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拓展二 数列求和的方法
【题组一 裂项相消】
1．（2020·沭阳县修远中学高二月考）数列 的通项公式 ，若前n项的和为11，则
n=________.
【答案】143.
【解析】因为 ，所以 ，
所以
因此 ，
2．（2020·四川成都·高二期末）已知数列 ， 都是等差数列， ， ，设
，则数列 的前2018项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设数列 ， 的公差分别为 ， ，
则由已知得 ， ，
所以 ， ，所以 ， ，
所以
，所以数列 的前2018项和为,故选D.
3．（2020·河南高二月考）已知等差数列 中， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）记数列 的前 项和为 ，证明： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】（1）设数列 的公差为 ，
由题意得 ，
解得 ， ，
故数列 的通项公式为 .
（2）由（1）知 ，
所以 ，
所以 ，
所以
.
4．（2020·江西省信丰中学月考）已知公差不为0的等差数列 中 ，且 ， ， 成等比数列.（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前n项和为 ，求使 的n的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）因为 ， ， 成等比数列，所以 ，
因为数列 是等差数列，且 ，
所以 ，即 ，解得 或 （舍去）
所以
（2）因为 ， ，
所以 ，所以 ，解得 ，
所以当 时，n的最大值为 .
5．（2020·四川省内江市第六中学开学考试（理））设数列 满足 .
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】（1）数列 满足时,
∴
∴
当 时, ,上式也成立
∴
（2）
∴数列 的前n项和
6．（2020·江西其他）已知等比数列{a}的公比q>1，且a+a+a=28，a+2是a，a 的等差中项
n 3 4 5 4 3 5
（1）求数列{a}通项公式；
n
（2）求数列{ }的前n项和T.
n
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）由 是 的等差中项得 ，
所以 ，
解得 .由 得 ，
因为 ，所以 .
所以
（2）记
则
所以
。
7．（2020·安徽省太和中学高二期末（理））已知数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）证明：数列 为等比数列；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）当 时， ，则 ．
当 时，因为 ，所以 ，
则 ，即 ．
从而 ，即 ，因为 ，所以 ，
所以数列 是以1为首项，3为公比的等比数列．
（2）由（1）可得 ，即 ．
因为 ，所以 ，
则 ，
故 ．
8．（2020·沭阳县修远中学高二月考）记 是正项数列 的前 项和， 是 和 的等比中项.
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）因为 是 和 的等比中项，
所以 ①，当 时， ②，
由① ②得： ，
化简得 ，即 或者 （舍去），
故 ，数列 为等差数列，
因为 ，解得 ，所以数列 是首项为 、公差为 的等差数列，
通项公式： .
（2）∵ ，
∴ .
9．（2020·应城市第一高级中学高二开学考试）数列 满足 ， ．
（1）证明：数列 是等差数列；
（2）求数列 的前 项和 ，并证明： ．
【答案】（1）证明见解析；（2） ，证明见解析.
【解析】（1）证明：∵ ，
∴ ，化简得 ，
即 ，
故数列 是以1为首项，2为公差的等差数列．
（2）由（1）知 ，
所以 ， ．因此
．
10．（2020·安徽金安·六安一中高二开学考试（理））设 为首项不为零等差数列 的前n项和，已知
， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 为数列 的前n项和，求 的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）设 的公差为d，则由题知
解得 (舍去)或 ，∴ .
（2）∵ ，
∴ .
∴
当且仅当 ，即 时，等号成立，即当 时， 取得最大值 .
【题组二 错位相减】1．（2020·石嘴山市第三中学月考）在数列{a}中，a＝1，a ＝2a＋2n.
n 1 n＋1 n
(1)设b＝ .证明：数列{b}是等差数列；
n n
(2)求数列{a}的前n项和．
n
【答案】（1）见解析（2）S＝(n－1)·2n＋1.
n
【解析】(1)证明：∵ a ＝2a＋2n，
n＋1 n
∴ b ＝ ＝ ＝ ＋1＝b＋1.
n＋1 n
∴b －b＝1，
n＋1 n
又b＝a＝1.
