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1991 年北京高考文科数学真题及答案
考生注意：这份试卷共三道大题(26个小题)．满分120分．
一、选择题：本大题共15小题；每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有
一是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内
王新奎新疆屯敞
(1) 已知sinα= ，并且α是第二象限的角，那么tgα的值等于 ( )
(A) (B) (C) (D)
(2) 焦点在(－1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是 ( )
(A) y2=8(x＋1) (B) y2=－8(x＋1)
(C) y2=8(x－1) (D) y2=－8(x－1)
(3) 函数y=cos4x－sin4x的最小正周期是 ( )
(A) (B) π (C) 2π (D) 4π
(4) P(2，5)关于直线x＋y=0的对称点的坐标是 ( )
(A) (5，2) (B) (2，－5) (C) (－5，－ (D) (－2，－
2) 5)
(5) 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直
线共有 ( )
(A) 12对 (B) 24对 (C) 36对 (D) 48对
(6) 函数y=sin(2x＋ )的图像的一条对称轴的方程是 ( )
(A) x=－ (B) x=－
(C) x= (D) x=
(7) 如果三棱锥S－ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且
顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的 ( )
(A) 垂心 (B) 重心 (C) 外心 (D) 内心
(8) 已知{a}是等比数列，且a>0，aa＋2aa＋aa=25，那么a＋a的值等于( )
n n 2 4 3 5 4 6 3 5
(A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 20
第1页 | 共10页(9) 已知函数y= (x∈R，且x≠1)，那么它的反函数为 ( )
(A) y= (x∈R，且x≠1)
(B) y= (x∈R，且x≠6)
(C) y= (x∈R，且x≠－ )
(D) y= (x∈R，且x≠－5)
(10) 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各
1台，则不同的取法共有 ( )
(A) 140种 (B) 84种 (C) 70种 （D）35种
(11) 设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是
乙的必要条件，那么 ( )
(A) 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
(B) 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
(C) 丙是甲的充要条件
(D) 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
(12) …(1－ )]的值等于 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
(13) 如果AC<0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C=0不通过 ( )
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限
(14) 如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，
－3]上是 ( )
(A) 增函数且最小值为－5 (B) 增函数且最大值为－5
(C) 减函数且最小值为－5 (D) 减函数且最大值为－5
(15) 圆x2＋2x＋y2＋4y－3=0上到直线x＋y＋1=0的距离为 的点共有 ( )
(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．
(16) 双曲线以直线x=－1和y=2为对称轴，如果它的一个焦点在y轴上，那么它的另一
第2页 | 共10页焦点的坐标是__________________．
(17) 已知sinx= ，则sin2(x－ )=____________
王新奎新疆屯敞
(18) 不等式lg(x2＋2x＋2)<1的解集是_____________
王新奎新疆屯敞
(19) 在(ax＋1)7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，若实数
a>1，那么a=_____________
王新奎新疆屯敞
(20) 在长方体ABCD－ABCD中，已知顶点A上三条棱长分别是 、2．如果对
1 1 1 1
角线AC与过点A的相邻三个面所成的角分别是α、β、γ，那么cos2α＋cos2β＋
1
cos2γ=_________
王新奎新疆屯敞
三、解答题：本大题共6小题；共60分．
(21) (本小题满分8分)
求函数y=sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x的最大值．
(22) (本小题满分8分)
已知复数z=1＋i, 求复数 的模和辐角的主值．
(23) (本小题满分10分)
如图，在三棱台ABC－ABC中，已知AA⊥底面
1 1 1 1
ABC，AA= AB= BC=a，BB⊥BC，且BB和底面ABC所
1 1 1 1 1 1 1
成的角45º，求这个棱台的体积．
(24) (本小题满分10分)
设{a}是等差数列，b=( )a．已知b＋b＋b= , bbb= ．求等差数列的通项
n n n 1 2 3 1 2 3
a．
n
(25) (本小题满分12分)
设a>0，a≠1，解关于x的不等式
(26) (本小题满分12分)
已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x＋1与该椭圆相交于P和
Q，且OP⊥OQ，|PQ|= ．求椭圆的方程．
参考答案及评分标准
第3页 | 共10页说明：
一．本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的
解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应
评分细则．
二．每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考
生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内
容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；
如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．
三．为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中
合理省略非关键性的推导步骤．
四．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
五．只给整数分数．
一．选择题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分45分．
(1)A (2)D (3)B (4)C (5)B (6)A (7)D (8)A (9)B (10)C (11)A (12)C
(13)C (14)B (15)C
二．填空题．本题考查基本知识基本运算．每小题3分，满分15分．
(16) (－2，2) (17) 2－ (18) {x|－40,
所以②式等价于
③
④
——5分
解③式得 x<－ 或x> ，
解④式得 － 1时，由①式得
x4－2x2＋a2>0， ⑤ ——9分
由于a>1，判别式△<0，故⑤式对任意实数x成立，即得原不等式的解集为
{x|－∞1时，原不等式的解集为
{x|－∞1时，由①式得
x4－2x2＋a2>0， ⑧ ——9分
配方得 (x2－1)2＋a2－1>0， ⑨
对任意实数x，不等式⑨都成立，即a>1时，原不等式的解集为
{x|－∞1时，原不等式的解集为 {x|－∞
