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专题 1.4 充分条件与必要条件【六大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 命题的概念】..............................................................................................................................................1
【题型2 判断命题的真假】......................................................................................................................................2
【题型3 充分条件、必要条件及充要条件的判定】.............................................................................................5
【题型4 充分条件、必要条件及充要条件的探索】.............................................................................................6
【题型5 由充分条件、必要条件求参数】..............................................................................................................8
【题型6 充要条件的证明】......................................................................................................................................9
【知识点1 命题】
命题及相关概念
【题型1 命题的概念】
【例1】（2023·江苏·高一假期作业）下列语句为真命题的是（ ）
A．a>b
B．四条边都相等的四边形为矩形
C．1+2=3
D．今天是星期天
【变式1-1】（2023·江苏·高一假期作业）以下语句：① ；② ；③ ；④ ，
{0}∈N x2+ y2=0 x2>x {x|x2+1=0}
其中命题的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
【变式1-2】（2023·高一课时练习）下列语句中：①−1<2；②x>1；③x2−1=0有一个根为0；④高二年
学科网（北京）股份有限公司级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③
【变式1-3】（2022·高一课时练习）给出下列语句：①x>1．②3比5大．③这是一棵大树．④求证：√3
是无理数．⑤二次函数的图象太美啦！⑥4是集合{1,2,3,4}中的元素．其中是命题的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【题型2 判断命题的真假】
【例2】（2023·江苏·高一假期作业）下列命题中真命题有（ ）
①mx2+2x−1=0是一元二次方程；
②函数y=2x−1的图象与x轴有一个交点；
③互相包含的两个集合相等；
④空集是任何集合的真子集．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【变式2-1】（2022秋·重庆·高一校考期中）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果a>b，那么a2>b2 B．如果a>b，那么ac2>bc2
a b
C．如果a>b,c>d，那么 > D．如果a>b,cb−d
d c
【变式2-2】（2023·全国·高一假期作业）下列命题：
①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形;
②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形;
③方程x2−3x−4=0的判别式大于0;
④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等;
⑤集合A∩B 是集合A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-3】（2023秋·上海黄浦·高一校考阶段练习）设a∈R，关于x,y的方程组¿.对于命题：①存在
a，使得该方程组有无数组解；②对任意a，该方程组均有一组解，下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
【知识点2 充分、必要与充要条件】
1．充分条件与必要条件
学科网（北京）股份有限公司命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题
推出关系及 由p通过推理可得出 由条件p不能推出结论
符号表示 q，记作：p⇒q q，记作：
p是q的充分条件 p不是 q的充分条件
条件关系
q是p的必要条件 q不是 p的必要条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
2．充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此
时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
【注】：“⇔”的传递性
若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．
3．充分、必要与充要条件的判定
(1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q.
(2)如果p⇒ 且q⇒ ，则p是q的既不充分也不必要条件.
(3)如果p⇒q且q⇒ ，则称p是q的充分不必要条件.
(4)如p⇒ 且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件.
(5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}，
若A B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
若A=B，则p是q的充要条件.
【题型3 充分条件、必要条件及充要条件的判定】
1
【例3】（2023·上海普陀·上海市校考模拟预测）“x>1”是“ <1”的（ ）
x
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【变式3-1】（2023·全国·高一假期作业）已知集合 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A={x} B={x2} x=1 A=B
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
a+b
【变式3-2】（2023·江苏·高一假期作业）已知实数a，b，则“ >0”是“|a|>|b|”的（ ）
a−b
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
学科网（北京）股份有限公司C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【变式3-3】（2020秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s
是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：① s是q的充要条件；② p是q的充分不必要条件；③
r是q的必要不充分条件；④ r是s的充分不必要条件；正确的命题序号是（ ）
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
【题型4 充分条件、必要条件及充要条件的探索】
【例4】（2023·高一课时练习）关于x的方程ax+1=0有实根的一个充分条件是（ ）
A．a=0 B．a=1
C．a≠1 D．a<1
【变式4-1】（2023春·山西运城·高二校考阶段练习）若x,y∈R，则“x>y”的一个充分不必要条件可
以是（ ）
A．|x|>|y| B．x2>y2
x
C． >1 D．2x−y>2
y
【变式4-2】（2022秋·江苏连云港·高一校考期中）使x∈¿或x>3}成立的一个充分不必要条件是
（ ）
A．x≤0或x>3 B．x<−1或x>3
C．x≤0或x>1 D．x≥0
【变式4-3】（2023春·陕西商洛·高二校考阶段练习）不等式“x2+2x−m≥0在x∈R上恒成立”的一个
充分不必要条件是（ ）
A．m<−1 B．m>4 C．22 D．a<−2或a>2
【变式5-2】（2022·高一单元测试）若p：x2+x−6=0是q：ax−1=0（a≠0）的必要而不充分条件，则
实数a的值为（ ）
1 1 1 1 1 1
A．− B．− 或 C．− D． 或−
2 2 3 3 2 3
1 1
【变式5-3】（2022秋·山东潍坊·高一校考阶段练习）若“-1y，求证： < 的充要条件是
x y
xy>0.
【变式6-2】（2023·全国·高一假期作业）求证：等式 对任意实数 恒成立的
a x2+b x+c =a x2+b x+c x
1 1 1 2 2 2
充要条件是a =a ,b =b ,c =c .
1 2 1 2 1 2
学科网（北京）股份有限公司【变式6-3】（2023·江苏·高一假期作业）设x,y∈R，求证|x+ y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0．
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