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7.5 正态分布（精讲）
思维导图
常见考法考点一 正态分布的特征
【例1】（1）（2021·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中高二期末（理））若随机变量 ，且
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·黄石市有色第一中学高二期末）设随机变量 服从正态分布 ，若
，则实数 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）A(2）B
【解析】（1）由于随机变量 ，则 ，
因此， .故选：A.
（2）∵随机变量ξ服从正态分布N（4，3），
∵P（ξ＜a﹣5）=P（ξ＞a+1），∴x=a﹣5与x=a+1关于x=4对称，∴a﹣5+a+1=8，
∴2a=12，∴a=6，故选:B．
【一隅三反】
1．（2021·湖北宜昌市）某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩 占近似服从正态分布
，且 ．若该校有700人参加此次检测，估计该校此次检测数学成绩不低
于99分的人数为（ ）
A．100 B．125 C．150 D．175
【答案】D
【解析】由题意，成绩 近似服从正态分布 ，
则正态分布曲线的对称轴为 ，又由 ，
根据正态分布曲线的对称性，可得 ，
所以该市某校有700人中，估计该校数学成绩不低于99分的人数为 人，
故选：D.
2．（2021·山东青岛市）某种芯片的良品率 服从正态分布 ，公司对科技改造团队的奖
励方案如下：若芯片的良品率不超过 ，不予奖励；若芯片的良品率超过 但不超过 ，每张芯
片奖励 元；若芯片的良品率超过 ，每张芯片奖励 元.则每张芯片获得奖励的数学期望为（
）元附：随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， .
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，得出 ， ，
所以 ，
；
，
所以 （元）故选：B
3．（2021·江西景德镇市）某市为弘扬我国优秀的传统文化，组织全市10万中小学生参加网络古诗词知
识答题比赛，总分100分，经过分析比赛成绩，发现成绩 服从正态分布 ，请估计比赛成绩不
小于90分的学生人数约为（ ）
〖参考数据〗： ， ，
A．2300 B．3170 C．3415 D．460
【答案】A
【解析】依题意知， 所以
则 ，所以比赛成绩不小于90分的学生人数约为
故选：A
考点二 正态分布的实际应用
【例2】（2021·安徽池州市）2020年新冠疫情以来，医用口罩成为防疫的必需品.根据国家质量监督检验
标准，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径小于5微米的颗粒的过滤率必须大于90%.为了监
控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个医用口置，检测其过滤率，依
据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率 服从正态分布 .假
设生产状态正常，生产出的每个口罩彼此独立.记 表示一天内抽取10个口罩中过滤率小于或等于
的数量.
（1）求 的概率；
（2）求 的数学期望 ；
（3）一天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率 小于 的口罩，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问这种监控生产过程的方法合理吗？
附：若随机变量 ，则 ，
， ， .
【答案】（1） ；（2） ；（3）这种监控生产过程的方法合理.
【解析】（1）抽取口罩中过滤率在 内的概率 ，
所以 ，
所以 ，
故
（2）由题意可知 ，所以 .
（3）如果按照正常状态生产，由（1）中计算可知，一只口罩过滤率小于或等于 的概率
，一天内抽取的10只口覃中，出现过滤率小于或等于 的概
率 ，发生的概率非常小，属于小概率事件.所以一旦发生这种情况，就有理由认为这条
生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修.可见这种监控
生产过程的方法合理.
【一隅三反】
1．（2020·全国高二课时练习）为了解一种植物的生长情况，抽取一批该植物样本测量高度(单位： )，
其频率分布直方图如图所示.（1）求该植物样本高度的平均数 和样本方差 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
（2）假设该植物的高度 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 近似为样本方差 ，
利用该正态分布求 .
附： .若 ，则 .
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】（1）由题意可得平均数 ，
（2）由（1）知， ，从而
所以 .
2．（2020·全国高二单元测试）某工厂生产某种零件，检验员每天从该零件的生产线上随机抽取16个零
件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件服从正
态分布N(μ，σ2)．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；
（2）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
10.12 9.97 10.01 9.95 10.02 9.98 9.21 10.03
10.04 9.99 9.98 9.97 10.01 9.97 10.03 10.11
经计算得 ， ，其中x为抽取的第i
i
个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，
利用估计值判断是否对当天的生产过程进行检查？剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据，用剩下的数据估
计μ和σ(精确到0.01)．
参考数据：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ＜x＜μ＋3σ)＝0.997 4，0．
997416≈0.9592，
【答案】（1）0.0408；0.0416；（2）需要对当天的生产过程进行检查；10.01；0.05.
【解析】(1)∵抽取的一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率为0.997 4，
∴零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，
故X～B(16,0.0026)．
P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416≈0.0408；
X的数学期望为E(X)＝16×0.0026＝0.0416.
(2) ，s≈0.20，得 ， .
∵样本数据可以看到有一个零件的尺寸在 之外，
∴需要对当天的生产过程进行检查．
剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据9.21之后，
剩下数据的平均数 ，可得μ的估计值为10.01.
∵ ，
剔除 之外的数据9.21之后，剩下数据的方差为 ，
∴σ的估计值为 .
3．（2020·全国高二专题练习）现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪．根据猪的体重，
将其分为三个成长阶段，如下表：
阶段 幼年期 成长期 成年期
体重
根据以往经验，两个养猪场内猪的体重 均近似服从正态分布 ．由于我国有关部门加强对大
型养猪场即将投放市场的成年期的猪的监控力度，高度重视其质量保证，为了养出健康的成年期的猪，甲、
乙两个养猪场引入两种不同的防控及养殖模式．已知甲，乙两个养猪场内一头成年期的猪能通过质检合格
的概率分别为 ．
（1）试估算各养猪场三个阶段的猪的数量；
（2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利400元，若为不合格的猪，则亏损
200元；乙养猪场出售--头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，若为不合格的猪，则亏损
100元记 为甲，乙养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润，求随机变量 的分布列，假设两个养猪
场均能把成年期的猪售完，求两个养猪场的总利润的期望值．
（参考数据：若 ，则
）
【答案】（1）幼年期的猪215头，成长期的猪9540头，成年期的猪215头；（2）135450元.
