文档内容
2024-2025 学年天津市静海区第一中学高一下学期 3 月学生学业能力调
研数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知A(1,0)、B(2,1)，若向量 是与
A
⇀
B
方向相同的单位向量，则 ⃗ a=( )
A. B. C. (√2 √2) D. (√2 √2)
(1,1) (1,0) ,− ,
2 2 2 2
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 3√3
2.已知⃗a，⃗b均为单位向量，(2a+b)⋅(a−2b)=− ，则⃗a与⃗b的夹角为( )
2
π π π π
A. B. C. D.
6 3 4 2
3.在▵ABC中，若a=5√2，c=10，A=30 ∘，则B等于( )
A. 105° B. 60°或120° C. 15° D. 105°或15°
4.设 ⃗a ，⃗b 是非零向量，“⃗
a⋅
⃗
b=
|⃗
a
||⃗
b
|”是“ ⃗a//⃗b ”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
1
5.在▵ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=√3，A=60∘，若cos2B= ，则b=( )
2
A. 1 B. √3 C. 2 D. 2√2
第 页，共 页
1 16.如图，在▵ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M,N，若
2 8
A ⃗ B=mA ⃗ M ， A ⃗ C=nA ⃗ N ，m>0,n>0，则 + 的最小值( )
m n
A. 2 B. 8 C. 9 D. 18
7.在平行四边形 中， 与 交于点 ， ， 的延长线与 交于点 若 → →，
ABCD AC BD O ⃗CO=3⃗CE BE CD F.
AB=a
→ →，则 → ( )
AD=b EF=
6⃗ 1⃗ 1 ⃗ 1⃗ 1 ⃗ 1⃗ 6⃗ 1⃗
A. a− b B. − a+ b C. a+ b D. a+ b
7 6 30 6 30 6 7 6
8.已知▵ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确个数是( )
①若sin2A=sin2B，则▵ABC定为等腰三角形
②若a2+b2−c2>0，则▵ABC一定是锐角三角形
⃗ 2 ⃗ 1 ⃗ 1
③若点M是边BC上的点，且AM= AB+ AC，则▵AMC的面积是▵ABC面积的
3 3 3
若 平面内有一点 满足： ⃗ ⃗ ⃗ ⃗，且| ⃗ | | ⃗ | | ⃗ |，则 为等边三角形
④ ▵ABC O OA+OB+OC=0 OA = OB = OC ▵ABC
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
⃗ AC AB ⃗ BC BA
⑤若OA⋅( − )=OB⋅( − )=0，则点O是▵ABC的内心
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
|AC| |AB| |BC| |BA|
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
9.已知向量⃗
a=(−2,2),
⃗
b=(1,1)
，则
⃗a−⃗b
在
⃗b
方向上的投影向量为 ．
第 页，共 页
2 1π
10.在ΔABC中，若ac=8，a+c=7，B= ，则b= ．
3
11.已知向量⃗
a=(1,2)
，⃗
b=(x,1).
若⟨⃗
a,
⃗
b
⟩为锐角，则
x
的取值范围是 ．
12.如图，要计算西湖岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得
AD⊥CD,AD=10km,AB=14km,∠BAD=60∘,∠BCD=135∘，则两景点B与C的距离为 km．
13.在平面四边形ABCD中， | A ⃗ B | = | B ⃗ C | = | C ⃗ D | =D ⃗ A⋅D ⃗ C=1,B ⃗ A⋅B ⃗ C= 1 ，则 | A ⃗ C | = ；
2
⃗ ⃗ ．
BD⋅CD=
三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题13分)
已知平面向量⃗ ⃗ ⃗，⃗ ⃗ ⃗，其中⃗ ，⃗ ．
a=−3e +2e b=5e +e e =(1,0) e =(0,1)
1 2 1 2 1 2
(1)求 与 的夹角θ；
(2) 若⃗ c=4e ⃗ −2e ⃗与 k ⃗ a+ ⃗ b 共线，求实数 k 的值．
1 2
15.(本小题15分)
在 中，内角 所对的边分别为 已知 ， ．
▵ABC A,B,C a,b,c. asin A=4bsinB ac=√5(a2−b2−c2 )
(I)求cosA的值；
(II)求sin(2B−A)的值．
16.(本小题15分)