1 1
∴数列{b }是首项为1，公差为1的等差数列．
n
(2)解：由(1)知，b＝n，
n
∴ ＝b＝n.
n
∴a＝n·2n－1.
n
∴S＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①
n
∴2S＝1×21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，②
n
①-②得：
－S＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n
n
∴S＝(n－1)2n＋1.
n
2．（2020·河南高二月考（理））设等差数列 的前 项和为 ，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 满足 ， 求数列 的前 项和 .【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，
由 ， 得 ，解得 ，
因此 ；
（2）由题意知： ，
所以 ，
则 ，
两式相减得
，
因此， .
3．（2020·河南高二月考）设等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，且满足 ， .等比
数列 满足 ， .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】（1） ，解得 ，从而 .
，两式相除得 ， ，所以 .
（2） .
,
,
相减得：
,
从而 .
4．（2020·四川省绵阳南山中学开学考试（文））已知等比数列 中， ， 是 和 的等差
中项．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） （2）
【解析】(1)设数列 的公比为 ，
由题意知： ，
∴ ，即 .
∴ ，即 .(2) ，
∴ .①
.②
①－②得
∴ .
5．（2020·全国月考（理））设数列 的前 项和为 ， ，且对任意正整数 ，点 都
在直线 上.
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）由点 在直线 上，有 ，
当 时， ，
两式相减得 ，即 ， ，
又当 时， 而 ，解得 ，满足 ，
即 是首项 ，公比 的等比数列，
∴ 的通项公式为 .
（2）由（1）知， ，则，
.
两式相减得
所以 .
6．（2020·安徽省泗县第一中学开学考试）设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前 项和．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）设 的公比为 ， 为 的等差中项，
，
；
（2）设 的前 项和为 ， ，
，①
，②
① ②得，，
.
7．（2020·广东汕尾·期末）已知等比数列 的前n项和是 ，且 是 与 的等差中项．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）等比数列 的公比设为q， ，即 ，
是 与 的等差中项，可得 ，
所以 ，整理求得 ，
则 ；
（2）由（1）可求得 ，
，
∴ .①
，②
①－②得
，
所以 ，8．（2020·淮南第一中学开学考试）数列 的前 项和为 满足 ，且 ， ，
成等差数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 和 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）∵ ，而当 时， ，
∴ ， ( )，故 ( )是公比为3的等比数列.
故 ， ，由 ， ， 成等差数列，
∴ ，即 ，有 ，
∴
（2）∵ ，有 ，
∴ ，
，
上述两式相减，得，
即有 .
【题组三 分组求和】
1．（2020·全国月考（理））已知数列 满足 ，且 .
（1）证明： 是等比数列；
（2）求 的前 项和 .
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）由题易知 ，且 ，
所以 是等比数列.
（2）由（1）可知 是以 为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，所以 .
所以 .
2．（2020·宝坻区大口屯高级中学高二月考）已知数列 是公差不为0的等差数列，首项 ，且
成等比数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，求数列 的前 项和【答案】（1） ；（2）
【解析】(1)设数列{a }的公差为d，由已知得，a＝aa，
n 1 4
即(1＋d)2＝1＋3d，解得d＝0或d＝1.
又d≠0，∴d＝1，可得a＝n.
n
(2)由(1)得b＝n＋2n，
n
∴T＝(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n＋2n)
n
＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(2＋22＋23＋…＋2n)＝ ＋2n＋1－2.
3．（2020·陕西省洛南中学高二月考）已知数列 是公差不为零的等差数列， 且 成等比
数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 数列 的前 项和 ..
【答案】（1） ；（2）
【解析】设等差数列的公差为 ，则 ， ，
因为 成等比数列，所以 ，
即 ，
整理为： （舍）或 ，
所以 ；
（2）由（1）可知 ，
数列 是以4为公比，4为首项的等比数列，前 项和为 ，数列 是以2为首项，2为公差的等差数列，前 项和为 .
所以数列 的前 项和为
【题组四 倒序相加】
1．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学高二月考（文））设 ，
( )
A．4 B．5 C．6 D．10
【答案】B
【解析】由于 ，故原式
.
