专题17等差数列（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_选修2_06.专项练习_专题17等差数列-高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练

专题17 等差数列 一、单选题 a  a a a 15 1．（2020·进贤县第一中学高一月考）在等差数列 n 中，已知 3 5 7 ，则该数列前9项和 S  9 （ ） A．18 B．27 C．36 D．45 【答案】D 【解析】 a a 2a 在等差数列 a n  中， a 3 a 5 a 7 3a 5 15,a 5 5 ，所以 S 9  1 2 9 9 2 5 99a 5 9545 . 故选：D 5 2．（2020·江苏省如皋中学高一月考）在等差数列 a n  中， a 1 2 ， a 2  2，则 a 101 的值是（ ） A．49 B．50 C．51 D．52 【答案】D 【解析】 5 5 1 在等差数列 a n  中， a 1 2 ， a 2  2，则公差 d a 2 a 1  2 2 2， 1 a a 100d 2100 52 所以 101 1 2 . 故选：D. 3．（2020·湖南省高三三模（理））《九章算术》大约成书于公元一世纪，是我国古代第一部数学著作， 共收藏了246个与生产实践有关的应用问题，其中有一题：今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末 一尺，重二斤.问次一尺各重几何？其意：现有一根金杖，五尺长，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺， 重量为四斤，在细的一端截下一尺，重量为二斤.问依次每一尺各有多重？假设金杖由粗到细所截得的每尺 a  a 4 a  的重量依次成等差数列 n ， 1 斤，则 2 （ ）A．2.5斤 B．2.75斤 C．3斤 D．3.5斤 【答案】D 【解析】 a a d  5 1 0.5 由题意可知，a 4斤，a 2斤，则公差 51 斤， 1 5 a a d 3.5 故 2 1 斤. 故选:D. 4．（2020·北京理工大学附属中学通州校区高二期中）记 为等差数列 的前n项和．已知 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 分析：等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B， ， ， 排除B，对C， ，排除C．对D， ，排除D，故选A． 详解：由题知， ，解得 ，∴ ，故选A． a  n S a 3, a 11 S  5．（2020·福建省高二期末）等差数列 n 的前 项和为 n，若 2 6 ，则 7 （ ） A．51 B．50 C．49 D．48 【答案】C 【解析】 a d 设等差数列的公差为 ，首项为 1，a d 3 1  所以  a 5d 11 ，解得： a =1,d =2 1 1 76 S 71 249 所以 7 2 . 故选：C S a  n a a 8 S 35 6．（2019·福建省莆田一中高三月考（文））已知 n是等差数列 n 的前 项和， 3 7 ， 7 ， a  则 2 （ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】 a a 82a S 357a 因为 3 7 5， 7 4 a 4,a 5 所以 5 4 ， 故d 1， a a 2d 527 2 4 ， 故选C. a  S n a 0 S 0 7．（2020·进贤县第一中学高一月考）等差数列 n 中， n为它的前 项和，若 1 ， 20 ， S 0 n S 21 ，则当 （ ）时， n最大. 8 9 10 11 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 a  n S S 0 S 0 等差数列 n 中，前 项和为 n，且 20 ， 21 ， 20a a  S  1 20 10a a 0 即 20 2 10 11 ，a a 0， 10 1121a a  S  1 21 21a 0 21 2 11 ，所以，a 0，则a 0， 11 10 S n10 因此，当 时， n最大. 故选：C. a  d n S 8．（2020·安徽师范大学附属中学高一期中）已知 n 是公差为 的等差数列，前 项和是 n，若 S  S  S 9 8 10，则（ ） S 0 S 0 d 0 d 0 A． ， 17 B． ， 17 d 0 S 0 d 0 S 0 C． ， 18 D． ， 18 【答案】D 【解析】  S 9 S 8 S 10， a 9 0 ， a 9 a 10 0 ， a 10 0 ， d 0 . S 17a 0 S 9a a   0 17 9 ， 18 9 10 . 