文档内容
专题 12 平面向量综合必刷 100 题
任务一:善良模式(基础)1-30题
一、单选题
1．已知 ，向量 ，若 ，则实数 （ ）
A． B． C．-2 D．2
2．设 中 边上的中线为 ，点 满足 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
3．若平面向量 两两的夹角相等，且 ，则 （ ）
A．2 B．5 C．2或5 D． 或
4．在菱形 中， 、 分别是 、 的中点，若 ， ，则 （ ）
A．0 B． C．4 D．
5．如图，点 在半径为 的 上运动， 若 ，则 的最大值为（ ）A． B． C． D．
6．已知向量 满足 ，则 与 夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ， ，，则 在 方向上的投影为（ ）
A．1 B．5 C． D．
8．在 中， ，且 ，则 取最小值时 的值为（ ）
A． B． C． D．
9．在 中，点 是线段 上靠近点 的三等分点，点 在线段 上， ，则
（ ）
A． B．
C． D．10．已知点 ，若过点 的直线l交圆于C： 于A，B两点，则 的最
大值为（ ）
A．12 B． C．10 D．
11．以下四个命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 三点共线
B．若 为空间的一个基底，则 构成空间的另一个基底
C．
D． 为直角三角形的充要条件是
12．已知向量 、 满足 ，且 ，则 在 方向上的投影是（ ）
A． B． C． D．
13．在△ABC中，已知AB=3，AC=5，△ABC的外接圆圆心为O，则
A．4 B．8 C．10 D．16
14．已知向量 与向量 不共线， ，对任意 ，恒有 ，则（ ）
A． B． C． D．
15．如图所示，矩形 的对角线相交于点 ，点 在线段 上且 ，若 （
， ），则 （ ）A． B． C． D．
二、多选题
16．已知平面向量 、 、 为三个单位向量，且 ，若 （ ），则
的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
17．下列说法中错误的是（ ）
A．已知 ， ，则 与 可以作为平面内所有向量的一组基底
B．若 与 共线，则 在 方向上的投影为
C．若两非零向量 ， 满足 ，则
D．平面直角坐标系中， ， ， ，则 为锐角三角形
18．设 ， 是两个非零向量，下列四个命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则 和 的夹角为
B．若 ，则 和 的夹角为
C．若 ，则 和 方向相同D．若 ，则 和b的夹角为钝角
19．在 中，有如下四个命题正确的有（ ）
A．若 ，则 为锐角三角形
B．若 ，则 的形状为直角三角形
C． 内一点G满足 ，则G是 的重心
D．若 ，则点P必为 的外心
20．已知向量 是两个非零向量，在下列条件中，一定能使 共线的是（ ）
A． 且
B．存在相异实数 ，使
C． （其中实数x，y满足 ）
D．已知梯形ABCD，其中
第II卷（非选择题）
三、填空题
21．已知在 中， ，则 ___________.22．在 中，点 满足 ，当 点在线段 上移动时，若 ，则
的最小值是________．
23．在 中，点D是边 的中点，点G在 上，且是 的重心，则用向量 ､ 表示 为
___________.
24．已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且 ＝x ， ＝y
，求 的值为________．
25．如图，在菱形 中， ， ．已知 ， ， ，则
______．
四、解答题
26．已知 ， ， ．
（1）求 与 的夹角θ；
（2）求 ；
（3）若 ，求实数λ的值．27．已知O，A，B是不共线的三点，且
（1）若m+n=1，求证：A，P，B三点共线；
（2）若A，P，B三点共线，求证：m+n=1.
28．如图，已知D，E，F分别为 的三边 ， ， 的中点，求证： ．
29．已知向量 ， ， .
（1）若点 ， ， 能够成三角形，求实数 应满足的条件；
（2）若 为直角三角形，且 为直角，求实数 的值.
30．设 的内角A，B，C的对边长a，b，c成等比数列， ，延长 至D使 .
（1）求 的大小；
（2）求 的取值范围.
