开式的通项为 ，
∴每项的系数 ，
∴ ．
【一隅三反】
1．（2020·北京朝阳区·高二期末）在 的二项展开式中，二项式系数之和为___________；所有
项的系数之和为_______.
【答案】
【解析】根据二项展开式的性质，展开式的二项式系数之和为 ，
令 可得所有项的系数之和为 ，故答案为： ，2．（2020·全国高二单元测试）若( －x)10＝a＋ax＋ax2＋…＋ax10，则(a＋a＋…＋a)2－(a＋a
0 1 2 10 0 2 10 1 3
＋…＋a)2＝
9
【答案】1
【解析】令 ，得 ，令 ，得
，
.故选：A.
3．（2020·福建厦门市·厦门双十中学高二期中）已知 ，则
_____.
【答案】
【解析】对等式 两边求导，得
，令 ，则 .
4．（2020·宁县第二中学高二期中）设 展开式中只有第1010项的二项
式系数最大．
（1）求n；
（2）求 ;
（3）求. .
【答案】（1）2018；（2） ；（3）-1.
【解析】（1）由二项式系数的对称性，（2）
（3）令 ，得 ，
令 ，得 ，故 .
考法六 二项式定理运用
【例6】（1）（2020·上海市七宝中学高二期中） 除以100的余数是________
（2）（2020·全国高二单元测试） 的计算结果精确到0.01的近似值是_________
【答案】（1）41（2）1.34
【解析】（1）
即 除以100的余数为 ．故答案为： ．
（2） 故答案为：
【一隅三反】
1．（2020·四川棠湖中学高二月考）已知 能够被15整除，则 ________.
【答案】14
【解析】由题可知，所以 ，
而75能被15整除，要使 能够被15整除，只需 能被15整除即可，
所以 ，解得： .故答案为：14.
2．（2020·江苏泰州市·泰州中学高二期中） 被 除所得的余数是_____________．
【答案】1
【解析】因为
，
所以转化为求 被 除所得的余数，
因为 ，所以 被 除所得的余数是1，故答案为：1
3．（2021·河北保定市） 的计算结果精确到0.001的近似值是
【答案】0.941
【解析】
故选B
