2025一2026学年度上期高2028届期末考试数学答案_2024-2025高一（7-7月题库）_2026年1月高一_260128四川省成都市第七中学2025一2026学年度上期高一期末考试（全）

2025-2026 学年度上期高 2028 届期末考试 数学试卷（答案） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1. B 2. C 3. C 4. A 5. A 6. D 7. C 8. D 二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每个小题给出的四个选项中，有多个项 是符合题目要求的. 全部选对的得 6 分，部分答对给部分分，有错选得 0 分. 9. AC 10. ABD 11. ABC 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 5 12. 16 13. 14. 8 4 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 解答 √ 3 𝜋 𝜋 （1） 由题知 sin𝜑= , 又 |𝜑|< ，故 𝜑= ．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2 分 2 2 3 最小正周期：𝑇 =𝜋. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4 分 𝜋 𝜋 𝜋 𝑘𝜋 对称轴：令 2𝑥+ = +𝑘𝜋,𝑘 ∈Z，得 𝑥= + ,𝑘 ∈Z. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分 3 2 12 2 √ 𝜋 1 3 （2） 𝑔(𝑥)=sin(2𝑥+ )+sin(2𝑥)= sin(2𝑥)+ cos(2𝑥)+sin(2𝑥)⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9 分 3 2 2 √ 𝜋 = 3sin(2𝑥+ ). ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅11 分 6 𝜋 𝜋 𝜋 单调递增区间：令 − +2𝑘𝜋 <2𝑥+ < +2𝑘𝜋(𝑘 ∈Z), 2 6 2 𝜋 𝜋 可得 𝑥∈(− +𝑘𝜋, +𝑘𝜋),𝑘 ∈Z. 3 6 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 13 分 16. 解答 𝜋 （1） 令 𝑡=sin𝑥, 由 𝑥∈[0, ] 知 𝑡∈[0,1], 𝑦 =𝑓(𝑡)=2𝑡2−4𝑡+1=2(𝑡−1) 2 −1. ⋅⋅⋅⋅4 分 2 当 𝑡=0 时，即 𝑥=0 时，𝑦 =𝑓(sin𝑥) 取最大值，最大值为 1.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6 分 数学试题第1页（共4页）18. 解答 102𝑥+10−2𝑥+2 102𝑥+10−2𝑥−2 （1） ∀𝑥∈ℝ,[𝑔(𝑥)]2−[𝑓(𝑥)]2 = − =1 ． 4 4 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3 分 10𝑥−10−𝑥 102𝑥−1 2 （2） 1𝐹(𝑥)= = =1− ．𝐹(𝑥) 定义域为 R ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4 分 10𝑥+10−𝑥 102𝑥+1 102𝑥+1 10−𝑥−10𝑥 且 ∀𝑥∈ℝ,𝐹(−𝑥)= =−𝐹(𝑥) ，因此 𝐹(𝑥) 是奇函数．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6 分 10−𝑥+10𝑥 2 2 2(102𝑥 1 −102𝑥 2) ∀𝑥 <𝑥 ，𝐹(𝑥 )−𝐹(𝑥 )= − = ， 1 2 1 2 102𝑥 +1 102𝑥 +1 (102𝑥 +1)(102𝑥 +1) 2 1 1 2 由 102𝑥 1 <102𝑥 2，且 (102𝑥 1 +1)(102𝑥 2 +1)>0, 可得 𝐹(𝑥 1 )<𝐹(𝑥 2 ), 故 𝐹(𝑥) 在定义域 ℝ 上单调递增．故 𝐹(𝑥) 为 ℝ 上的奇函数且为增函数．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10 分 2由题知 𝑥 =𝑚,𝑚∈Z ．