任务二:中立模式(中档)1-40题
一、单选题
1．设 、 、 为非零不共线向量，若 ，则（ ）
A． B．C． D．
2．在平面直角坐标系 中，已知点 ．若动点M满足 ，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知 是边长为2的正方形， 为平面 内一点，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知点 为正 所在平面上一点，且满足 ，若 的面积与 的面
积比值为 ，则 的值为（ ）
A． B．
C．2 D．3
5．已知直线 ： 与圆 ： 的交点为 ， ，点 是圆 上一动点，
设点 ，则 的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
6．已知平面向量 满足 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．7．已知向量 ， ， 为平面向量， ，且 使得 与 所成夹角为 ，则 的最
大值为（ ）
A． B． C．1 D．
8．非零向量 ， 满足 ，且 ，则 为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角
形
9．在 中， ， ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知 的三个内角分别为 ， ， ，动点 满足 ，
，则动点 的轨迹一定经过 的（ ）
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
11．已知平面向量 满足 ， ， ，若对于任意实数 ，不等式 恒成立，
则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
12．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O为△ABC的外心，动点P满足，则点P的轨迹一定过△ABC的（ ）
A．内心 B．垂心 C．重心 D．AC边的中点
13．平面内 及一点 满足 ，则点 是 的（ ）
A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心
14．设点 是 的重心，且满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
15．若直线 过△ 的重心 ，且 ， ，其中 ， ，则 的最小值
是（ ）．
A． B． C．2 D．
16．在 中， ， ，且 ， ，则点 的轨迹一定通过
的（ ）
A．重心 B．内心
C．外心 D．垂心
17．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ，
点 是 的重心，且 ，则 （ ）
A． 或 B． C． 或 D．18．在 中， 是 的中点， 是 的中点，过点 作一直线 分别与边 ， 交于 ， ，
若 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
19．已知圆 的半径为2，A为圆内一点， ，B，C为圆 上任意两点，则 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
20．已知 ， ， ，若对任意实数 ， （ ）恒成立，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
21．数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出： 的外心 ，重心 ，垂心 ，
依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线. 若 ，
，则下列各式正确的是（ ）
A． B．C． D．
22．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的
距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC的
外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且AB=4，AC=2，则下列各式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
23．在 中， ， ，下述四个结论中正确的是（ ）
A．若 为 的重心，则
B．若 为 边上的一个动点，则 为定值2
C．若 ， 为 边上的两个动点，且 ，则 的最小值为
D．已知 为 内一点，若 ，且 ，则 的最大值为2
24．已知 为 所在平面内一点，且 ， ， 是边 的三等分点靠近点 ，
， 与 交于点 ，则（ ）
A．
B．
C．
D． 的最小值为-6
25．在 中，角 、 、 所对的边分别是 、 、 ，点 是其所在平面内一点，（ ）A．若 ，则点 在 的中位线上
B．若 ，则 为 的重心
C．若 ，则 为锐角三角形
D．若 ，则 是等腰三角形
26．下列说法中错误的为（ ）
A．已知 ， 且 与 夹角为锐角，则
B．点 为 的内心，且 ，则 为等腰三角形；
C．若 与 平行， 在 方向上的投影为
D．若非零 ， 满足 则 与 的夹角是
27．如图，ABCD中，AB=1，AD=2，∠BAD= ，E为CD的中点，AE与DB交于F，则下列叙述中，一定
正确的是（ ）
A． 在 上的投影向量为(0，0) B．C． D．若 ，则
28．已知 是△ 所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 是△ 的重心
B．若向量 ，且 ，则△ 是正三角形
C．若 是△ 的外心， ， ，则 的值为-8
D．若 ，则
第II卷（非选择题）
三、填空题
29．如图，△ABC中， ， ， ， 为△ABC重心，P为线段BG上一点，则 的最
大值为___________.
30．在 中，下列命题中正确的有：___________
① ；
②若 ，则 为锐角三角形；
③ 是 所在平面内一定点，动点 满足 ， ，则动点 一定过的重心；
④ 是 内一定点，且 ，则 ；
⑤若 ，且 ，则 为等边三角形.
31．已知向量 ， 是平面内的两个非零向量，则当 取最大值时， 与 夹角为________．
32．点 为 所在平面内一点， ， ，若 的面积为 ，
则 的最小值是________．
33．①若 ， ， ， 为锐角，则实数 的取值范围是
②点 在 所在的平面内，若 ，则点 为 的垂心
③点 在 所在的平面内，若 ， ， 分别表示 ， 的面积，
则
④点 在 所在的平面内，满足 且 ，则点 是 的外心.
以上命题为假命题的序号是___________.
34．如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若 ，则 ________.35．已知向量 ， 满足 ， ，则 的最大值是________.
36．已知平面向量 ， 的夹角为45°， 且 ，则 的最小值是
___________.
四、解答题
37．平面直角坐标系xOy中，已知向量 ， ， ，且 ．
（1）若已知M（1，1），N（y+1，2），y∈[0，2]，则求出 的范围；
（2）若 ，求四边形ABCD的面积．
38．在 中，角 所对边分别为 ， ， ， ，且 为 边上的中线，
点在 上，满足 .
（1）求 及线段 的长；
（2）求 的面积.39．已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ．
（1）若向量 与 共线，求实数 的值；
（2）若向量 与 的夹角为锐角，求实数 的取值范围．
40．在等边 中， ，点 为 的中点， 交 于点 .
