专题13抛物线（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_选修1_06.专项练习_专题13抛物线-高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练

专题13 抛物线 一、单选题 y 1 1．（2020·陕西省西安市远东一中高二期末（理））准线方程为 的抛物线的标准方程是( ) x2 2y y2 2x x2 4y y2 4x A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 p 1 根据题意，抛物线的准线方程为y 1，即其焦点在y轴负半轴上，且 2 ，得 p 2， x2 4y 故其标准方程为 . 故选：C y 2x2 2．（2019·乐清市知临中学高二期末）抛物线 的焦点坐标为（ ） 1 1 (0, ) (0, ) A． 2 B． 8 1 ( ,0) C． 2 D．(1,0) 【答案】B 【解析】 1 x2  y 整理抛物线方程得 2 ， 1 焦点在y轴，P ，  4  1 0,    焦点坐标为 8，故选B. x2 4y y 3．（2020·北京高三月考）抛物线 的准线与 轴的交点的坐标为（ ）1 (0, ) A． 2 B．(0,1) C．(0,2) D．(0,4) 【答案】B 【解析】 y (0,1) 准线方程为： ，与 轴的交点为 ，故选B. x2 4y A A 4．（2020·北京市八一中学高三月考）已知抛物线 上一点 的纵坐标为4，则点 到抛物线焦点 的距离为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】 x2 4y y (0,1) y 1 抛物线 焦点在 轴上，开口向上，所以焦点坐标为 ，准线方程为 ，因为点A的纵坐 415 标为4，所以点A到抛物线准线的距离为 ，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以点A与抛物线焦点的距离为5. 5．（2020·定远县育才学校高二月考（文））已知抛物线 的准线经过点 ，则抛物线 焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由抛物线 得准线 ，因为准线经过点 ，所以 ， 所以抛物线焦点坐标为 ，故答案选 C: y2 2px(p 0) F l l 6．（2020·江苏省泰州中学高二开学考试）已知抛物线 的焦点为 ,准线为 ,且 过点 2,3,M N1,2 MN  MF C 在抛物线 上,若点 ,则 的最小值为 A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B 【解析】 l:x2 由题可得, . MF  x 2 由抛物线的定义可知, M , MN  MF MN x 2123 所以 = M .故选B． C x2 2py(p0) l M 7．（2020·湖北省高三月考（理））已知抛物线 ： 的准线 与圆 ： (x1)2 (y2)2 16 p 相切，则 （ ） A．6 B．8 C．3 D．4 【答案】D 【解析】 p 因为抛物线C:x2 2py的准线为y ， 2 M :x12 y22 16 又准线l与圆 相切， p 所以 24 ，则 p 4. 2 故选D y2 4x x2 2pyp0 2 p 8．（2020·天津高三一模）已知抛物线 与 的焦点间的距离为 ，则 的值为（ ） 2 3 4 6 12 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】  p 0, 抛物线y2 4x的焦点坐标为 1,0 ，抛物线x2 2pyp0的焦点坐标为   2  ，2  p 102  0 2 由已知条件可得   ， ，解得 .  2  p0 p2 3  故选：A. C:x2 6y F l C 9．（2020·陕西省西安市远东一中高二期末（理））已知抛物线 的焦点为 直线 与抛物线 A,B AB |AF ||BF | 交于 两点，若 中点的纵坐标为5，则 （ ） A．8 B．11 C．13 D．16 【答案】C 【解析】 C:x2 6y 抛物线 中p＝3， 设点A（x，y），B（x，y）， 1 1 2 2 由抛物线定义可得：|AF|+|BF|＝y+ y+p＝y+ y+3， 1 2 1 2 y  y 1 2  又线段AB中点M的横坐标为 2 5， y  y ∴ 1 2＝10， ∴|AF|+|BF|＝13； 故选：C. C y2 12x F A C 10．（2020·山东省青岛第一中学高三月考）已知抛物线 ： 的焦点为 ， 为 上一点且在第 AF  一象限，以F 为圆心，FA为半径的圆交 C 的准线于B，D两点，且A，F ，B三点共线，则 （ ） A．16 B．10 C．12 D．8 【答案】C 【解析】 因为A，F ，B三点共线，所以AB为圆F 的直径，AD BD．