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第八章 立体几何初步
8.5.3 平面与平面平行
一、基础巩固
1.已知平面 平面 ，直线 ，直线 ，下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D． 与 不相交
【答案】C
【详解】
根据面面平行的的定义和性质知: 平面 平面 ，直线 ，直线 ，则 ， ，
与 不相交，
2.平面 与平面 平行的充分条件可以是（ ）
A． 内有无穷多条直线都与 平行
B．直线 ， ，且直线a不在 内，也不在 内
C．直线 ，直线 ，且 ，
D． 内的任何一条直线都与 平行
【答案】D
【详解】
解：A选项， 内有无穷多条直线都与 平行，并不能保证平面 内有两条相交直线与平面 平行，这
无穷多条直线可以是一组平行线，故A错误；
B选项,直线 ， ，且直线a不在 内，也不在 内,直线a可以是平行平面 与平面 的相交直线，故不能保证平面 与平面 平行，故B错误；
C选项, 直线 ，直线 ，且 ， ,当直线 ，同样不能保证平面 与平面 平行，
故C错误；
D选项, 内的任何一条直线都与 平行,则 内至少有两条相交直线与平面 平行，故平面 与平面
平行;
3.如图，在棱长为1的正方体 中， ， 分别是 ， 的中点，过直线 的
平面 平面 ，则平面 截该正方体所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
取 的中点为 .
易知 ， ，所以四边形 为平行四边形，所以 .又 和 为平面 的两条相交直线，所以平面 平面 ，即 的面积即为所求.
由 ， ，所以四边形 为梯形，高为 .
所以面积为： .
故选B.
4.下列说法正确的是（ ）
A．若两条直线与同一条直线所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线分别平行于两个相交平面，则一定平行它们的交线
D．若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行
【答案】C
【详解】
A错，由两条直线与同一条直线所成的角相等，
可知两条直线可能平行，可能相交，也可能异面；
B错，
若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，
则这两个平面可能平行或相交；
C正确，设 // // ，
利用线面平行的性质定理，在平面 中存在直线 // ，
在平面 中存在直线 // ，所以可知 // ，
根据线面平行的判定定理，可得 // ，
然后根据线面平行的性质定理可知 // ，所以 // ；
D错，两个平面可能平行，也可能相交.
5.设 是两个不同的平面， 是直线且 ， ，若使 成立，则需增加条件（ ）A． 是直线且 ， B． 是异面直线，
C． 是相交直线且 ， D． 是平行直线且 ，
【答案】C
【详解】
要使 成立，需要其中一个面的两条相交直线与另一个面平行，
是相交直线且 ， ， ， ，
由平面和平面平行的判定定理可得 .
6.下列四个正方体图形中， ， 为正方体的两个顶点， ， ， 分别为其所在棱的中点，能得出
平面 的图形的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【答案】C
【详解】
对于①，连接 如图所示，由于 ，根据面面平行的性质定理可知平面 平
面 ，所以 平面 .对于②，连接 交 于 ，由于 是 的中点， 不是 的中点，所以在平面 内 与
相交，所以直线 与平面 相交.
对于③，连接 ，则 ，而 与 相交，即 与平面 相交，所以 与平面
相交.
对于④，连接 ，则 ，由线面平行的判定定理可知 平面 .综上所述，能得出 平面 的图形的序号是①④.
7．设 ， 是两个不重合的平面， ， 是空间两条不重合的直线，下列命题不正确的是（）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】D
【详解】
A.正确，垂直于同一条直线的两个平面平行；
B.正确，垂直于同一个平面的两条直线平行；
C.正确，因为平面 内存在直线 ，使 ，若 ，则 ，则 ；
D.不正确，有可能 .
8．设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，且 ， ，则“ ”是“
且 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，且 ， ，则“ ”得“ 且
”，
根据面面平行的判定定理得“ 且 ”不能得“ ”，所以“ ”是“ 且 ”
的充分不必要条件.
9.已知 ， , 为三条不同的直线， ， ， 为三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则B．若 ， ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ， ， ，则
【答案】D
【详解】
A, 若 ， ,则 或 ，故A不正确.
B, 若 ， ， ，则 或 与 相交，故B不正确.
C，若 ， ，则 或 ，故C不正确 .
D,如图，由 可得 ，易证 ，故D正确.
