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3.1.1椭圆及其标准方程 -A基础练
一、选择题
1．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．到点 的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
B．到点 的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C．到点 的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆
D．到点 距离相等的点的轨迹是椭圆
【答案】C
【解析】对于选项 ， ，故到点 的距离之和等于8的点的轨迹是线段 ，所以
该选项错误；对于选项 ，到点 的距离之和等于6的点的轨迹不存在，所以该选项错误；对
于选项 ，根据椭圆的定义，知该轨迹是椭圆，所以该选项正确；对于选项 ，点的轨迹是线段
的垂直平分线，所以该选项错误．故选：C
2．（2020·沙坪坝·重庆一中月考）若椭圆 的右焦点为 ，过左焦点 作倾斜角为
的直线交椭圆 于 ， 两点，则 的周长为（ ）
A． B． C．6 D．8
【答案】B
【解析】由椭圆方程可知 根据椭圆的定义可知 ，
， 的周长为 .
3.（2020·天津一中期中）若椭圆2a2x2-ay2=2的一个焦点是(-2，0)，则a=（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由原方程可得 ，因为椭圆焦点是(-2，0)，所以 ，解得
，
因为 ，即 ，所以 ，故选：C
4.（2020·浙江丽水高二月考）已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶
点A的轨迹方程是（ ）
A． （x≠0） B． （x≠0）
C． （x≠0） D． （x≠0）
【答案】B
【解析】∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），∴BC＝8，AB+AC＝20﹣8＝
12，∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a＝6，c＝4，
∴b2＝20，
∴椭圆的方程是 ，故选B．
5．（多选题）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，定点 ，若点P是椭圆
E上的动点，则 的值可能为（ ）
A．7 B．10 C．17 D．19
【答案】ABC【解析】由题意可得 ，则 ，故 ．因为
点P在椭圆E上，所以 ，所以 ，故
，由于 ，所以 ，故 的可能取值为7，
10，17．
6．（多选题）（2020全国高二课时练习）已知P是椭圆 上一点， 是其两个焦点，
则 的大小可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】设 ，则 ，且 ，在 中，由余弦定
理可得 ，因为 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，故 的最大值为 ，
所以 的大小可能为 ．故选：BCD
二、填空题
7.（2020全国高二课时练）已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2
√15,则此椭圆的标准方程为 .
y2
【答案】 +x2=1
16
【解析】由已知2a=8,2c=2√15,所以a=4,c=√15,所以b2=a2-c2=16-15=1.又椭圆的焦点在y轴上,所
y2
以椭圆的标准方程为 +x2=1.
16x2 y2
8.椭圆 + =1的一个焦点为F,点P在椭圆上,若线段PF 的中点M在y轴上,则点M 的纵坐
12 3 1 1
标为
.
√3
【答案】±
4
【解析】∵线段PF 的中点M在y轴上且O是线段FF 的中点,∴OM为△PFF 的中位线,∴PF⊥x
1 1 2 1 2 2
9 y2 3 √3
轴,∴点P的横坐标是3或-3,∵点P在椭圆上,∴ + =1,即y2= ,∴y=± .∴点M的纵坐标为±
12 3 4 2
√3
.
4
9．（2020河北石家庄二中高二月考）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、
， 为椭圆上一点， ， ，则 ______．
【答案】
【解析】根据椭圆的定义： ，
在焦点 中，由余弦定理可得： ，
，则 ，所以， .
10．（2020·江西南昌二中高二月考）如图所示， 分别为椭圆 的左右焦点，点P在椭圆上， 的面积为 的正三角形，则 的值为 .
【答案】
【解析】 的面积为 的正三角形， ，
解得 ． 代入椭圆方程可得： ，与 联立解得： ．
三、解答题
11．求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在y轴上,焦距是4,且经过点M(3,2);
(2)c∶a=5∶13,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
【解析】 (1)由焦距是4可得c=2,
且焦点坐标为(0,-2),(0,2).由椭圆的定义知,2a= =8,
√32+(2+2)2+√32+(2-2)2
所以a=4,所以b2=a2-c2=16-4=12.
y2 x2
又焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为 + =1.
16 12
(2)由题意知,2a=26,即a=13,又c∶a=5∶13,所以c=5,
所以b2=a2-c2=132-52=144,
x2 y2 y2 x2
因为焦点所在的坐标轴不确定,所以椭圆的标准方程为 + =1或 + =1.
169 144 169 144
12. （2020·富平县富平中学高二月考）已知某椭圆C，它的中心在坐标原点，左焦点为F（﹣ ，
0），且过点D（2，0）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若已知点A（1， ），当点P在椭圆C上变动时，求出线段PA中点M的轨迹方程．
【解析】（1）由题意知椭圆的焦点在x轴上，∵椭圆经过点D（2，0），左焦点为F（﹣ ，0），
∴a=2，c= ，可得b=1
因此，椭圆的标准方程为 ．
（2）设点P的坐标是（x，y），线段PA的中点为M（x，y），
0 0
由根据中点坐标公式，可得 ，
∵点P（x，y）在椭圆上，
0 0
∴可得 ，化简整理得 ，
∴线段PA中点M的轨迹方程是 ．