在三角形ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=3√2，b=3，cosA=cos2B．
(1)求边c的长；
第 页，共 页
3 1(2) 若 D 为直线 BC 上的一点，且|
C
⇀
D
|
=2
|
B
⇀
D
|，求|
A
⇀
D
|．
17.(本小题17分)
⃗ 2 ⃗
如图，在边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，且AP= AC，则
5
求 ⃗ ⃗ ；
(1)
DP⋅BP
若点 为线段 含端点 上的动点，求 ⃗ ⃗ 的最小值；
(2) M BD( )
MP⋅MB
(3)求数量积是向量中常见常考的问题，根据本题试总结常用的求数量积的方法以及每个方法适用范围．
18.(本小题17分)
在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知asinB=bsin2A．
(1)求角A的大小．
(2)若b=3，▵ABC的面积为3√3，求▵ABC的周长．
(3)若▵ABC为锐角三角形，求2cosB+cosC的取值范围．
第 页，共 页
4 1参考答案
1.D
2.A
3.D
4.A
5.A
6.C
7.B
8.B
9. ̂(cid:29)
−b/(−1,−1)
10.5
1 1
11.(−2, )∪( ,+∞)
2 2
12.3√2
√3
13.1 ；1+
2
14. 因为⃗ ，⃗ ，
(1) e =(1,0) e =(0,1)
1 2
所以⃗ ⃗ ⃗ ，⃗ ⃗ ⃗ ，
a=−3e +2e =(−3,2) b=5e +e =(5,1)
1 2 1 2
⃗ ⃗ ， ⃗ ⃗ ，
a⋅b=−3×5+2=−13 |a|=√13,|b|=√26
→ →
a⋅b −13 √2
∴cosθ= = =− ，
→ → √13×√26 2
|a||b|
3π
∵0≤θ≤π，∴θ= ．
4
⃗ ⃗ ⃗ ， ⃗ ⃗ ，
(2)c=4e −2e =(4,0)−(0,2)=(4,−2) ka+b=k(−3,2)+(5,1)=(5−3k,2k+1)
1 2
∵
⃗
c=4e
⃗
−2e
⃗与
k
⃗
a+
⃗
b
共线， ∴4(2k+1)+2(5−3k)=0，
1 2
解得k=−7．
即实数k的值为−7．
第 页，共 页
5 1a b
15.(Ⅰ)解：由asinA=4bsinB，及 = ，得a=2b．
sin A sinB
√5
− ac
由ac=√5(a2−b2−c2)，及余弦定理，得 b2+c2−a2 5 √5．
cosA= = =−
2bc ac 5
2√5 asin A √5
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)，可得sin A= ，代入asinA=4bsinB，得sinB= = ．
5 4b 5
2√5 4
由(Ⅰ)知，A为钝角，所以cosB=√1−sin2B= .于是sin2B=2sinBcosB= ，
5 5
3
cos2B=1−2sin2B= ，故
5
4 ( √5) 3 2√5 2√5．
sin(2B−A)=sin2BcosA−cos2Bsin A= × − − × =−
5 5 5 5 5
16.(1)方法一：∵a=3√2，b=3，∴sin A=√2sinB①.
又cosA=cos2B ②，所以①与②平方相加得2sin2B+cos22B=1，
即cos22B−cos2B=0，∴cos2B=0或cos2B=1．
又a>b，∴B为锐角，∴0<2B<π，∴cos2B=0，B=45 ∘．
∴sin A=√2sinB=1，∴A=90 ∘，所以ΔABC为等腰直角三角形，∴c=b=3．
方法二：∵a>b，∴B为锐角，∴0<2B<π，∵cosA=cos2B，∴A=2B．
∴sinA=sin2B=2sinBcosB，
也可以直接由 得 ，即
( cosA=cos2B 1−cos2A=1−cos22B sin2A=sin22B).
a2+c2−b2
由正弦定理与余弦定理得：a=2b ，
2ac
又∵a=3√2，b=3，∴c2−6c+9=0，即c=3．
(2) 解法一： (i) 当
C
⇀
D=−2B
⇀
D
时，
⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 2 ⇀ ⇀ 2 ⇀ 2 ⇀ 2 ⇀ 1 ⇀
AD=AC+CD=AC+ CB =AC+ AB− AC= AB+ AC，
3 3 3 3 3
| ⇀ | √4 ⇀ 2 ⇀ 1 ⇀ 1 ⇀ ；
∴AD = AB2+2⋅ AB⋅ AC+ AC2=√5
9 3 3 9
(ii) 当
C
⇀
D=2B
⇀
D
时，
第 页，共 页
6 1⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ，
AD=AC+CD=AC+2CB =AC+2AB−2AC=2AB−AC
| ⇀ | √ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ．
∴AD = 4AB2−2⋅2AB⋅AC+AC2=3√5
解法二： (i) 当
C
⇀
D=−2B
⇀
D