10.如图，四棱锥 中，底面是边长为 的正方形ABCD，AC与BD的交点为O， 平面
ABCD且 ，E是边BC的中点，动点P在四棱锥表面上运动，并且总保持 ，则动点P
的轨迹的周长为( )
A． B． C． D．
【答案】D【详解】
解：分别取CD、SC的中点F、G，连接EF、FG和EG，如图所示；
则EF∥BD，EF⊄平面BDS，BD 平面BDS
∴EF∥平面BDS ⊂
同理FG∥平面BDS
又EF∩FG＝F，EF 平面EFG，FG 平面EFG，，
∴平面EFG∥平面B⊂DS， ⊂
由AC⊥BD，AC⊥SO，且AC∩SO＝O，
则AC⊥平面BDS，
∴AC⊥平面EFG，
∴点P在△EFG的三条边上；
又EF＝ BD＝ × × ＝1，
FG＝EG＝ SB＝ × ＝ ，
∴△EFG的周长为EF+2FG＝1+ .
11.设 ， 表示两个不同平面， 表示一条直线，下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ，则 .
B．若 ， ，则 .
C．若 ， ，则 .
D．若 ， ，则 .
【答案】C【详解】
若 ， ，则 或 ， 不正确；
若 ， ，则 ，或 相交， 不正确；
若 ， ，可得 没有公共点，即 ， 正确；
若 ， ，则 或 相交， 不正确,故选C.
12．设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则 的一个充分条件是（ ）
A．存在两条异面直线 ， .
B．存在一条直线 ， .
C．存在一条直线 ， .
D．存在两条平行直线 ， .
【答案】A
【详解】
对于A选项，如图： 为异面直线，且 ，在 内过 上一点作 ，则
内有两相交直线平行于 ，则有 ；故A正确；
对于B选项，若 ，则 可能平行于 与 的交线，因此 与 可能平行，也可能相交，故
B错；对于C选项，若 ，则 与 可能平行，也可能相交，故C错；
对于D选项，若 ，则 与 可能平行，也可能相交，故D错.
二、拓展提升
13.如图，在三棱柱 中， 、 分别是棱 ， 的中点，求证：
（1） 平面 ；
（2）平面 平面 ．
【答案】（1）见证明；（2）见证明
【详解】
证明：（1）设 与 的交点为 ，连结 ，
∵四边形 为平行四边形，∴ 为 中点，
又 是 的中点，∴ 是三角形 的中位线，则 ，
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ；
（2）∵ 为线段 的中点，点 是 的中点，
∴ 且 ，则四边形 为平行四边形，
∴ ，又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
又 平面 ， ，且 平面 ， 平面 ，
∴平面 平面 ．
14．如图所示，在正方体ABCD－ABC D 中，E，F，G，H分别是BC，CC ，C D，AA的中点．求证：
1 1 1 1 1 1 1 1
(1)BF∥HD ；
1
(2)EG∥平面BBDD；
1 1
(3)平面BDF∥平面BDH.
1 1
【答案】(1) 见解析；(2) 见解析；(3)见解析.
（1）取BB 的中点M，连接HM、MC ，四边则HMC D 是平行四边形，∴HD ∥MC ．
1 1 1 1 1 1
又∵MC ∥BF，∴BF∥HD ．
1 1
（2）取BD的中点O，连接EO、DO，则OE∥ ，OE＝ ．又DG∥DC，DG＝ DC，
1 1 1
∴OE∥DG，OE＝DG，∴四边形OEGD 是平行四边形，∴GE∥DO．
1 1 1 1
又DO 平面BB DD，∴EG∥平面BB DD．
1 1 1 1 1
（3）由⊂（1）知D
1
H∥BF，又BD∥B
1
D
1
，B
1
D
1
、HD
1
平面HB
1
D
1
，BF、BD 平面BDF，且
B D∩HD＝D，DB∩BF＝B，∴平面BDF∥平面B D⊂H． ⊂
1 1 1 1 1 115.如图所示，在三棱柱 中， 分别是 的中点，
求证：（1） 四点共面；
（2）平面 平面 ．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【详解】
(1) 分别是 的中点，
是 的中位线，
则 ，
又 ，
四点共面．
(2) 分别为 的中点， ，
平面 平面 ，
平面 ，又 分别是 的中点， ，
，
四边形 是平行四边形， ，
平面 平面 ，
平面 ，
又 ，
平面 平面 ，