（1）证明：点 为 的中点；
（2）若 ，求 的面积.任务三:邪恶模式(困难)1-30题
一、单选题
1．如图，在等腰△ 中，已知 分别是边 的点，且
，其中 且 ，若线段 的中点分别为 ，则 的最小
值是（ ）
A． B．
C． D．
2．在 中， ，点 在边 上，且 ，设 ，则当 取最
大值时， （ ）
A． B．
C． D．3．已知 为单位向量，且 ，若非零向量 满足 ，则 的最大值是（
）
A． B． C． D．
4．如图，在平面四边形 中， ， ， ， ，
，若点F为边 上的动点，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
5．在 中，已知 ， ， 的面积为6，若 为线段 上的点（点 不与点 ，
点 重合），且 ，则 的最小值为（ ）.
A．9 B． C． D．
6．在 中，已知 ， ， ， 为线段 上的一点，且，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知O是 所在平面上的一点，若 （其中P是 所在平面内任意一
点），则O点是 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
8．已知向量 ， ， 满足 ， 在 方向上的投影为2， ，则 的最小值为（
）
A． B． C． D．
9．已知 的内角分别为 ， ，且 的内切圆面积为 ，则 的最
小值为（ ）
A． B．8 C． D．
10．如图，在等腰梯形 中， ， ， ，点 ， 分别为 ， 的中点.如果对
于常数 ，在等腰梯形 的四条边上，有且只有8个不同的点 使得 成立，那么 的取值
范围是（ ）A． B．
C． D．
11．已知平面向量 ， ， （ 与 不共线），满足 ， ，设
，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，过点 且斜率为 的直线与双曲
线在第二象限的交点为 ，若 ，则双曲线 的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
13．半径为 的圆 上有三点 、 、 满足 ，点 是圆内一点，则 的
取值范围为（ ）A． B． C． D．
14．已如平面向量 、 、 ，满足 ， ， ， ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
15．平面上的两个向量 和 ， ， ， ， 若向量
，且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
16．对于给定的 ，其外心为 ，重心为 ，垂心为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．过点 的直线 交 于 ，若 ， ，则
D． 与 共线
17．如图，直角 的斜边BC长为2， ，且点B，C分别在x轴正半轴和y轴正半轴上滑动，点
A在线段BC的右上方则（ ）A． 有最大值也有最小值 B． 有最大值无最小值
C． 有最小值无最大值 D． 无最大值也无最小值
18．在 中， ， ， 、 的交点为 ，过 作动直线 分别交线段 、
于 、 两点，若 ， ，则 的不可能取到的值为（ ）
A． B． C． D．
19．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车
（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知 是 内的一点，
、 、 的面积分别为 、 、 ，则 .若 是锐角
内的一点， 、 、 是 的三个内角，且点 满足 ，则（
）
A． 为 的垂心
B．C．
D．
20．对于△ ，其外心为 ，重心为 ，垂心为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．向量 与 共线
D．过点 的直线 分别与 、 交于 、 两点，若 ， ，则
21．已知平面向量 满足 ， ， ，对任意的实数 ，均有 的最小值为 ，则
下列说法正确的是（ ）
A． 与 夹角的余弦值为 B． 的最小值为2
C． 的最小值为2 D．若 时，这样的 有3个
第II卷（非选择题）
三、填空题
22．已知平面向量 满足： ，当 与 所成角 最大时，则
______
23．已知 中， ， ，且 的最小值为 ，则 __________.24．在平面内，若有 ， ，则 的最大值为________．
25．已知 ， 是非零不共线的向量，设 ，定义点集
，当 ， 时，若对于任意的 ，不等式 恒成立，则
实数 的最小值为______.
26．如图，在△ABC中， ， ， ，直线FM交AE于点G，直线MC交
AE于点N，若△MNG是边长为1的等边三角形，则 ___________.
27．如图，在△ 中， ， ， ．若 为△ 内部的点且满足 ，
则 ________．28．在三角形 中， 的三个内角 的对边分别是 ，则下列给出的五个命题：
①若 ， ，且 与 夹角为锐角，则 ；
②若 ，则 为等腰三角形；
③点O是三角形ABC所在平面内一点，且满足 ，则点O是三角形ABC的重心；
④ ， ，若 ，则 为锐角三角形；
⑤若 为 的外心， .
其中正确的命题是：_______________________．（填写正确结论的编号）
四、解答题
29．已知 为 的外心，求证. .
30．在△ABC中，重心为G，垂心为H，外心为I．
（1）若△ABC三个顶点的坐标为 ， ， ，证明：G，H，I三点共线；
（2）对于任斜三角形ABC，G，H，I三点是否都共线，并说明理由．
