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3.2.1双曲线及其标准方程 -B提高练
一、选择题
x2
1.（2020·山东菏泽三中高二期末）与椭圆 +y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是( )
4
x2 x2 x2 y2
A. -y2=1 B. -y2=1 C. -y2=1 D.x2- =1
4 3 2 2
【答案】C
【解析】由题意得,双曲线焦点在x轴上,且c= ,设双曲线的标准方程为x2 y2 =1(a>0,b>0),则有
√3 -
a2 b2
4 1 x2
a2+b2=c2=3, - =1,解得a2=2,b2=1,故所求双曲线的标准方程为 -y2=1.
a2 b2 2
2.动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹是( )
A.双曲线的一支 B.圆 C.椭圆 D.双曲线
【答案】A
【解析】设动圆的圆心为M,半径为r,圆x2+y2=1与x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O 和O,半径分别为
1 2
1和2,由两圆外切的充要条件,得|MO |=r+1,|MO |=r+2.∴|MO |-|MO|=1,又|O O|=4,∴动点M的轨
1 2 2 1 1 2
迹是双曲线的一支(靠近O).
1
y2
3.设F,F 分别是双曲线x2- =1的左、右焦点.若P在双曲线上,且⃗PF ·⃗PF =0,则|⃗PF +⃗PF |=
1 2 9 1 2 1 2
( )
A.2√5 B.√5 C.2√10 D.√10
【答案】C
【解析】由题意,知双曲线两个焦点的坐标分别为F(-√10,0),F(√10,0).设点P(x,y),
1 2
则 =(- -x,-y), =( -x,-y).∵ =0,∴x2+y2-10=0,即x2+y2=10.
⃗PF √10 ⃗PF √10 ⃗PF ·⃗PF
1 2 1 2
∴| |= = =2 .
⃗PF +⃗PF √|⃗PF |2+|⃗PF |2+2⃗PF ·⃗PF √2(x2+ y2)+20 √10
1 2 1 2 1 2
4.（2020·武汉市蔡甸区实验高级中学月考）已知双曲线 和椭圆有相同的焦点，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由题意双曲线 和椭圆 有相同的焦点，
，
，
当且仅当 即 时等号成立，故 的最小值为 ，故选：B.
5．（多选题）（2020·江苏省镇江中学高二期末）在平面直角坐标系 中，动点P到两个定点
和 的斜率之积等于8，记点P的轨迹为曲线E，则（ ）
A．曲线E经过坐标原点 B．曲线E关于x轴对称
C．曲线E关于y轴对称 D．若点 在曲线E上，则
【答案】BC
【解析】设 ，则 ，则 ，（ ）.
故轨迹为焦点在 轴上的双曲线去除顶点.故曲线 不经过原点， 错误；曲线E关于x轴对称，
关于y轴对称， 正确；若点 在曲线E上，则 或 ， 错误；故选： .
6. （多选题）（2020·广东宝安高二开学考试）已知点 在双曲线 上， 、 是双曲线 的左、右焦点，若 的面积为 ，则下列说法正确的有（ ）
A．点 到 轴的距离为 B．
C． 为钝角三角形 D．
【答案】BC
【解析】因为双曲线 ，所以 .又因为 ，
所以 ，所以选项A错误；将 代入 得 ，即 .由对称性，
不妨取 的坐标为 ，可知 .由双曲线定义可知 ，
所以 ，所以选项B正确；由对称性，对于上面点 ，
在 中， .且 ，则
为钝角，所以 为钝角三角形，选项C正确；由余弦定理得
， ，所以选项D错误.故选：BC.
二、填空题
y2
7.已知F是双曲线C:x2- =1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF
3
的面积为 .
3
【答案】
2
y2
【解析】因为F是双曲线C:x2- =1的右焦点,所以F(2,0).因为PF⊥x轴,所以可设P的坐标为(2,y ).
P
3因为P是C上一点,所以4-y2 =1,解得y =±3,所以P(2,±3),|PF|=3.又因为A(1,3),所以点A到直线PF
P P
3
1 1 3
的距离为1,所以S = ×|PF|×1= ×3×1= .
