专题4.3等比数列（B卷提升篇）解析版_E015高中全科试卷_数学试题_选修2_01.同步练习_同步练习（第四套）_专题4.3等比数列（B卷提升篇）

专题4. 3等比数列（B 卷提升篇）（人教A版第二册,浙江专用） 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分） 1．（2020·浙江其他）正项等比数列 中， ， ，则 的值是（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】A 【解析】 ， ， ， ， . 故选：A. 2．（2020·黑龙江让胡路·铁人中学高一期末）已知等比数列 的前 项和 ，则 （ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】 根据题意，等比数列 的前 项和 ， 则 ， ， ， 则有 ，解得 ， 故选： .3．（2020·广东云浮·高一期末）在正项等比数列 中，若 ，则 （ ）． A．5 B．6 C．10 D．11 【答案】D 【解析】 因为 ，且 为等比数列，所以 ， 所以 . 故选：D. 4．（2020·浙江瓯海·温州中学高二期末）已知等比数列 的前n项和为 ，则“ ”是“ ” 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 由于数列 是等比数列，所以 ，由于 ，所以 ， 所以“ ”是“ ”的充要条件. 故选：C a  n S a 2 5．（2020·唐山市第十二高级中学高一期末）由实数构成的等比数列 n 的前 项和为 n， 1 ，且 a 4,a ,a S  2 3 4成等差数列，则 6 （ ） A．62 B．124 C．126 D．154 【答案】C 【解析】2aq2 aq4aq3 1 1 1  由题意知， 2a 3 a 2 4a 4 ，设a n 的公比为 q ，则  a 1 2 解得 q 2 ，则 2  126 S  126 . 6 12 故选C. 6.（2020·河北运河·沧州市一中月考）已知等比数列 中，各项都是正数，且 、 、 成等差数 列，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 设等比数列 的公比为 ，则 ， 由于 、 、 成等差数列，则 ，即 ，整理得 ， ，解得 ， 因此， . 故选：D. 7．（2020·河北邢台·期中）已知等比数列 的前n项和与前n项积分别为 ， ，公比为正数，且 ， ，则使 成立的n的最大值为（ ） A．8 B．9 C．12 D．13 【答案】C 【解析】因为 ， ，公比为正数显然不为1，所以 ，解得 ， ， 所以 ，则 ， 要使 ，则 ，解得 ， 故n的最大值为12. 故选：C. 8．（2020·广西壮族自治区南宁三中高一期末）著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音 乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理 论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度 a ,a ,,a 的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中 1 2 13表 12 a  示这些半音的频率，它们满足 log  i1  1i 1,2,,12 .若某一半音与 的频率之比为 ，则该 2 a  i  D# 3 2 半音为（ ） 频率 a a a a a a a a a a a a a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 半音 C C# D D# E F F# G G# A A# B C（八度） F# G# A． B．G C． D．A 【答案】B 【解析】 a 0n1,2, ,12,13 依题意可知 n  . 12 12 a  a  a 1 由于 满足 log  i1  1i 1,2,,12 ，则 i1  2 i1 212 ，所以数列 a ,a ,,a 2  a   a  a 1 2 13 i i i1 a n n1,2,  ,12,13 为等比数列，设公比q 212， D#对应的频率为a 4 ，题目所求半音与 D#的频率 4 1  1  4  1  之比为3 2 23 212 ，所以所求半音对应的频率为 a 4 212  a 8.即对应的半音为 .     G 故选：B 9．（2020·江西新余·其他）在等比数列 中， ，则能使不等式 成立的最大正整数 是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】 ∵在等比数列 中， ， ∴公比 ， ∴ 时， ； 时， . ∵ ， ∴ ， ， ， ∴ ， 又当 时， ， ∴使不等式 成立的 的最大值为 . 故选：C10．（2020·湖北恩施土家族苗族高中月考）已知等差数列 的前n项和为 ，记 的最大值为S， ，正项等比数列 的公比为q，满足 ，且 ，则使 ，成立的n的最小值 为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解析】 由题可设等差数列 的公差为d， ∵ ， ∴ ， ， ； 当 时， 有最大值 ， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ， ， 要使 成立， 即 ，且 ， ∴ ， 则n的最小值为3. 故选：D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2020·武汉外国语学校其他（文））已知 是各项均为正数的等比数列， ， ， ，则数列 的前10项和为_______． 【答案】60 【解析】 设数列 公比为q，由 ，则 ，解得 或 ，因为 ，所以 ． 