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第一篇 热点、难点突破篇
专题12 数列的基本运算（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2022春·江苏南京·高三期末）若等差数列 的前5项和为75， ，则 （ ）
A．40 B．45 C．50 D．55
【答案】B
【分析】设等差数列 的公差为 ，根据等差数列前 项和与基本量 和 的关系将题目条件全部转化为基
本量的关系，即可求解.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
根据题意可得 ，解得 ， ，
.
故选：B.
2．（2022春·江苏·高三江苏省新海高级中学校联考阶段练习）已知等比数列 的各项均为正数，它的前
项和为 ，且 ，则 （ ）
A．27 B．64 C．81 D．128
【答案】A
【分析】由基本量法求得首项 和公比 可得 ．
【详解】设公比为 ，则由已知得 ，即 ，解得 或 （舍去），所
以 ．
故选：A．3．（2023·广西桂林·统考一模）已知正项等比数列 }满足 为 与 的等比中项，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据等比中项定义和等比数列通项公式得 ，解得 ，化简 .
【详解】设等比数列 的公比为 ，
由题意得 ，即 ，
， ，
，
故选：B.
4．（2022春·北京大兴·高三统考期末）已知数列 中， ， ， ，则下列结论错误的是
（）
A． B．
C． 是等比数列 D．
【答案】D
【分析】AB项，分别令 ， ， 求出 的值验证；CD项，由 可得 ，
得 ，继而得到 及 均为等比数列，根据等比数列的通项求解.
【详解】当 时， ，故A正确.当 时， ，
当 时， ， ，故B正确.
C项， ，
，
所以 得 ，所以 ， 是以 为首项， 为公比的等比数列，故C正确.
D项，由C项得 ，
又 ， ， 是以 为首项， 为公比的等比数列，
，故D错误.
故选：D
二、多选题
5．（2022春·黑龙江佳木斯·高三佳木斯一中校考期中）已知数列 为等差数列，其前n项和为 ，且
， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．公差
C．当 时 最大 D．使 的n的最大值为16
【答案】ABC
【分析】根据等差数列的性质得出 ， ，逐项判断即可.
【详解】根据等差数列的性质知， ， ，
又 ，所以 ，所以 ，B项正确；
又 ，所以 ，A项正确；根据， ， ， ，可知，等差数列前8项均为正数，从第9项起为负数，所以当 时 最大，
C项正确；
， ，所以使 的n的最大值为15.
故选：ABC.
6．（2022春·江苏南通·高三海安高级中学期中）设 是公差为d的等差数列， 是其前n项的和，且 ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】由等差数列的性质得出 ，即 ，由此易判断ABC，对选项D，可根据数列是
递增数列，确定 即可判断．
【详解】 ，则 ，
，所以 ， ， ，
，则 ，
，
，
， 是递增数列，
， ，
所以 中， 最小，
故选：ACD．
三、填空题7．（2023·广西桂林·统考一模）记 为等差数列 的前n项和.若 ，则 =___________.
【答案】144
【分析】利用等差数列的前n项和公式求解即可.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
则 解得 ，
所以 ，
故答案为:144.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， ，且 ，则
______.
【答案】
【分析】由特征方程解得特征根，可知数列通项的形式，由 ， 解出待定系数得到通项公式.
【详解】特征方程为 ，解得： ，所以可设 ，
因为 ， ，所以 ，解得： ， ，故 .
故答案为：
9．（2022春·福建·高三福建师大附中校考阶段练习）设数列 的前 项和为 ，若 ， ，
则 ______.
【答案】
【分析】根据递推关系式 ，得 ，即可得数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，按照等比数列通项公式求出 ，即可得 的值.
【详解】解：设数列 的前 项和为 ，若 ， ，
则 ，即 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列
所以 ，即 ，所以 .
故答案为： .
10．（2022·四川达州·统考一模）已知正项数列 前 项和 满足 ，且 ，
则 __________.