故选：D. 二、多选题 a  n S S 0 a 8 9．（2020·山东省高二期末）设等差数列 n 的前 项和为 n．若 3 ， 4 ，则（ ） S 2n2 6n S n2 3n a 4n8 a 2n A． n B． n C． n D． n 【答案】AC 【解析】 S 3a 3d 0 a 4  3 1  1 设等差数列a n 的公差为 d ，则  a 4 a 1 3d 8 ，解得 d 4 ， nn1d a n a 1 n1d 44n14n8， S n na 1  2 4n2nn12n2 6n . 故选：AC.a  10．（2020·尤溪县第五中学高一月考）设数列 n 是等差数列，S 是其前n项和，a＞0，且S S，则（ n 1 6= 9 ） d 0 a 0 A． ， B． 8 ， C．S＞S， D．S 或S 为S 的最大值 5 6 7 8 n 【答案】ABD 【解析】 a a a 03a 0a 0 根据题意可得 7 8 9 8 8 ， a  数列 n 是等差数列，a＞0， 1 公差d 0， a  所以数列 n 是单调递减数列， d 0 a 0 对于A、B， ， 8 ，显然成立， a 0 S S 对于C，由 6 ，则 5 6，故C不正确； a 0 S S 对于D，由 8 ，则 7 8，又数列为递减数列，则S 或S 为S 的最大值， 7 8 n 故D正确； 故选：ABD S a  a a 24 S 48 11．（2020·寿光市第二中学高三月考）记 n为等差数列 n 的前n项和.若 4 5 ， 6 ，则 下列正确的是（ ） A． a 1 2 B． a 1 2 C． d 4 D． d 4 【答案】AC 【解析】 a a 2a 7d 24 a 2  4 5 1  1 因为  S 6 6a 1 15d 48 ，所以 d 4 ， 故选：AC. S a  n n 12．（2020·诸城市教育科学研究院高二期中）已知 n是等差数列 n ( )的前 项和，且S S S 5 6 4，以下有四个命题，其中正确的有（ ） S  S a  A．数列 n 中的最大项为 10 B．数列 n 的公差 d 0 S 0 S 0 C． 10 D． 11 【答案】BCD 【解析】 S S S a 0 a 0 a a 0 5 6 4，故 6 ， 5 且 5 6 ， S  S 故数列 n 中的最大项为 5，A错误； a  数列 n 的公差 d 0 ，B正确； a a 10 S  1 10 5a a 0 10 2 5 6 ，C正确； a a 11 S  1 11 11a 0 11 2 6 ，D正确； BCD 故选： . 三、填空题 {a } a 5 a a 6 a  13．（2020·湖北省江夏实验高中高一期中）已知 n 是等差数列，且 2 ， 6 4 ，则 1 ________ 【答案】8 【解析】 a d 5 1  依题意  a 5d a 3d 6，解得 a 8 . 1 1 1 故答案为：8 a  n S a a 6 S  14．（2020·北京市第四十四中学高二期中）设等差数列 n 的前 项和为 n， 2 4 ，则 5 ______. 【答案】15【解析】 a  a a 6 数列 n 为等差数列， 2 4 ， a a a a S  1 5 5 2 4 515  5 2 2 . 15 故答案为： . a  n S a 11 S 100 a  15．（2019·全国高三月考（文））等差数列 n 的前 项和为 n， 4 ， 10 ，则 10 ______. 【答案】7 【解析】 10a a  不妨设数列 a n  的公差为d ，故可得a 1 3d 11， 1 2 10 100 ， 2 a 13,d  即 a 3d 11,2a 9d 20 ，解得 1 3. 1 1 a a 9d 7 故可得 10 1 . 故答案为：7. S S 16．设等差数列 a n  的前n项和为 S n ，若 a 2 a 4 a 9 24 ，则 S 9  _____； 8 8  1 1 0 0 的最大值为_____． 【答案】72 64 【解析】 设等差数列的公差为d ， a a a 3a 12d 24 a 4d 8 则 2 4 9 1 ，即 1 ， S 9a 36d 9872 所以 9 1 ， n(n1) na  d S 1 2 n1 n1 ， n  a  d 84d  d n n 1 2 2 S 7 d S 9 d 8 84d  d 8 10 84d  d 8 则 8 2 2 ， 10 2 2 ，S S  d  d  d2 8  10  8 8 64 64    所以 8 10  2 2 4 ， S S 8  10 当且仅当d 0时取等号，所以 8 10 的最大值为64． 故答案为：72；64. 四、解答题 17．（2018·平遥县综合职业技术学校高二期中）在等差数列{a}中，a >0，3a = 7a，求S 取得最大值时 n 1 4 7 n n的值. 