【解析】（1）设各阶段猪的数量分别为 ，
∵猪的体重 近似服从正态分布 ，
，（头）；
（头）；
，
（头）
∴甲、乙两个养猪场各有幼年期的猪215头，成长期的猪9540头，成年期的猪215头．
（2）随机变量 的所有可能取值为900，300， ．
，
的分布列为
900 300
（元），
由于两个养猪场均有215头成年期的猪，且两个养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润的期望为630
元，则总利润的期望为 （元）．
考点三 正态分布与其他知识的综合运用
【例3】（2021·内蒙古赤峰市）疫情防控期间，为了让大家有良好的卫生习惯某校组织了健康防护的知
识测试（百分制）活动，活动结束后随机抽取了 名学生的成绩，并计算得知这 个学生的平均成绩
为 ，其中 个低分成绩分别是 、 、 、 、 ；而产生的 个高分成绩分别是 、 、 、
、 、 、 、 、 、 ．（1）为了评估该校的防控是否有效，以样本估计总体，将频率视为概率，若该校学生的测试得分近似满
足正态分布 （ 和 分别为样本平均数和方差），则认为防控有效，否则视为效果不佳．经过
计算得知样本方差为 ，请判断该校的疫情防控是否有效，并说明理由．（参考数据： ）
规定：若 ， ，则称变量 “近似
满足正态分布 的概率分布”．
（2）学校为了鼓励学生对疫情防控的配合，决定对 分及以上的同学通过抽奖的方式进行奖励，得分低
于 分的同学只有一次抽奖机会，不低于 分的同学有两次抽奖机会．每次抽奖获得 元奖金的概率是
，获得 元的概率是 ．现在从这 个高分学生中随机选一名，记其获奖金额为 ，求 的分布列
和数学期望．
【答案】（1）该校的疫情防控是有效的，理由见解析；（2）分布列见解析，87.5.
【解析】（1）据该校的疫情防控是有效的，理由如下：
， ， ，
， ，
得分小于 分的学生有 个，得分大于 分的有 个，
，
学生的得分都在 间， ．
学生得分近似满足正态分布 的概率分布，因此该校的疫情防控是有效的；
（2）设这名同学获得的奖金为 ，则 的可能值为 、 、 、 ，， ，
， ，
故 的分布列为：
．
【一隅三反】
1．（2021·云南昆明市·昆明一中高三月考（理））某学校工会积极组织学校教职工参与“日行万步”
健身活动，规定每日行走不足8千步的人为“不健康生活方式者”，不少于14千步的人为“超健康生活方
式者”，其他为“一般健康生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校300名教职工的“日行万步”健
身活动数据，统计出他们的日行步数(单位：千步，且均在 内)，按步数分组，得到频率分布直方图
如图所示.
（1）求被抽取的300名教职工日行步数的平均数(每组数据以区间的中点值为代表，结果四舍五入保留整
数).
（2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数 服从正态分布 ，其中， 为（1）中求得的平均数标准差 的近似值为2，求该校被抽取的300名教职工中日行步数 的人数(结果四舍五入
保留整数).
（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰
问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；“一般健康生活方式者”
奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人200元，求工会慰问奖励金额X的分布列和数
学期望.
附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， .
【答案】（1） ；（2） ；（3）分布列答案见解析，数学期望： .
【解析】（1）依题意得
.
（2）因为 ，
所以 ，
所以走路步数 的总人数为 .
（3）由频率分布直方图知每人获得奖励为0元的概率为0.02，奖励金额为100元的概率为0.88，奖励金
额为200元的概率为0.1.
由题意知X的可能取值为0，100，200，300，400.
； ；
； ；
.
所以X的分布列为X 0 100 200 300 400
P 0.0004 0.0352 0.7784 0.176 0.01
.
2．（2021·长沙市·湖南师大附中高二期末）国家发改委、城乡住房建设部于2017年联合发布了《城市
生活垃圾分类制度实施方案》，规定某46个大中城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，并且垃圾回收、
利用率要达标．某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的 类社区（全市共320
个）中随机抽取了50个进行调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），得到如下频数分布
表，并将这一天垃圾数量超过28吨的社区定为“超标”社区．
垃
圾
量
频
5 6 9 12 8 6 4
数
（1）估计该市 类社区这一天垃圾量的平均值 ；
（2）若该市 类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布 ，其中 近似为50个样本社区的平
均值 （精确到0.1吨），估计该市 类社区中“超标”社区的个数；
（3）根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市政府决定从这8个
“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源．设这一天垃圾量不小于30.5吨的社区个数为 ，求 的
分布列和数学期望．
附：若 服从正态分布 ，则 ；
； ．
【答案】（1）22.76吨；（2）51个；（3）分布列见解析， .
【解析】
（1）样本数据各组的中点值分别为14，17，20，23，26，29，32，则
.
估计该市 类社区这一天垃圾量的平均值约为22.76吨.（2）据题意， ， ，即 ，则
.
因为 ，估计该市 类社区中“超标”社区约51个.
（3）由频数分布表知，8个社区中这一天的垃圾量不小于30.5吨的“超标”社区有4个，则垃圾量在
内的“超标”社区也有4个，则 的可能取值为1，2，3，4.
， ， ， .
则 的分布列为：
1 2 3 4
所以 .