【答案】
【分析】利用 得出数列 是等差数列，且公差为1，然后求得 ，再代入 可
得．
【详解】 ， ，
， ，
， ，
∴ ，即 ，所以 是等差数列，公差为1，
， ，
，即 ， ．
故答案为： ．
【冲刺提升】
一、单选题
1．（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知等差数列 满足 ，则下列命题：① 是递减数列；②使 成立的 的最大值是9；③当 时， 取得最大值；④ ，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③
C．①④ D．①②③
【答案】D
【分析】设出公差为 ，列出方程组，求出首项和公差，根据 判断①正确，
写出 ，解不等式求出 成立的 的最大值是9，②正确；
根据 与 ，得到当 时， 取得最大值，③正确；
利用通项公式 求出 的值，得到④错误.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
故 ，解得： ，
由于 ，故 是递减数列，①正确；
，令 ，
解得： ，且 ，
故使 成立的 的最大值是9，②正确；
，
当 时， ，当 时， ，
故当 时， 取得最大值，③正确；
，④错误.
故选：D
2．（2022春·北京大兴·高三统考期末）设 为等差数列 的前 项和.已知 ， ，则（ ）A． 为递减数列 B．
C． 有最大值 D．
【答案】B
【分析】利用等差数列的通项公式及前 项和公式即可求解.
【详解】 为等差数列 的前 项和，
，解得 ；
又 ，设等差数列 的公差为：
为递增数列，选项A错.
， ，选项B对.
由 知 ，
由二次函数的性质可知， 有最小值没有最大值.选项C错.
，选项D错.
故选：B.
3．（2023·河南郑州·高三校联考阶段练习）等差数列 中， ，当 取得最小值时，n
的值为（ ）
A．4或5 B．5或6 C．4 D．5
【答案】A
【分析】求得数列的首项 和公差d，可得通项公式，继而求得 的表达式，结合二次函数知识即可得答案.
【详解】设等差数列 的首项为 ，公差为d，则 ，解得 ，则 ，
所以 ，
由于 ，故当n取4或5时， 取得最小值，
故选：A.
4．（2022春·云南昆明·高三昆明市第三中学校考期末）等比数列 满足 ，设数列 的前 项
和为 ，则 =（ ）
A． B． C．5 D．11
【答案】A
【分析】设等比数列 的公比为 ，根据等比数列通项公式化简条件求 ，判断数列 为等比数列，然
后利用等比数列的前 项和公式计算 .
【详解】设等比数列 的公比为 由 可得 ，又 ， ，
所以 ，所以 ，因为 ，
故数列 也为等比数列，公比为
所以等比数列 的公比为因此 ,
所以 ，
故选：A.
二、多选题
5．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）设数列 的前n项和为 ，且
，若 ，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．当 时， 取得最小值
C．当 时，n的最小值为7
D．当 时， 取得最小值
【答案】ABD
【分析】对于A，由 变形求得 ，利用累加法求得
，进而求得 ，求出 ，即可判断；对于B，判断 的单调性，即可判断；
对于C，判断 单调递增，并计算 的值，即可判断；对于D，根据 ， 的值的正负以及单调性，判
断 的值正负以及单调性，即可判断.【详解】由 得 ，
∴ ，
累加得， ，
故 ，当 时， 满足上式，
∴ ，
当 时， ，∴ ，故选项A正确；
由于函数 ，其图象对称轴为 ，当 时函数递增，
故当 时， 单调递增，又 ，
∴ 单调递增，且 ，
∴当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，且 ，
∴当 时， 取得最小值，故选项B正确；
当 时， 单调递增，又 ，
∴当 时，n的最小值为8，故选项C错误；
当 时， ；当 时， ；当 时， ，
∴当 时，考虑 的最小值，
又当 时， 恒为正且单调递减， 恒为负且单调递增，
∴ 单调递增，∴当 时， 取得最小值，故选项D正确，
故选： ．三、填空题
6．（2022春·云南昆明·高三昆明市第三中学校考期末）已知等差数列 的前 项和为 ，且
，则 ___________；
【答案】
【分析】根据给定条件，列出关于等差数列 的首项、公差的方程组，结合等差数列前n项公式求解作答.