2．（2020·贵州省思南中学月考） (
)，则数列 的通项公式是___________.
【答案】
【解析】 ，
，两式相加可得，
，
所以 .
故答案为：
3．（2020·江苏省前黄高级中学月考）设 ，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方
法，可求得 _________．
【答案】
【解析】 ，
，
因此
，
所以.
故答案为： .
4．（2020·甘南藏族自治州合作第一中学高二期中） ，利用课本中推导等差数列前 项和的
公式的方法，可求得 ______．
【答案】2020
【解析】由题意可知 ，
令S=
则S=
两式相加得，
．
故填：
5．（2020·江西上饶·高二月考（理））设 ，则
__________．
【答案】1008
【解析】∵函数 ，∴ ，∴，故答案为1008.
【题组五 奇偶并项】
1．（2019·广东实验中学高二期中）已知数列 为等比数列， ， 是 和 的等差中项.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ， ；(2) .
【解析】（1）设数列 的公比为 ，因为 ，所以 ， ，
因为 是 和 的等差中项，所以 .
即 ，化简得 ，
因为公比 ，所以 ，
因为 ，所以
所以 ， ；
（2）
当 为偶数时，前 项和 ；
当 为奇数时，前 项和 ；则 .
2．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校月考（理））已知数列 的前 项和 满足 ，
.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ， ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】当 时， ；
当 时， ，
显然 满足上式，
综上： ；
（2）由（1）知 ，
.
3．（2020·渝中·重庆巴蜀中学高三月考（理））已知等比数列 的前n项和为 ， ，且 ，
， 成等差数列.（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）设等比数列 的公比为 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又 ， ， 成等差数列，
所以 即 ，解得 ，
所以 ；
（2）由题意 ，
所以
.
4．（2020·江苏）在数列 中，已知 ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前50项和 .
【答案】（1） ；（2） .【解析】（1）因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，则 ，
所以 .
（2）由（1）知 ，
所以
.
5．（2020·广东佛山）已知 为数列 的前 项和，且 ， ， ，
.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若对 ， ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ， ；（2） ， .
【解析】（1）由 ， ，解得 或 （舍去）；
由 ①， ②，则①-②得： ，整理有；
∵ ，知： ，
∴ ， ，即 ，故 ；
∴数列 是首项为1，公差为3的等差数列.
∴ ， .
（2）∵ ，
∴
∴
∴数列 的前 项和 ， .
【题组六 绝对值求和】
1．（2020·石嘴山市第三中学月考）已知数列 的前n项和为 .
（1）求数列 的通项公式；
（2） 求数列 的前n项和 .
【答案】（1） ，（2）
【解析】（1）当 时， ，即 ，
当 时， ，
时，满足上式，
所以（2）由 得 ，而 ，
所以当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
当 时，
，
所以
2．（2020·河南安阳）记数列 的前 项和为 ，已知 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 数列 的前 项和为 ，求
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）当 时，由 ，可得 ，即有
当 时， ，
即为 ，可得 ，显然， .所以数列 是首项为3，公比为2的等比数列，
则 ，即有
（2）
当 为偶数时
当 为奇数时，
综上可得，
3．（2019·福建城厢·莆田一中高三月考（文））设数列 前 项和为 ，且满足
．
（1）证明 为等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）在（1）的条件下，设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）证明见解析， ；（2） ．
【解析】（1）当 时， ， ，
当 时， ，与已知式作差得 ，即 ，又 ，∴ ，∴ ，
故数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，
所以
（2）由（1）知 ，∴ ，
若 ， ，
若 ， ，
∴ ．
4．（2020·浙江）已知数列 的前 项和为 ，且 ，数列 为等差数列 ，
.
（1）求 ， 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ， ；（2）
【解析】（1）当 时， ，得 ；
当 时， ，由 ，得 .故 为等比数列，其公比为2，所以 .
由 ， ，得 ， ，
因为 为等差数列，所以其公差 ，所以 .
（2）因为 ，
所以当 时， ，当 时， .
所以当 时， .
当 时， .
故数列 的前 项和 .