则 ， ，得 ， ， 数列 的前10项和 ． 故答案为：60 12．（2020·滨海县八滩中学二模）已知等比数列 的前n和为 ，若 成等差数列，且 ， ，则 的值为_______________． 【答案】107 【解析】 由题意可设等比数列 的公比为 ，首项为 ， 由 成等差数列可得： ，代入可得： ，解得： 或 ， 又因为 ，易知 ， 又因为 ， ，所以 ， ， 故答案为：107. 13．（2020·安徽合肥·三模（文））已知数列 中 ，数列 的前n项和 ．若数列 的前 项和 对于 都成立，则实数 的最小值等于_____． 【答案】4 【解析】 由数列 的前 项和 得， 当 时，有 ， 当 时，有 也适合上式， 故 ， ， ， ， ， 由 得： ，即 . 又 对于 都成立， 所以 ,故实数 的最小值等于 . 故答案为：4. 14．（2020·云南省玉溪第一中学高二期中（理））在数列 中， 是方程 的两根， 表示数列 的前n项和. （1）若 是等比数列，则 _______；（2）若 是等差数列，则 _________. 【答案】 【解析】 ∵ 是方程 的两根， ∴ ， ∴若 是等比数列，则 ； 若 是等差数列，则 ， 故答案为： ， 15．（2020·北京海淀·人大附中高三开学考试）已知 是等差数列， 是公比为c的等比数列， ，则数列 的前10项和为__________，数列 的前10项和为__________（用 c表示）． 【答案】100 【解析】因为 是等差数列， ， 所以 ， 解得 ， 所以 ， 所以 因为 是公比为c的等比数列，且 ， 所以 ， 故 ， 当 时， ， 当 时， ， 综上 , 故答案为：100； 16．（2020·江苏南通市·高二期中）一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将中间的一个小正方形挖 掉(如图（1）)；再将剩余的每个小正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个小正方形挖掉得图 （2）；如此继续下去……．设原正方形的边长为1，则第3个图中共挖掉____个正方形，第n个图中所有 挖掉的正方形的面积和为_____．【答案】73 【解析】 记第 个图形中共挖掉 个正方形，则 ， 所以 ， 个， ， 记第 个图形中共挖掉的正方形的面积为 ， 则 ， ， ， ， ， 将以上 个等式相加得 .故答案为：73； . 17．（2020·重庆北碚区·西南大学附中高三月考）已知正项等比数列 中， ，则 __________，又数列 满足 ；若 为数列 的前n项和，那么 _____________. 【答案】 【解析】 因为 ，所以 . 因为 ，所以 ， 即 ，解得 或 . 当 时，代入 ，解得 （舍去） 当 时，代入 ，解得 ，所以 . 因为 ， ， 所以 ， ， ， ， ……，所以 是以周期为 的循环数列. 因为 为数列 的前n项和，所以 ， 设 ， ， 所以 是以首项 ，公比为 的等比数列. 所以 . 故答案为： ； 三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分） 18．（2020·石嘴山市第三中学高三月考（文））等差数列 满足 ， . （1）求 的通项公式. （2）设等比数列 满足 ， ，求数列 的前n项和. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 ( )∵ 是等差数列， ， ∴解出 ， ， ∴ .( )∵ ， ， 是等比数列， ， ∴b=4 1 19．（2020·吉林高三其他模拟（文））已知等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，且 . （1）若 ，求 的通项公式； （2）若 ， ，求数列 的前10项和 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）由 ，得 ， 则 或 . 当 时， ，则 ； 当 时， ，则 . （2）因为 ，所以 ，所以 . 因为 ，所以 .因为 ， 所以 的取值范围为 . 20．（2020·吉林油田高级中学高一期末（理））已知在等比数列 中， ，数列 满足 . （1）求数列 ， 的通项公式； （2）设数列 的前 项和为 ，若任意 ， 恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1） ， ；（2） . 【解析】 (1)设公比为 ， ， 则 ，解得 ， . ， 当 时， ， 当 时， ，即 . ∴ ； （2） ， ， 两式相减得： . ∴ ，有 ，， 记 ，则 ， ∴ ， ∴数列 递增，其最小值为 . 故 . 21．（2020·浙江高一期末）设数列 的前 项和为 ，若 ． （Ⅰ）证明 为等比数列并求数列 的通项公式； （Ⅱ）设 ，数列 的前 项和为 ，求 ； （Ⅲ）求证： ． 【答案】（Ⅰ）证明见解析； ；（Ⅱ） ；（Ⅲ）证明见解析. 【解析】 （Ⅰ）由 得，当 时， 两式作差得： ，即 ，即 ， 令 得 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列． 所以 ，故 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，两式作差得： 所以 ． （Ⅲ）由（Ⅰ）知 ，则 ， 恒成立， ，即 所以 ， 所以 ． 22．（2020·河南高二月考（理））已知数列 满足 ，且 . （1）求数列 的通项， （2）设 ， ，求证： .【答案】（1） ；（2）证明见解析. 【解析】 （1）由 得 ， 两式相除得 ， 所以 ， 都是公比为2的等比数列， 由 及 得 ， 又 ，所以 ， 所以n为奇数时 ， n为偶数时 ， 所以 ； （2） ， ， 设 ， 则 ， 两式相减得， 所以 ， ， 因为 所以 所以 所以 所以 单调递增 所以 成立 所以 .