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3.2.2双曲线的简单几何性质 (2) -B提高练
一、选择题
1.（2020·广东湛江高二期末）已知双曲线 的一条渐近线与双曲线 的—条渐近线垂
直，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】双曲线 的渐进线方程为 ，故双曲线 的渐近线方程为 .
设双曲线 的方程为 .当 时，双曲线 的方程为 ，则
，解得： ；当 时，双曲线 的方程为 ，则 ，
解得： ；故选C
2．（2020·北京大兴区高二月考）已知点P是双曲线C：x2 1的一条渐近线y＝kx（k＞0）上
一点，F是双曲线C的右焦点，若△OPF的面积为5，则点P的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由双曲线方程可得a＝1，b＝2，则c ，则渐近线方程为：y＝2x，F（ ，
0），又S c•|y |＝5，则y ＝±2 ，当y＝2 时，x ，当y＝﹣2 时，x
P P，
故点P的横坐标为± ，故选：A．
3．（2020·西南大学附中高二月考）斜率存在的直线 点 且与双曲线 ： 有且只
有一个公共点，则直线 斜率为（ ）
A． B． C．2或 D． 或
【答案】D
【解析】由题意，设直线 的方程为 ，代入双曲线方程化简可得 ，
当 即 时， 只有一解，满足直线 与双曲线有且只有一个公共
点；当 时，令 ，解得 ，此时方程有两个相等实数根，
满足直线 与双曲线有且只有一个公共点；所以 或 .故选：D.
4．（2020·陕西西安中学高二月考）已知双曲线 过点 且渐近线为 ，则下列结论
错误的是（ ）
A．曲线 的方程为 ；
B．左焦点到一条渐近线距离为 ；
C．直线 与曲线 有两个公共点；
D．过右焦点截双曲线所得弦长为 的直线只有三条；
【答案】C
【解析】因为双曲线的渐近线方程为 ，所以可设双曲线方程为 ，又双曲线过点 ，所以 ，所以双曲线方程为 ，A正确；由双曲线方程知
， ，左焦点为 ，渐近线方程为 ，左焦点到渐
近线的中庸为 ，B正确；由 得 ，代入双曲线方
程整理得 ，解得 ，所以 ，直线与双曲线只有一
个公共点 ，C错；双曲线的通径长为 ，因此过右焦点，且两顶
点都右支上弦长为 的弦有两条，又两顶点间距离为 ，因此端点在双曲线左右两支上
且弦长为 的弦只有一条，为实轴，所以共有3条弦的弦长为 ，D正确．故选：C．
5．（多选题）（2020·东莞市东华高级中学月考）双曲线 的左、右焦
点分别为 ，点 为 的左支上任意一点，直线 是双曲线的一条渐近线， ，垂足为
.当 的最小值为3时， 的中点在双曲线 上，则（ ）
A． 的方程为 B． 的离心率为
C． 的渐近线方程为 D． 的方程为
【答案】BCD
【解析】因为 ，所以因为焦点到渐近线的距离为 ，所以 的最小值为 ，所以 不妨设直线 为
，因为 ，所以点 ， ， 的中点为 .
将其代入双曲线 的方程，得 ，即 ，解得 又因
为 ，所以 ，故双曲线 的方程为 ，离心率为 ，渐
近线方程为 ，故选：BCD
6. （多选题）（2020·福清西山学校高二期中）在平面直角坐标系 中，动点 与两个定点
和 连线的斜率之积等于 ，记点 的轨迹为曲线 ，直线 ：
与 交于 ， 两点，则（ ）
A． 的方程为 B． 的离心率为
C． 的渐近线与圆 相切 D．满足 的直线 仅有1条
【答案】AC
【解析】设点 ，由已知得 ，整理得 ，所以点 的轨迹为曲
线 的方程为 ，故A正确；又离心率 ，故B不正确；圆 的圆心 到曲线 的渐近线为 的距离为 ，
又圆 的半径为1，故C正确；直线 与曲线 的方程联立
整理得 ，设 ，
，且 ，有
，所以
，要满足 ，则
需 ，解得 或 或 ，当 ,此时 ，而
曲线E上 ，所以满足条件的直线有两条，故D不正确，故选：AC.
二、填空题
7．（2020·湖南师大附中月考）过双曲线 的下焦点 作 轴的垂线，交
双曲线于 两点，若以 为直径的圆恰好过其上焦点 ,则双曲线的离心率为__________．
【答案】
【解析】过双曲线 的下焦点 作 轴的垂线，交双曲线于 ， 两点，则 ，以 为直径的圆恰好过其上焦点 ，可得： ，∴ ，
可得 ，解得 ， 舍去.
8.（2020·云南师大附中高二月考）设双曲线 的右焦点为F，过F作C的一
条渐近线的垂线垂足为A，且 ，O为坐标原点，则C的离心率为_________．
【答案】
【解析】由题意可得 ，渐近线方程为 ，
∴ ， ，故 ．
9．（2020·内江市第六中学其他模拟（文））已知双曲线 ： 的一条渐
近线方程是 ，过其左焦点 作斜率为2的直线 交双曲线 于 ， 两点，则截
得的弦长 ________.
【答案】10
【解析】∵双曲线 ： 的一条渐近线方程是 ，
∴ ，即 ，∵左焦点 ，∴
∴ ，∴ ， ，
∴双曲线方程为 ，直线 的方程为 ，设 ， 由 ，
消 可得 ，∴ ， ，
∴ ．
10．（2020·河北石家庄一中高二月考）设 ， 分别是双曲线 的左､右
焦点，若双曲线右支上存在一点 ，使 ， 为坐标原点，且
，则该双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】取 的中点 ，则∵ ，
∴ ，∴ ，∵ 是 的中位线，∴ ， .
由双曲线的定义得 ，∵ ，∴ ， .
中，由勾股定理得 ，∴ ，∴ .
三、解答题
11. （2020·重庆市万州沙河中学高二月考）已知双曲线 与双曲线
的渐近线相同，且经过点 .
（1）求双曲线 的方程；（2）已知双曲线 的左右焦点分别为 ，直线 经过 ，倾斜角为 与双曲线 交于
两点，求 的面积.
【解析】（1）设所求双曲线 方程为 ，代入点 得： ，即 ，
∴双曲线 方程为 ，即 .
（2）由（1）知： ，即直线 的方程为 .
设 ，联立 得 ，
满足 且 ， ，
由弦长公式得 ，
点 到直线 的距离 .
所以
12.（2020·全国高二课时练）已知椭圆 与双曲线 的离心率互
为倒数，且直线 经过椭圆的右顶点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且 ，求 面积的取值
范围．【解析】（1）∵双曲线的离心率为 ，
∴椭圆的离心率 ．
又∵直线 经过椭圆的右顶点，令 ，则
∴右顶点的坐标为 ，即 ，
∴椭圆C的标准方程为 ．
（2）由题意可知直线 的斜率存在且不为零，设直线 的方程为 ，
．
联立 消去y，整理得 ，
则 ，
于是 ．
又 ，
故 ，则 ．
由 得 ，解得 ．
又由 ，
得 ，且 ．
设原点O到直线 的距离为d，则 ，，
， ，
故由m的取值范围可得 面积的取值范围为 ．
