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期中检测卷 04
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自
己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.已知直线a在平面 外，则（ ）
A．a∥ α
B．直线αa与平面 至少有一个公共点
C．a∩ ＝A α
D．直线αa与平面 至多有一个公共点
α
2.在△ABC中， ， ．若点D满足 ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
3.设E为△ABC所在平面内一点，若 ＝2 ，则（ ）
A． ＝ + B． ＝ ﹣
C． ＝ + D． ＝ ﹣
4.复数z满足z（1+i）＝1﹣ai，且z在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，1] B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，+∞）
5.在棱长为4的正方体ABCD﹣ABC D 中，点M为BC 的中点，过点D作平面a使a⊥BM，则平面a截
1 1 1 1 1 1正方体所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
6.已知z＝x+yi，x，y R，i是虚数单位．若复数 +i是实数，则|z|的最小值为（ ）
∈
A．0 B． C．5 D．
7.已知平面向量 ， ， 满足| |＝2| ﹣ |＝2| ﹣ |＝2| |＝2，则 • 的取值范围是（ ）
A．[1，2] B． C． D．
8.如图所示，在正方体ABCD﹣ABC D 中，E为棱AA 的上的一点，且AE＝2EA＝2，M为侧面ABBA 上
1 1 1 1 1 1 1 1
的动点．若C M∥面ECD ，动点M形成的图形为线段PQ，则三棱锥B﹣PQC 的外接球的表面积是（
1 1 1 1
）
A．27 B．11 C．14 D．17
π π π π
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）
9.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量 满足 ，则下列结论正确的是（
）
A． 是单位向量 B．
C． D．
10.四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2AD＝2DC， ，则下列表示正确的是
（ ）A． B．
C． D．
11.如图，直角梯形ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝ AB＝1，E为AB中点，以DE为折痕把ADE
折起，使点A到达点P的位置，且PC＝ ．则（ ）
A．平面PED⊥平面EBCD
B．二面角P﹣DC﹣B的大小为
C．PC⊥ED
D．PC与平面PED所成角的正切值为
12.如图，正方体ABCD﹣ABC D 的棱长为a，线段BD 上有两个动点E，F，且EF＝ a，以下结论正
1 1 1 1 1 1
确的有（ ）
A．AC⊥BE
B．点A到△BEF的距离为定值
C．三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣ABC D 体积的
1 1 1 1
D．异面直线AE，BF所成的角为定值
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13.已知平面向量 ， ，其中 ， ， ，则 ＝ ；若 t为实数，则的最小值为 ．
14.在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上，延长AD到P，使得AP＝9．若 ＝m +
（ ﹣m） （m为常数），则CD的长度是 ．
15.已知复数z＝x+yi（x，y R）满足|z﹣1|＝x，那么z在复平面上对应的点（x，y）的轨迹方程为 ﹣ ；
|z| ＝ ． ∈
min
16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午
节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，平行四边形
形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六
面体，则该六面体的体积为 ；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
17.已知向量 ＝（2sinA，1）， ＝（sinA+ cosA，﹣3）， ⊥ ，其中A是△ABC的内角．
（1）求角A的大小；
（2）若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝ ， ＞0，求b+c的取值范围．18.如图，在△OAB中，点P为直线AB上的一个动点，且满足 ＝ ，Q是OB中点．
（Ⅰ）若O（0，0），A（1，3），B（ ，0），且 ＝ ，求 的坐标和模？
（Ⅱ）若AQ与OP的交点为M，又 ＝t ，求实数t的值．
19.已知复数z＝ +（a2﹣1）i，z＝2+2（a+1）i（a R，i是虚数单位）．
1 2
（1）若复数z﹣z 在复平面上对应点落在第一象限，求∈实数a的取值范围；
1 2
（Ⅱ）若虚数z 是实系数一元二次方程4x2﹣4x+m＝0的根，求实数m值．
120.已知复数z满足z＝（﹣1+3i）（1﹣i）﹣4．
（1）求复数z的共轭复数；
（2）若 ＝z+ai，且复数 对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．
ω ω
21.如图所示，在四棱锥E﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB＝AE＝BC＝ AD＝1，BC∥AD，
AE⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，N为DE的中点．
（1）求证：NC∥平面EAB；
（2）求二面角A﹣CN﹣D的余弦值．22.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AB＝2，PD⊥平面ABCD，PB与底面ABCD所成
的角为45°，过AD的平面分别与PB，PC交于点E，F．
（Ⅰ）求证：EF⊥DC；
（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣E所成角的余弦值为 ，求 的值．