1 |AD||AF | |AB| 由抛物线定义知 2 ，所以ABD30．因为F 到准线的距离为6， |AF ||BF |2612 所以 ． 故选：C． 二、多选题 y2 2pxp 0 11．（2019·辽宁省高二期末）已知抛物线 上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为 10 和6，则 p的值可取（ ） 1 2 9 18 A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】 p x  10 设 M(x ,y ) ，所以有 y 2 2px ，由点M 到其准线及对称轴的距离分别为10和6，所以有 0 2 ， 0 0 0 0 y 2 2px 0 0   p ，所以有x 0  2 10 p2 20p360 p2 或 .  y 0 6   y 0 6 p 18 故选：BD x2 2py(p0) 12．（2020·山东省高三开学考试）已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q．若抛物线C上存在一点 E(t,2) 到焦点F的距离等于3．则下列说法正确的是（ ） x2 2y y 1 A．抛物线的方程是 B．抛物线的准线是 1 C．sinQMN的最小值是2 D．线段AB的最小值是6 【答案】BC 【解析】  p F 0， p 抛物线C:x2 2pyp 0 的焦点为   2  ，得抛物线的准线方程为y 2 ， p 点 Et，2 到焦点F 的距离等于3，可得 2 2 3 ，解得 p 2， C x2 4y y 1 则抛物线 的方程为 ，准线为 ，故A错误，B正确； F0，1 l 由题知直线 的斜率存在， ， 设 Ax 1 ,y 1  ， Bx 2 ,y 2  ，直线 l 的方程为 y kx1 ， y kx1  由 x2 4y ，消去y得 x2 4kx40 ， x x 4k x x 4 所以 1 2 ， 1 2 ， y  y kx x 24k2 2  2k，2k2 1  所以 1 2 1 2 ，所以AB的中点Q的坐标为 ， AB  y  y  p 4k2 224k2 4 1 2 ，故线段AB的最小值是4，即D错误； r 2k2 2 所以圆Q的半径为 ， y 2k2 1 1 1 1 sinQMN  Q  1 1  在等腰  QMN 中， r 2k2 2 2k2 2 2 2 ，当且仅当k 0时取等号， 1 所以sinQMN的最小值为2 ，即C正确， 故选：BC. 13．（2019·山东省高二期中）已知抛物线 C ： y2 2pxp 0 的焦点为F ，直线的斜率为 3 且经过点 AF 4 F ，直线 l 与抛物线 C 交于点A，B两点（点A在第一象限）、与抛物线的准线交于点D，若 ， 则以下结论正确的是（ ） p 2 BD 2 BF BF 2 A． B．F 为AD中点 C． D． 【答案】ABC 【解析】 AC  C AM  x M BE  E 如图所示：作 准线于 ， 轴于 ， 准线于 .  AFM  直线的斜率为 3，故tanAFM  3 ， 3 ， AF 4 ，故 MF 2 ， AM  3 .  p  A 2,2 3    2 ，代入抛物线得到 p 2； NF  FM 2 ，故 AMF DNF ，故F 为AD中点；  BDE  DB 2 BE 2 BF 6 ，故 ； 4 BF  BD 2 BF BD  BF  DF  AF 4 ， ，故 3 ； ABC 故选： .三、填空题 y 2x2 P x P 14．（2020·黑龙江省铁人中学高二月考（文））设抛物线 上一点 到 轴的距离是4，则点 到该抛物线焦点的距离是______. 33 【答案】 8 【解析】 y 1 x2  y  抛物线方程的标准形式为： 2 ，准线方程为 8， 1 y  由抛物线的定义得：点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线 8的距离d ， 1 33 33 d 4  因为点P到x轴的距离是4，所以 8 8 ，故填： 8 . y ax2 y 2 a 15．（2019·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二月考（理））抛物线 的准线方程是 ，则 ＝ ________.1  【答案】 8 【解析】 1 x2  y 抛物线y ax2 的标准方程为 a , 1 则a＜0且2＝－4a ， 1 得a＝－8. y2 2px A4,m m 16．（2020·北京高三其他）如果抛物线 上一点 到准线的距离是6，那么 ______. 4 2 【答案】 【解析】 p x 抛物线y2 2px的准线方程为 2 ， p 4 6 由题意得 2 ，解得 p 4. A4,m y2 2px ∵点 在抛物线 上， m2 244 m4 2 ∴ ，∴ ， 4 2 故答案为： . y2 4x F F 17．