【答案】9 【解析】 d 设等差数列{a}的公差为 ， n 因为a >0，3a = 7a， 1 4 7 3a 3d7a 6d 1 1 4a 33d 0 化为 1 33d a  即 1 4 ，则d 0， d 3d a a 8d  0,a a 9d  0 9 1 4 10 1 4 ， 所以前9项和最大. 即S 取得最大值时n的值为9. n 18．（2020·毕节市实验高级中学高一期中）已知数列{a}是一个等差数列，且a＝1，a＝－5. n 2 5 (1)求{a}的通项a； n n (2)求{a}前n项和S 的最大值． n n 【答案】（1）a＝－2n＋5.（2）4 n 【解析】 （Ⅰ）设{a }的公差为d，由已知条件，，解出a＝3，d＝－2． n 1 所以a＝a＋(n－1)d＝－2n＋5． n 1（Ⅱ）S＝na＋d＝－n2＋4n＝－(n－2)2＋4，所以n＝2时，S 取到最大值4． n 1 n 19.（2020·福建省高三月考（文）） 为数列{ }的前 项和.已知 ＞0， = . （Ⅰ）求{ }的通项公式； （Ⅱ）设 ,求数列{ }的前 项和. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】 （I）由a2+2a＝4S+3，可知a 2+2a ＝4S +3 n n n n+1 n+1 n+1 两式相减得a 2﹣a2+2（a ﹣a）＝4a ， n+1 n n+1 n n+1 即2（a +a）＝a 2﹣a2＝（a +a）（a ﹣a）， n+1 n n+1 n n+1 n n+1 n ∵a＞0，∴a ﹣a＝2， n n+1 n ∵a2+2a＝4a+3， 1 1 1 ∴a＝﹣1（舍）或a＝3， 1 1 则{a}是首项为3，公差d＝2的等差数列， n ∴{a}的通项公式a＝3+2（n﹣1）＝2n+1： n n （Ⅱ）∵a＝2n+1， n ∴b （ ）， n ∴数列{b}的前n项和T （ ） （ ） . n n a  n S S n2a n2(n1) 20．（2020·进贤县第一中学高一月考）已知数列 n 的前 项和为 n, 满足 n n , 且 1 a  1 2. n1 (1) 令 b n  n S n, 证明: b n b n1 n(n2) ； (2) 求 a n  的通项公式.2n1 a  【答案】（1）见解析（2） n 2 【解析】 （1）证明：∵S=n2a﹣n2（n﹣1）， n n ∴n≥2时，S=n2（S﹣S ）﹣n2（n﹣1）， n n n﹣1 n1 n S 化为： n S﹣n1 n1=n， n n1 S ∵b= n n，∴b﹣b =n（n≥2）． n n n﹣1 （2）解：b=2a=1． 1 1 nn1 ∴b n =n+（n﹣1）+……+2+1= 2 ． n1 nn1 n2 S ∴b n = n n= 2 ，可得S n = 2 ． n2 (n1)2 2n1 ∴a n =S n ﹣S n﹣1 = 2 ﹣ 2 = 2 （n≥2），n=1时也符合． 2n1 ∴a= 2 ． n a  n S a2 a2 8 21．（2020·湖北省高三三模（文））已知等差数列 n 的前 项和为 n，且满足： 1 5 ， a a 5 1 2 . a  （1）求数列 n 的通项公式； S   n （2）记数列 n 的前n项和为T ，求T 取得最大值时n的值. n n 17 3 a   n  nN 【答案】（1） n 5 5 （2）10【解析】 2a d 5  1 设差等数列 a n  公差为 d ，依题意有  a 1 2 a 1 4d2 8 .  14 a    1 5  解之得 3，则 14  3 17 3 ，  d  a  n1      n  5 n 5  5 5 5 17 3 故 a n  的通项公式为： a n  5  5 n  nN . nn1 S d 14 1  3 S na  d n a n1  n1     0 （2）由 n 1 2 ，得 n 1 2 5 2  5 ， 3 14 31 n1 n 所以10 5 ，即 3 ，由nN，故n10， T n 故 n取最大值时 的值为10. a  n S a S 5 22．（2020·安徽师范大学附属中学高一期中）设等差数列 n 的前 项和为 n， 2 2 ， S 15 5 . a  （1）求数列 n 的通项公式； b 1n a b  T （2）若 n n，求数列 n 的前20项和 20. a n 10 【答案】（1） n （2） 【解析】 a  d a S 3a 2d 5 （1）设等差数列 n 的公差为 ，由 2 2 1 ， S 5a 10d 15 a 2d 3 5 1 ，即 1 ，3a 2d 5 a 1  1  1 所以  a 1 2d 3 ，解得 d 1 ， a 1n1n 所以 n . b 1n a （2）因为 n n， T b b b b ...b b 所以 20 1 2 3 4 19 20 a a a a ...a a  1 2 3 4 19 20 d d ...d 10d 10110 .