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7.1 条件概率及全概率（精练）
【题组一 条件概率】
1．（2020·天津高二期末）一个医疗小队有3名男医生，4名女医生，从中抽出两个人参加一次医疗座谈
会，则已知在一名医生是男医生的条件下，另一名医生也是男医生的概率是______
【答案】
【解析】若A为一位医生是男医生，B为另一位医生也是男医生，
∴ ，而 ，
∴ ，
故答案为：
2．（2020·吕叔湘中学高二期末）已知一种元件的使用寿命超过 年的概率为 ，超过 年的概率为
，若一个这种元件使用到 年时还未失效，则这个元件使用寿命超过 年的概率为_____.
【答案】0.75
【解析】记使用寿命超过 年为事件 ，超过 年为事件 ，
，
故答案为：0.75.
3．（2020·全国高三专题练习（理））小赵､小钱､小孙､小李到 个景点旅游，每人只去一个景点，设事
件A为“ 个人去的景点不相同”，事件 为“小赵独自去一个景点”，则 ________.
【答案】
【解析】小赵独自去一个景点共有 种情况，即 ，个人去的景点不同的情况有 种，即 ，
所以 .
故答案为： .
4．（2020·全国高二课时练习）有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取
两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为____________.
【答案】
【解析】设事件 为“一瓶是蓝色”，事件 为“另一瓶是红色”，事件 为“另一瓶是黑色”，事件
为“另一瓶是红色或黑色”，则 ，且 与 互斥，
又 ， ， ，
故 .
故答案为： .
5．（2020·全国高三其他模拟）伟大出自平凡，英雄来自人民.在疫情防控一线，北京某大学学生会自发
从学生会6名男生和8名女生骨干成员中选出2人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用 表示事件
“抽到的2名队长性别相同”， 表示事件“抽到的2名队长都是男生”，则 ______.
【答案】
【解析】由已知得 ， ，则 .
故答案为：
6（2020·全国高三专题练习（理））夏､秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼洄游到长江，历经三千
多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长到 厘米左右，又携带它们旅居外海.一个
环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为 ，雌性个体长
成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为 ，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则
其能成功溯流产卵繁殖的概率为_________.
【答案】
【解析】解析设事件 为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件 为该雌性个体成功溯流
产卵繁殖，由题意可知 ， ， .
故答案为： .
7（2020·江西高二期末（文））口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放
回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次仍取得红球的概率为______.
【答案】
【解析】口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，
甲从中不放回的逐一取球，
， ，.
故答案为： .
8．（2020·陕西西安市·交大附中高二期末（文））从标有 ， ， ， ， 的五张卡中，依次抽出
张（取后不放回），则在第一次抽到偶数的情况下，第二次抽到奇数的概率为________；
【答案】
【解析】由题意，从标有 ， ， ， ， 的五张卡中，依次抽出 张，第一次抽到偶数所包含的基本事
件有 ， ， ， ， ， ， ， ；共 个基本事件；
第一次抽到偶数，第二次抽到奇数，所包含的基本事件有 ， ， ， ， ， ；
共 个基本事件，
因此在第一次抽到偶数的情况下，第二次抽到奇数的概率为 .
故答案为： .
9．（2020·全国高三专题练习）某班有 名班干部，其中男生 人，女生 人，任选 人参加学校的义务
劳动．
（1）求男生甲或女生乙被选中的概率；
（2）设“男生甲被选中”为事件 ，“女生乙被选中”为事件 ，求 和 ．
【答案】（1） ；（2） ， ．【解析】（1）某班从 名班干部(男生 人、女生 人)中任选 人参加学校的义务劳动，总的选法有
种，
男生甲或女生乙都没有被选中的选法：
则男生甲或女生乙被选中的选法有 种，
∴男生甲或女生乙被选中的概率为 ；
（2）总的选法有 种，男生甲被选中的选法有 种，∴ ，
男生甲被选中、女生乙也被选中选法有 种，∴ ，
∴在男生甲被选中的前提下，女生乙也被选中的概率为 ．
10．（2020·全国高三专题练习）某单位有8名青年志愿者，其中男青年志愿者5人，记为
，女青年志愿者3人，记为 .现从这8人中选4人参加某项公益活动.