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅11 分 0 1 1 由 𝐹(𝑥) 为奇函数，可得 𝐹 (|𝑥 |)<−𝐹 (ℎ(𝑥 + )−7)=𝐹 (7−ℎ(𝑥 + )). 又有 0 0 2 0 2 1 𝐹(𝑥) 单调递增，则 |𝑥 |<7−ℎ(𝑥 + ) ．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅13 分 0 0 2 1 当 𝑥 =2𝑘,𝑘 ∈Z 时, ℎ(𝑥 + )=1 ，则 |𝑥 |<6 ，可得 𝑥 =0,±2,±4 ，共 5 个． 0 0 2 0 0 1 当 𝑥 = 2𝑘+1,𝑘 ∈ Z 时, ℎ(𝑥 + ) = −1 ，则 |𝑥 | < 8 ，可得 𝑥 = ±1,±3,±5,±7 ， 0 0 2 0 0 共 8 个． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅16 分 综上，满足条件的 𝑥 的个数为 13 个．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅17 分 0 19. 解答 𝜋 （1） 函数 𝑦 =−𝑥2+2𝑥 在区间 (0,1) 上有 𝑀 性质，函数 𝑦 =sin𝑥 在区间 (0, ) 上没有 𝑀 2 性质. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4 分 𝑒2𝑥+𝑘 >0 （2） 根据题意，即 ln(𝑒2𝑥+𝑘)−ln(𝑘+1)>𝑥,∀𝑥∈(0,1) 恒成立. 考虑 { 对任 𝑘+1>0 意 𝑥∈(0,1) 恒成立，所以 𝑘 >−1 ．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6 分 由 ln(𝑒2𝑥+𝑘)>ln(𝑘+1)+𝑥=ln(𝑘+1)+ln𝑒𝑥 =ln((𝑘+1)𝑒𝑥) ， 根据对数函数单调性，则 𝑒2𝑥+𝑘 >(𝑘+1)𝑒𝑥 . 令 𝑒𝑥 =𝑡∈(1,𝑒), 考虑一元二次不等式 𝑡2−(𝑘+1)𝑡+𝑘 >0 恒成立，故 (𝑡−𝑘)(𝑡−1)>0 ，即 𝑡>𝑘 恒成 立，所以 𝑘 的取值范围为 (−1,1]．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12 分 数学试题第3页（共4页）（3） 1 由（1）, ∀𝑥∈(0,1),𝑓(𝑥)>𝑥 ，根据 𝑓(𝑥) 在 (0,1) 上单调递增，且值域为 (0,1) ，得 𝑓(𝑓(𝑥))>𝑓(𝑥)>𝑥. 再次使用单调性, 得 𝑓(𝑓(𝑓(𝑥))) > 𝑓(𝑓(𝑥)) > 𝑓(𝑥) > 𝑥, 所以 𝑦 = 𝑓(𝑓(𝑓(𝑥))) 在 (0,1) 上 具有 𝑀 性质．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅14 分 2 根据题意 𝐴 𝐵 = (0,1). 若 𝑥 ∈ 𝐵 ，则 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) > 𝑥 ，取 𝑦 ∈ (𝑥,𝑓(𝑥)) . 若 𝑦 ∉𝐵, 则 𝑦 ∈𝐴 ，所以 𝑔(𝑦)=𝑦 <𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥), 但 𝑦 >𝑥 ，这与 𝑔(𝑥) 是增函数矛盾．故 [𝑥,𝑔(𝑥)] 𝐵. 当 𝑥 ∈𝐵,𝑔(𝑥 )=𝑓(𝑥 ) ，故 0 0 0 0<𝑥 <𝑔(𝑥 )<1 0 0 再根据 𝑔(𝑥) 的单调性，则 0<𝑔(𝑥 )<𝑔(𝑔(𝑥 ))<1 ． 0 0 记 𝑥 = 𝑔(𝑥 ) = −𝑥2+2𝑥 ∈ (0,1),𝑥 = 𝑔(𝑥 ) = −𝑥2+2𝑥 ∈ (0,1),⋯,𝑥 = 𝑔(𝑥 ) = 1 0 0 0 2 1 1 1 𝑛 𝑛−1 −𝑥2 +2𝑥 ,⋯⋯ 𝑛−1 𝑛−1 所以 [𝑥 ,𝑥 ] 𝐵 ，同理 [𝑥 ,𝑥 ] 𝐵,⋯,[𝑥 ,𝑥 ] 𝐵⋯ 0 1 1 2 𝑛−1 𝑛 由于 1−𝑥 =1+𝑥2 −2𝑥 =(1−𝑥 ) 2 , 𝑛 𝑛−1 𝑛−1 𝑛−1 所以 1−𝑥 =(1−𝑥 ) 2 =(1−𝑥 ) 22 =⋯=(1−𝑥 ) 2𝑛 . 𝑛 𝑛−1 𝑛−2 0 1 1 2026 取 𝑥 = , 故取自然数 𝑛⩾log log (1−(1−( ) ))=log 2026. 0 2 2 1 2 2 2 1 2026 1 1 2026 即 1−( ) ∈[ ,𝑥 ] 𝐵 ，所以 1−( ) 属于 𝐵. ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅17 分 2 2 𝑛 2 数学试题第4页（共4页）