APF
2 2 2
△
8.（2020·首都师范大学附属中学期中）若方程 所表示的曲线为 ，给出下列四个
命题：①若 为椭圆，则实数 的取值范围为 ；
②若 为双曲线，则实数 的取值范围为 ；
③曲线 不可能是圆；
④若 表示椭圆，且长轴在 轴上，则实数 的取值范围为 .
其中真命题的序号为________.（把所有正确命题的序号都填在横线上）
【答案】②
【解析】方程 所表示的曲线为
①若 为椭圆，则 解得 且 ，故①不正确.
②若 为双曲线,则 ，解得 ，故②正确 .
③当 时，曲线 是圆，故③不正确.④若 表示椭圆，且长轴在 轴上，则 ，
则 ，故故④不正确.故答案为：②
9.（2020·全国高二课时练习）已知圆 与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为________.
【答案】
【解析】由圆的方程 知：与y轴的交点坐标为 ，∵圆与y轴的两
个交点A，B都在某双曲线上∴双曲线的焦点在y轴上，且 ，又∵A，B两点恰好将此双曲线
的焦距三等分∴ ，即有 ，∴此双曲线的标准方程
10.平面上两点F,F 满足|F F|=4,设d为实数,令D表示平面上满足||PF |-|PF ||=d的所有P点组成的
1 2 1 2 1 2
图形,又令C为平面上以F 为圆心、6为半径的圆.下列结论中,其中正确的有 (写出所有正
1
确结论的编号).
①当d=0时,D为直线; ②当d=1时,D为双曲线;
③当d=2时,D与圆C交于两点; ④当d=4时,D与圆C交于四点;
⑤当d>4时,D不存在.
【答案】①②⑤
【解析】①当d=0时,D为线段FF 的垂直平分线,∴①正确;
1 2
②当d=1时,∵||PF |-|PF ||=d<|F F|=4,由双曲线的定义知D为双曲线,∴②正确;
1 2 1 2
③当d=2时,D是双曲线,且c=2,a=1,∵C为平面上以F 为圆心、6为半径的圆,∴D与圆C有4个交
1
点,∴③错误;④当d=4时,D是两条射线,∴D与圆C有2个交点,∴④错误;
⑤当d>4时,由双曲线的定义知,不表示任何图形,∴D不存在,∴⑤正确.
三、解答题
3
11.在周长为48的Rt MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN= ,求以M,N为焦点,且过点P的双曲线方程.
4
△
3
【解析】因为△MPN的周长为48,且tan∠PMN= ,
4
所以设|PN|=3k,|PM|=4k,则|MN|=5k.
由3k+4k+5k=48,得k=4.
所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.以MN所在直线为x轴,以MN的中点为原点建立直角坐标系,如图所示.
设所求双曲线方程为x2 y2
=1(a>0,b>0).
-
a2 b2
由|PM|-|PN|=4,得2a=4,a=2,a2=4.
由|MN|=20,得2c=20,c=10,c2=100,
所以b2=c2-a2=100-4=96,
x2 y2
故所求方程为 - =1.
4 96
12.如图，某野生保护区监测中心设置在点 处，正西、正东、正北处有三个监测点 ，且
，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收
到求救信号， 点接收到信号的时间比 点接收到信号的时间早 秒（注：信号每秒传播 千
米）.
（1）以 为原点，直线 为 轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可
能出现的位置的轨迹方程；
（2）若已知 点与 点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与检测中心 的距
离；
（3）若 点监测点信号失灵，现立即以监测点 为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径 至少是多少公里？
【解析】（1）设观察员可能出现的位置的所在点为
因为 点接收到信号的时间比 点接收到信号的时间早 秒
故
故点 的坐标满足双曲线的定义，设双曲线方程为
由题可知 ，解得 ，
故点 的轨迹方程为 .
（2）因为 ，设 的垂直平分线方程为
则 ，则 的垂直平分线方程为
联立 可得 ，故
故观察员遇险地点坐标为
与检测中心 的距离为 .
（3）设轨迹上一点为 ，
则
又因为 ，可得
代入可得：当且仅当 时，取得最小值 .
故扫描半径 至少是 .