（1）求男青年志愿者 或女青年志愿者 被选中的概率；
（2）在男青年志愿者 被选中的情况下，求女青年志愿者 也被选中的概率.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）设“男青年志愿者 和女青年志愿者 都不被选中”为事件 ，则 ，
所以所求概率为 .
（2）记“男青年志愿者 被选中”为事件 ，“女青年志愿者 被选中”为事件 ，则 ，
所以 .
所以在男青年志愿者 被选中的情况下，女青年志愿者 也被选中的概率为 .
11．（2020·河北高三月考）田忌赛马的故事出自《史记》中的《孙子吴起列传》.齐国的大将田忌很喜
欢赛马，有一回，他和齐威王约定，要进行一场比赛.双方各自有三匹马，马都可以分为上，中，下三等.
上等马都比中等马强，中等马都比下等马强，但是齐威王每个等级的马都比田忌相应等级的马强一些，比
赛共三局，每局双方分别各派一匹马出场，且每匹马只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比
赛之前，双方都不知道对方马的出场顺序.
（1）求在第一局比赛中田忌胜利的概率：
（2）若第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马，求本场比赛田忌胜利的概率；
（3）写出在一场比赛中田忌胜利的概率（直接写出结果）.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】将田忌的三匹马按照上、中、下三等分别记为 、 、 ，
齐威王的三匹马按照上、中、下三等分别记为 、 、 ，
并且用马的记号表示该马上场比赛.
（1）设事件 “第一局双方参赛的马匹”，事件 “在第一局比赛中田忌胜利”，
由题意得 ，
，
则在第一局比赛中田忌胜利的概率是 .
（2）设事件 “第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马”，
事件 “田忌获得本场比赛胜利”，由题意得 ，
，
则本场比赛田忌胜利的概率是 .
（3） .
12．（2020·公主岭市第一中学校高二期末（理））已知一个不透明的口袋中有4个白球和8个红球，球
除颜色外完全相同.
（1）若一个人从口袋中随机抽取一个球，求其抽取到白球的概率；
（2）若一个人从口袋中随机不放回连续抽取球两次，每次抽取一个球，求在第一次抽取出白球的条件下
第二次抽取出的也是白球的概率.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）从口袋中随机抽取一个球，抽取到白球的概率 .
（2）记“第一次抽取出球是白球”为事件 ，“第二次抽取出球是白球”为事件 ，则第一次抽取出白
球和第二次抽取出球也是白球的概率 ， ,
所以在第一次取出白球的条件下第二次取出的也是白球的概率 .
【题组二 全概率公式】
1．（2021·北京高二期末）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以 表示没有出现连续3次正面的概率.给
出下列四个结论：
① ；② ；
③当 时， ；
④ .
其中，所有正确结论的序号是__________.
【答案】①③④
【解析】当 时， ，①正确；
当 时，出现连续3次正面的情况可能是：正正正反、正正正正、反正正正，
所以 ，②错误；
要求 ，即抛掷n次没有出现连续3次正面的概率，
分类进行讨论，
若第n次反面向上，前n-1次未出现连续3此正面即可；
若第n次正面向上，则需要对第n-1进行讨论，依次类推，得到下表：
第n次 n-1次 n-2次 概率
反面
正面 反面
正面 正面 反面
所以 ，④正确；
由上式可得，
所以 ，
又 ，满足当 时， ，③正确.
故答案为：①③④.
2．（2021·北京房山区·高二期末）袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个.每
次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求：
（Ⅰ）第一次摸到红球的概率；
（Ⅱ）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；
（Ⅲ）第二次摸到红球的概率.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ） .
【解析】设事件 ：第一次摸到红球；事件 ：第二次摸到红球，
则事件 ：第一次摸到白球.
（Ⅰ）第一次从10个球中摸一个共10种不同的结果，其中是红球的结果共3种，
所以 .
（Ⅱ）第一次摸到红球的条件下，剩下的9个球中有2个红球，7个白球，第二次从这9个球中摸一个共
9种不同的结果，其中是红球的结果共2种.
所以 .
（Ⅲ） .
所以第二次摸到红球的概率 .