（2019·浙江省诸暨中学高三一模）抛物线 的焦点 坐标为_____，过 的直线交抛物线 y2 4x A B  A  F  2  F  B  A 于 、 两点，若 ，则 点坐标为_____.   1,0 2,2 2 【答案】 【解析】抛物线 y2 4x 的焦点F 的坐标为 1,0 ； 设点 Ax 1 ,y 1  ， Bx 2 ,y 2  ，设直线AB的方程为 xmy1 ， ， ，由 得 ， ，   AF 1x ,y  FBx 1,y    1 1 2 2 AF 2FB 联立 ，消去 得 ， ， 所以 ，解得 ， ， 因此，点 的坐标为 . 故答案为： ； . 四、解答题 18．（2020·四川省阆中中学高二月考（文））已知抛物线 ，双曲线 ，它们有一个共同的焦点. 求：（1）m的值及双曲线的离心率； （2）抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程. 【答案】（1） ， ；（2）准线方程为 ，渐近线方程为 【解析】 （1）抛物线 的焦点为 ， 由双曲线 ，可得 ，解得 ， 双曲线的 ， ，则 ； （2）抛物线 的准线方程为 ，双曲线 的渐近线方程为 . 19．（2019·凤阳县第二中学高二期中（文））抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点（4，4），焦点 为F． （1）求抛物线的焦点坐标和标准方程； （2）P是抛物线上一动点，M是PF的中点，求M的轨迹方程． 【答案】（1）抛物线标准方程为：y2=4x，焦点坐标为F（1，0）；（2）M的轨迹方程为 y2=2x﹣1． 【解析】 （1）抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点（4，4）， 设抛物线解析式为y2=2px，把（4，4）代入，得，16=2×4p，∴p=2∴抛物线标准方程为：y2=4x，焦点坐标为F（1，0） （2）设M（x，y），P（x，y），F（1，0），M是PF的中点，则x+1=2x，0+y="2y" 0 0 0 0 ∴x=2x﹣1，y=2y 0 0 ∵P是抛物线上一动点，∴y2=4x 0 0 ∴（2y）2=4（2x﹣1），化简得，y2=2x﹣1． ∴M的轨迹方程为 y2=2x﹣1． 20．（2020·安徽省高二期末（文））已知抛物线 上的点 到焦点F的距离为 . （1）求 的值； （2）过点 作直线 交抛物线 于 两点，且点 是线段 的中点，求直线 方程. 【答案】（1） ， ；（2） . 【解析】 （1）由抛物线焦半径公式知： ，解得： ， ， ，解得： . （2）设 ， ， 则 ，两式作差得： ， ， 为 的中点， ， ， 直线 的方程为： ，即 . 21．（2020·河南省实验中学高三二模（文））过点P(-4,0)的动直线l与抛物线 相交于D、E两点，已知当 l的斜率为 时， . （1）求抛物线C的方程； （2）设 的中垂线在 轴上的截距为 ,求 的取值范围. 【答案】 ； 【解析】 由题意可知,直线l的方程为 , 与抛物线方程 方程联立可得, , 设 ,由韦达定理可得, , 因为 , , 所以 ,解得 ,所以抛物线C的方程为 ; 设 , 的中点为 , 由 ,消去 可得 , 所以判别式 ,解得 或 , 由韦达定理可得, , 所以 的中垂线方程为 , 令 则 , 因为 或 ,所以 即为所求. 22．（2020·广东省高二期末）已知直线 与抛物线 （ ）相交于A，B两点，且 是等腰直角三角形． （1）求抛物线C的方程； （2）若直线l过定点 ，斜率为k，当k为何值时，直线l与抛物线C只有一个公共点？ 【答案】（1） （2） 或 或 【解析】 （1）直线 与抛物线 （ ）相交于A，B两点， 可设 ， ， 又 是等腰直角三角形，可得 ， 则 ，解得 ， 即有抛物线的方程为 ； （2）直线l过定点 ，斜率为k，可设直线l的方程为 ， 当直线l平行于抛物线的对称轴x轴，可得直线与抛物线只有一个公共点，即 ； 当直线l与抛物线相切时，可得直线与抛物线只有一个公共点， 由 可得 ， ， 由 ，解得 或 ， 综上可得 或 或 ，直线l与抛物线C只有一个公共点． 23．（2019·安徽省阜阳第一中学高二期中（文））已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ，若点 在 上，过 点 作 垂直于 ，交 于 ， 是边长为8的正三角形. （1）求 的方程； （2）过点 的直线 与 交于 ， 两点，若 ，求直线 的方程. 【答案】（1） （2） 或 【解析】 （1） 由 是边长为8的等边三角形，（2） 得 ， 又由抛物线的定义可得 ． 设准线 与 轴交于 ，则 ， 从而 ， 在 中， ，即 ． 所以抛物线 的方程为 ； （2）设直线 ： ，代入 得 ， 设 ， 则 ， ， 因为 ， 所以 ， 设 ，则 ， ， 解得 ， 所以直线方程为 ， 即 或