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专题2.4 期中真题模拟卷04（1-3 章）
一．选择题（共12小题）
1．（2020·吉林朝阳·长春外国语学校期末（文））有下列四个命题，其中真命题是
（ ）．
A． ， B． ， ，
C． ， ， D． ，
【答案】B
【解析】
对于选项A，令 ，则 ，故A错；
对于选项B，令 ，则 ， 显然成立，故B正确；
对于选项C，令 ，则 显然无解，故C错；
对于选项D，令 ，则 显然不成立，故D错.
故选B
2．（2020·浙江） 的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】
求解不等式 可得 ，
结合所给的选项可知 的一个必要不充分条件是 .
本题选择B选项.
3．（2020·六盘山高级中学期末（文））下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】A
【解析】
对于选项 ，若 ，所以 ，则 ，所以该选项正确；
对于选项 ， 符号不能确定，所以该选项错误；
对于选项 ，设 ，所以 ，所以
该选项错误；对于选项 ，设 ，所以该选项错误；
故选：A
4．（2020·江西省奉新县第一中学月考（文））下列不等式中，正确的是（ ）
A．a＋ ≥4 B．a2＋b2≥4ab
C． ≥ D．x2＋ ≥2
【答案】D
【解析】
a＜0，则a＋ ≥4不成立，故A错；
a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错，
a＝4，b＝16，则 ＜ ，故C错；
由基本不等式得x2＋ ≥ 2 可知D项正确.
故选：D.
5．（2020·四川省绵阳江油中学期中）已知 ， ， ，则
的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解：因为 ，所以 ，即 ，
因为 ， ，所以 ， ，所以
当且仅当 即 ， 时取等号，
故选：C
6．（2020·安徽宣城期末（理））已知m， ， ，则 的最小值为（
）
A． B．7 C．8 D．4
【答案】A
【解析】∵m， ， ，
∴ ，
当且仅当 且 ，即 ， 时取等号，
故 的最小值 .
故选：A.
7．（2020·江西省信丰中学月考）不等式 的解集为（ ）
A．[0，1] B．（0，1]
C．（﹣∞，0]∪[1，+∞） D．（﹣∞，0）∪[1，+∞）
【答案】B
【解析】
根据题意， 且 ，
解得 ，
即不等式的解集为（0，1]，
故选：B
8．（2020·铅山县第一中学月考）已知 ， ，则 等于（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：设 ，则 ，
， ，
解得 ．
故选：B．
9．（2020·江苏宝应中学）已知定义在 上的奇函数 满足：当 时，
，若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由于函数 为 上的奇函数，则 .当 时， ，则 .
所以，对任意的 ， ，则函数 为 上的增函数.
由 可得 ，即 ，
由题意可知，不等式 对任意的实数 恒成立.
①当 时，则有 ，在 不恒成立；
②当 时，则 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：A．
10．（2020·福建省泰宁第一中学月考（理））下列函数中，既是偶函数又在区间
（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y＝x2+2x B．y＝x3 C．y＝lnx D．y＝x2
【答案】D
【解析】
A选项：y＝x2+2x是非奇非偶函数所以，所以不是偶函数，不合题意；
B选项：y＝x3是奇函数，不合题意；
C选项：y＝lnx是非奇非偶函数，所以不是偶函数，不合题意；
D选项：y＝x2既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增.
故选：D11．（2020·洛阳市第一高级中学月考（理））已知函数 是幂函
数，对任意的 且 ，满足 ，若
，则 的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
【答案】B
【解析】
由题可知：函数 是幂函数
则 或
又对任意的 且 ，满足
所以函数 为 的增函数，故
所以 ，又 ，
所以 为 单调递增的奇函数
由 ，则 ，所以
则
故选：B12．（2019·甘肃酒泉月考）已知 是定义在 上的奇函数，对任意的
，均有 ．当 时， ，
，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由f（x）=1-f（1-x），得 f（1）=1，
令 ，则 ，
∵当x∈[0，1]时，
∴ ，
即
，∵对任意的x，x∈[-1，1]，均有（x-x）（f（x）-f（x））≥0 ，
1 2 2 1 2 1
同理 ．
∵f（x）是奇函数，
∴
故选：C．
二．填空题（共6小题）
13．（2020·邢台市第八中学期末）已知条件 ；条件
，若 是 的充分不必要条件，则实数m的取值范围是
__________．
【答案】 或
【解析】
∵条件 ；∴ ，∴ 或 ，
∵条件 ，，∴ 或 ，
若 是 的充分不必要条件，则 ，解得： 或故答案为 或
14．（2020·江苏扬中市第二高级中学）已知 ，且 ，则
的最小值为_________．
【答案】4
【解析】
， ,
，当且仅当 =4时取等号，
结合 ,解得 ，或 时，等号成立.