时，在 ΔACD 中， AC=3 ， CD=2√2 ， ∠ACD=45 ∘ ，
| ⇀ | ；
∴AD2=AC2+CD2−2AC⋅CDcos45 ∘=5⇒ AD =√5
(ii) 当
C
⇀
D=2B
⇀
D
时，在 ΔACD 中， AC=3 ， CD=6√2 ， ∠ACD=45 ∘ ，
| ⇀ | ．
∴AD2=AC2+CD2−2AC⋅CDcos45 ∘=45⇒ AD =3√5
17. 因为四边形 是边长为 的正方形，所以 ⃗ ⃗ ， ⃗ ⃗ ．
(1) ABCD 1
AB⋅AD=0 |AB|=|AD|=1
⃗ 2 ⃗ ⃗ 2 ⃗ ⃗
已知AP= AC，且
A
⃗
C=A
⃗
B+A
⃗
D
，则AP= (AB+AD)．
5 5
⃗ ⃗ ⃗ 2 ⃗ ⃗ ⃗ 2 ⃗ 3 ⃗
那么DP=AP−AD= (AB+AD)−AD= AB− AD．
5 5 5
⃗ ⃗ ⃗ 2 ⃗ ⃗ ⃗ 3 ⃗ 2 ⃗
BP=AP−AB= (AB+AD)−AB=− AB+ AD．
5 5 5
⃗ ⃗ 2 ⃗ 3 ⃗ 3 ⃗ 2 ⃗
所以DP⋅BP=( AB− AD)⋅(− AB+ AD)
5 5 5 5
根据向量数量积的分配律展开可得：
⃗ ⃗ 2 ⃗ 3 ⃗ 2 ⃗ 2 ⃗ 3 ⃗ 3 ⃗ 3 ⃗ 2 ⃗
DP⋅BP= AB⋅(− AB)+ AB⋅ AD− AD⋅(− AB)− AD⋅ AD．
5 5 5 5 5 5 5 5
由于 ⃗ ⃗ ，且 ⃗ ⃗ ， ⃗ ⃗ ，则：
AB⋅AD=0 AB2=|AB|2=1 AD2=|AD|2=1
⃗ ⃗ 6 ⃗ 6 ⃗ 6 6 12
DP⋅BP=− AB2+0+0− AD2=− − =− ．
25 25 25 25 25
(2)以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
第 页，共 页
7 1则 ， ， ， ， ⃗ ．
A(0,0) B(1,0) D(0,1) C(1,1) AC=(1,1)
⃗ 2 ⃗ ⃗ 2 2 2 2
因为AP= AC，所以AP=( , )，则P( , )．
5 5 5 5 5
设M(x,y)，因为点M在直线BD上，直线BD的方程为x+ y=1(0≤x≤1)，即y=1−x，所以
M(x,1−x)．
⃗ 2 2 2 3 ⃗
则MP=( −x, −(1−x))=( −x,x− )， MB=(1−x,x−1) ．
5 5 5 5
⃗ ⃗ 2 3
所以MP⋅MB=( −x)(1−x)+(x− )(x−1)
5 5
⃗ ⃗ 2 3 2 3
展开可得MP⋅MB=( −x)(1−x)−(x− )(1−x)=(1−x)[( −x)−(x− )]=(1−x)(1−2x)．
5 5 5 5
进一步展开得
M
⃗
P⋅M
⃗
B=2x2−3x+1
，令 f(x)=2x2−3x+1(0≤x≤1) ．
3 3 3 3 1 1
所以f(x)在x= 处取得最小值，f( )=2×( ) 2−3× +1=− ，即 ⃗ ⃗ 的最小值为− ．
4 4 4 4 8
MP⋅MB
8
(3)总结常用的求数量积的方法以及每个方法适用范围：
定义法：⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 为 与 的夹角 适用范围：已知向量的模长和夹角时，可直接使用
a⋅b=|a|×|b|×cosθ(θ ⃗a ⃗b ).
定义求数量积．
坐标法：若⃗ ，⃗ ，则⃗ ⃗ 适用范围：当向量的起点在坐标原点，或者
a=(x ,y ) b=(x ,y ) a⋅b=x x + y y .
1 1 2 2 1 2 1 2
可以通过建立平面直角坐标系方便地得到向量的坐标时，使用坐标法较为简便．
基底法：将所求向量用已知向量表示出来，然后根据向量数量积的运算律进行计算.适用范围：在一些几何
图形中，已知一些向量的关系，通过向量的加减法、数乘等线性运算将未知向量转化为已知向量，进而求
数量积．
其他方法：极化恒等式，适用于共点的数量积问题，求最值小题使用比较快；投影法，对于几何问题，投
影固定或者模长固定，比较好用．
18.(1)∵asinB=bsin2A，∴sinAsinB=sinBsin2A，即sinAsinB=2sinAcosAsinB，
∵A,B∈(0,π)，∴sinA≠0,sinB≠0，
1 π
∴cosA= ，故A= ．
2 3
√3
(2)由(1)得，sin A= ，
2
第 页，共 页
8 11 3√3
∵▵ABC的面积为3√3，∴ bcsin A=3√3，即 c=3√3，解得c=4，
2 4
1
由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccosA=9+16−2×3×4× =13，
2
∴a=√13，故▵ABC的周长为7+√13．
π 2π 2π
(3)由A= 得B+C= ，则C= −B，
3 3 3
(2π ) 1 √3
∴2cosB+cosC=2cosB+cos −B =2cosB− cosB+ sinB
3 2 2
√3 3 ( π)．
= sinB+ cosB=√3sin B+
2 2 3
π 2π π π π
∵▵ABC为锐角三角形，∴0