【详解】设等差数列 的公差为 ，由 得： ，解得 ，又 ，
于是得 ，解得 ，
所以 .
故答案为：
7．（2020·全国·统考高考真题）记 为等差数列 的前n项和．若 ，则 __________．
【答案】
【分析】因为 是等差数列，根据已知条件 ，求出公差，根据等差数列前 项和，即可求得答案.
【详解】 是等差数列，且 ，
设 等差数列的公差
根据等差数列通项公式：
可得
即：
整理可得：解得：
根据等差数列前 项和公式：
可得：
.
故答案为： .
8．（2022春·北京海淀·高三海淀实验中学校考阶段练习）已知 是各项均为正的等比数列， 为其前 项
和，若 ，则公比 _______， ______．
【答案】 ##0.5 15
【分析】利用等比数列的通项公式和前 项和公式求解即可.
【详解】因为 是各项均为正的等比数列，
所以 解得 或 ，
又因为 是各项均为正，所以 ，
所以 ，
故答案为： ，
9．（2020·江苏·统考高考真题）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列
{an+bn}的前n项和 ，则d+q的值是_______．
【答案】
【分析】结合等差数列和等比数列前 项和公式的特点，分别求得 的公差和公比，由此求得 .【详解】设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，根据题意 .
等差数列 的前 项和公式为 ，
等比数列 的前 项和公式为 ，
依题意 ，即 ，
通过对比系数可知 ，故 .
故答案为：
【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前 项和公式，属于中档题.
四、解答题
10．（2022·全国·统考高考真题）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且
．
(1)证明： ；
(2)求集合 中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）设数列 的公差为 ，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得 ，即可解出．【详解】（1）设数列 的公差为 ，所以， ，即可解得， ，所以原命
题得证．
（2）由（1）知， ，所以 ，即 ，亦即
，解得 ，所以满足等式的解 ，故集合 中的
元素个数为 ．
11．（2022春·河南·高三信阳高中校联考期末）已知数列 的前 项和为 ， ， ，且当 时，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】对于（1），利用 ， ，化简已知式子可得 ，即数列 为等差数列.
对于（2），分组求和可得答案.
【详解】（1）因为 时， ，
所以 .
所以 ，即 .
因为 ，所以 .
故数列 是首项为1，公差为1的等差数列.所以 ， .
（2）由（1），得 ，
所以
， .
12．（2021·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已知 ．
（1）证明：数列 是等差数列;
（2）求 的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）由已知 得 ,且 ，取 ,得 ,由题意得
,消积得到项的递推关系 ,进而证明数列 是等差数列;
（2）由（1）可得 的表达式,由此得到 的表达式,然后利用和与项的关系求得 .
【详解】（1）[方法一]：由已知 得 ,且 ， ,
取 ,由 得 ,
由于 为数列 的前n项积，
所以 ,
所以 ，
所以 ,
由于
所以 ，即 ,其中
所以数列 是以 为首项，以 为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是 ． ②
由①②得 ． ③
又 ， ④
由③④得 ．
令 ，由 ，得 ．所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
[方法三]：
由 ，得 ，且 ， ， ．
又因为 ，所以 ，所以
．
在 中，当 时， ．
故数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
由已知 ，得 ， ， ， ，猜想数列 是以 为首项， 为公差的等差
数列，且 ．
下面用数学归纳法证明．
当 时显然成立．
假设当 时成立，即 ．
那么当 时， ．
综上，猜想对任意的 都成立．
即数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
（2）
由（1）可得，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，,
,
当n=1时， ,
当n≥2时, ,显然对于n=1不成立,
∴ .
【整体点评】（1）方法一从 得 ，然后利用 的定义，得到数列 的递推关系，进而
替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；
方法二先从 的定义，替换相除得到 ，再结合 得到 ，从而证得结论，为最优解；
方法三由 ，得 ，由 的定义得 ，进而作差证得结论；方法四利用归
纳猜想得到数列 ，然后利用数学归纳法证得结论．
（2）由（1）的结论得到 ，求得 的表达式,然后利用和与项的关系求得 的通项公式.