故答案为：
15．（2020·横峰中学（理））已知正实数 ， 满足 ，则 的最小
值为______．
【答案】
【解析】
正实数 ， ，即 ， ；
，则 ，
那么：
当且仅当 时，即取等号．
的最小值为： ，
故答案为： ．
16．（2020·浙江）若 对 恒成立，则实数 的取值范围
为______.
【答案】
【解析】
因为 对 恒成立，
当 时， 或 恒成立，
因此 ；当 时， 恒成立，
因此 ；
综上：
故答案为：
17．（2020·甘谷县第四中学月考（文）） 已知函数 是幂函
数，且 在 上单调递增，则实数 ________.
【答案】2
【解析】
由题意，函数 是幂函数，
可得 ，即 ，解得 或 ，
当 时，函数 ，此时 在 上单调递增，符合题意；
当 时，函数 ，此时 在 上单调递减，不符合题意，
故答案为： .
18．（2020·洛阳市第一高级中学月考（文））已知 是定义域为 的奇函数，
满足 ，若 ，则________.
【答案】0.
【解析】
因为 是定义域为 的奇函数，
所以 且
又
所以
所以
所以函数 的周期为 ，又因为 、 ，
在 中，令 ，可得：
在 中，令 ，可得：
在 中，令 ，可得：
所以
故答案为：0.
三．解析题（共6小题）
19．（2020·安徽师范大学附属中学（文））已知函数 ．（1）解不等式 ；
（2）记函数 的值域为 ，若 ，求 的最小值．
【答案】（1） ；（2）17.
【解析】
解：（1）依题意，得 于是 或
或 ，解得 .即不等式 的解集为 .
（2）证明： ，
当且仅当 时，取等号，所以 .
则 在 单调递增，
所以 .所以 的最小值为17.20．（2020·甘谷县第四中学月考（理））设 实数 满足 ， 实数
满足 .
（1）若 ，且 为真，求实数 的取值范围；
（2）若其中 且 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
对于 ：由 得 ，解
（1）当 时，对于 ： ，解得 ，由于 为
真，所以 都为真命题，所以 解得 ，所以实数 的取值范围是
.
（2）当 时，对于 ： ，解得 .由于
是 的充分不必要条件，所以 是 的必要不充分条件，所以 ，解得
.所以实数 的取值范围是 .21．（2020·福建省泰宁第一中学月考（理））已知函数 对任意 满足：
，二次函数 满足： 且 ．
（1）求 ， 的解析式；
（2）若 时，恒有 成立，求 的最大值．
【答案】（1）求 ， ；（2） 的最大值5.
【解析】
（1） ①，
用 代替上式中的 ，
得 ②，
联立①②，可得 ；
设 ，
所以 ，
即
所以 ，解得 ， ，
又 ，得 ，所以 .（2）令 ，
即
解得
所以当 时，
若要求 时，恒有 成立，
可得 ，即 的最大值是 .
22．（2019·贵溪市实验中学月考（理））已知函数 ．
（1）对任意 恒成立，求实数 的取值范围：
（2）函数 ，设函数 ，若函数 有且只有两个零
点，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
解：（1） 的定义域为R，
，故函数 关于y轴对称，
当 时， ，
当 时， ，
对任意 恒成立，即有 ，
故实数 的取值范围为 ．
（2）显然 不是函数 的零点．
故函数 有且只有两个零点．
与 的图象有两个交点．
当 时， ，
恒成立，
故函数 在 单调递增，在 单调递增，
且当 时， 时，函数 ，
当 时， 时，函数 ，时，函数 ，
当 时， ，
令 ，因为 ，故解得 ，
当 时， ，故在 单调递增，
当 时， ，故在 单调递减，
函数 的图像如图所示，
根据图象可得，实数 的取值范围为 ．
23．（2020·甘谷县第四中学月考（理））已知函数 是定义在 上，若对于任意
，都有 且 时，有 .（1）证明： 在 上为奇函数，且为单调递增函数；
（2）解不等式 ；
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
（1）证明：令 有 ，
令 ， ，即 ，
所以 是奇函数.
又令 ，则 = ，
又当 时，有 ， ，
∴ ，即 ，
∴ 在定义域 上为单调递增函数；
（2）∵ 在 上为单调递增的奇函数，有 ，
则 ，∴ ，即 ， ，
解得不等式的解集为 .
24．（2020·郁南县连滩中学期中）已知函数 ，且 .
（1）求 的值；
（2）证明 的奇偶性；
（3）判断 在 上的单调性，并给予证明.
【答案】（1） ；（2）奇函数，证明见解析；（3）单调增函数，证明见解析.
【解析】
（1） ，解得 ；
（2）因为 ，定义域为 ，关于原点对称，
又 ，因此，函数 为奇函数；
（3）设 ，则，
因为 ，所以 ，所以 ，
因此，函数 在 上为单调增函数.
