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3.2.1双曲线及其标准方程 -A基础练
一、选择题
1．（2020·全国高二课时练习）已知点 的坐标满足 ，
则动点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支
【答案】B
【解析】设 ，则由已知得 即动点P到两个定点A､B的距离之差
的绝对值等于常数 ，又 ，且 ，所以根据双曲线的定义知，动点P的轨迹是双曲
线.故选：B
2.（2020·广东云浮·高二期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点P是该双曲
线上的一点，且 ，则 （ ）
A．2或18 B．2 C．18 D．4
【答案】C
【解析】在双曲线 中， ， ， ，因为 ，
所以点P在该双曲线左支上，则 ，故选：C.
3．（2020·全国高二课时练习）已知F是双曲线C： 的右焦点，P是C上一点，且PF
与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则 的面积为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 得 ，所以 ，将 代入 ，得 ，所以，又点A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为 ，选D．
4．（2020·梅河口市第五中学高二月考）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入
微”事
实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与 相关的代数问
题，可以转化为点 与点 之间的距离的几何问题．结合上述观点，可得方程
的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，得 ，
其几何意义为平面内动点 与两定点 ， 距离差的绝对值为4．
平面内动点与两定点 ， 距离差的绝对值为4的点的轨迹是双曲线，
由题得 ，解之得 .
所以平面内动点与两定点 ， 距离差的绝对值为4的点的轨迹方程是
．联立 ，解得 ．故选：C．
5．（多选题）（2020·无锡市第一中学期中）已知 两监测点间距离为800米，且 监测点听到
爆炸声的时间比 监测点迟2秒，设声速为340米/秒，下列说法正确的是（ ）
A．爆炸点在以 为焦点的椭圆上B．爆炸点在以 为焦点的双曲线的一支上
C．若 监测点的声强是 监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到 监测点的距离
为 米
D．若 监测点的声强是 监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到 监测点的距离
为 米
【答案】BD
【解析】依题意， 两监测点间距离为800米，且 监测点听到爆炸声的时间比 监测点迟2
秒，
设爆炸点为 ，则 ，所以爆炸点在以 为焦点的双曲线的一
支上.所以A选项错误，B选项正确.若 监测点的声强是 监测点的4倍(声强与距离的平方成反
比)，所以 ，即 ，结合 可得 .
所以C选项错误，D选项正确.故选：BD
6．（多选题）若方程 所表示的曲线为 ,则下面四个命题中错误的是（ ）
A．若 为椭圆,则 B．若 为双曲线,则 或
C．曲线 可能是圆 D．若 为椭圆，且长轴在 轴上，则
【答案】AD
【解析】若 ，则方程可变形为 ，它表示焦点在 轴上的双曲线；若 ，则方程可变形为 ，它表示焦点在 轴上的双曲线；
若 ，则 ，故方程 表示焦点在 轴上的椭圆；
若 ，则 ，故方程 表示焦点在 轴上的椭圆；
若 ，方程 即为 ，它表示圆，综上，选AD.
二、填空 题
7. （2020·全国高二课时练）已知双曲线 的一个焦点是 ，椭圆
的焦距等于 ，则 ________．
【答案】5
【解析】因为双曲线的焦点是 ，所以双曲线的标准方程是 ，即
， ，即 ，所以椭圆方程是 ，因为焦距
，所以 ，即 ，解得 .
8.若双曲线 的一个焦点到坐标原点的距离为3，则m的值为______.
【答案】7或
【解析】依题意可知 ，当双曲线的焦点在x轴上时， ，所以 ；
当双曲线的焦点在y轴上时， ，所以 综上， 或 .
x2
9. （2020·全国高二课时练）若双曲线 -y2=1(n>1)的左、右焦点分别为F,F,点P在双曲线上,且满
1 2
n
足|PF |+|PF |=2√n+2,则△PFF 的面积为______.
1 2 1 2【答案】1
【解析】设点P在双曲线的右支上,则|PF |-|PF |=2√n,已知|PF |+|PF |=2√n+2,
1 2 1 2
解得|PF |=√n+2+√n,|PF |=√n+2-√n,|PF |·|PF |=2.又|F F|=2√n+1,
1 2 1 2 1 2
1 1
则|PF |2+|PF |2=|F F|2,∴△PFF 为直角三角形,∠FPF=90°,∴S = |PF |·|PF |= ×2=1.
1 2 1 2 1 2 1 2 △PF 1 F 2 2 1 2 2
10.焦点在x轴上的双曲线经过点P(4√2,-3),且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,则此双曲线的标准方
程为 .
x2 y2
【答案】 - =1.
16 9
5 5
【解析】设焦点F(-c,0),F(c,0)(c>0),则由QF⊥QF,得k ·k =-1,∴ · =-1,∴c=5.
1 2 1 2 QF 1 QF 2 c -c
设 双 曲 线 方 程 为 x2 y2 =1(a>0,b>0),∵ 双 曲 线 过 点 (4 ,-3),∴ 32 9 =1, 又
- √2 -
a2 b2 a2 b2
x2 y2
∵c2=a2+b2=25,∴a2=16,b2=9,∴双曲线的标准方程为 - =1.
16 9
三、解答题
11.（2020山东泰安实验中学高二月考）如图，若 是双曲线 的两个焦点.
（1）若双曲线上一点 到它的一个焦点的距离等于 ，求点 到另一个焦点的距离；
（2）若 是双曲线左支上的点，且 ，试求 的面积.
【解析】（1） 是双曲线 的两个焦点，
则设点 到另一个焦点的距离为 ，
由抛物线定义可知 ，解得 或 ，
即点 到另一个焦点的距离为 或 .
（2） 是双曲线左支上的点， ，
则 ，
代入 ，
可得 ，
即 ，
所以 为直角三角形，
所以 .
12.如图所示,已知定圆F:(x+5)2+y2=1,定圆F:(x-5)2+y2=42,动圆M与定圆F,F 都外切,求动圆圆心M
1 2 1 2
的轨迹方程.
【解析】圆F:(x+5)2+y2=1,圆心F(-5,0),半径r=1;
1 1 1
圆F:(x-5)2+y2=42,圆心F(5,0),半径r=4.
2 2 2
设动圆M的半径为R,则有|MF |=R+1,|MF |=R+4,
1 2
∴|MF |-|MF |=3<10=|F F|.
2 1 1 2
3 91
∴点M的轨迹是以F,F 为焦点的双曲线的左支,且a= ,c=5,于是b2=c2-a2= .
1 2
2 4
x2 y2
- ( 3)
∴动圆圆心M的轨迹方程为 9 91=1 x≤- .
2
4 4
