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3.3.1 抛物线及其标准方程 -B提高练
一、选择题
1．（2020·海南琼山中学高二月考）抛物线的焦点为椭圆 的下焦点，顶点在椭圆中心，
则抛物线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由 知 ， ，所以 ，椭圆的下焦点为 ，设抛物线的
方程为 ，则 ，所以抛物线的方程为 ，故选：A
2．（2020·福建莆田一中高二期中）为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一
个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面（抛物线绕对称轴旋转得到）形的反光镜构成，已知镜口圆
的直径为 ，镜深 ，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点（ ）
A．0.5米 B．1米 C．1.5米 D．2米
【答案】B
【解析】若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，
如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛物线方程 集光板端点 ，
代入抛物线方程可得 ，所以抛物线方程 ，故焦点坐标是 .所以容器灶圈应距离集光板顶点 .故选：B
3.如图,抛物线的顶点在坐标原点,焦点为F,过抛物线上一点A(3,y)作准线l的垂线,垂足为B.若△ABF
为等边三角形,则抛物线的标准方程是( )
1
A.y2= x B.y2=x C.y2=2x D.y2=4x
2
【答案】D
【解析】设直线l交x轴于点C.∵AB⊥l,l⊥x轴,∴AB∥x轴,可得∠BFC=∠ABF=60°,Rt△BCF中,|
p
CF|=|BF|cos 60°=p,解得|BF|=2p,由AB⊥y轴,可得3+ =2p,∴p=2,∴抛物线的标准方程是y2=4x.
2
4．（2020·乌市一中高二月考）如图，正方体 的棱长为1，点M在棱 上，且
，点P是平面 上的动点，且动点P到直线 的距离与点P到点M的距离的平方
差为1，则动点P的轨迹是（ ）A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．直线
【答案】B
【解析】如图所示，在正方体 中，作 ，垂足为 ，
则 平面 ，过 作 ，则 平面 ，则 为点 到直线 的
距离，由题意得 ，由已知得 ，所以 ，即 到点
的距离等于 到 的距离，所以根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，故选：B
5．（多选题）（2020·山东高三期末）已知点 为曲线C的焦点，则曲线C的方程可能为（
）
A． B．
C． （ ） D． （ ）
【答案】AD
【解析】A. ，抛物线的焦点为 ，满足； B. ，抛物线的焦点为，不满足；C. （ ），焦点为 ，或
或曲线表示圆不存在焦点， ，则 ，
均不满足；D. （ ），双曲线的焦点为 ，满足；故选： .
6. （多选题）已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点
.若 为 的中点，则（ ）
A． 的准线方程为 B． 点的坐标为
C． D．三角形 的面积为 （ 为坐标原点）
【答案】ACD
【解析】如图，不妨设点 位于第一象限，设抛物线的准线 与 轴交于点 ，作 于点
， 于点 .由抛物线的解析式可得准线方程为 ， 点的坐标为 ，则
， ，在直角梯形 中，中位线 ，由抛物线的定义
有 ，结合题意，有 ，故 ，
， .故选：ACD.
二、填空题
7.AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦,|AB|=4,则AB中点C的横坐标是 _．
3
【答案】
2
x +x 3
【解析】设A(x,y),B(x,y),根据抛物线的定义可知,|AB|=x +x +p=x +x +1=4,∴ 1 2= .
1 1 2 2 1 2 1 2
2 2
8.（2020·北京大兴区高二期末）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，
且一个焦点在抛物线 的准线上，则该双曲线的方程为_ _．
【答案】
【解析】 双曲线的一条渐近线方程为 ， ，①
抛物线 的准线方程为 ，该双曲线一个焦点在抛物线 的准线上， ，
而 ， ，②
由①②，得 ， ， 双曲线的方程为 ．
9. （2020·江苏南京高二期中）早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身
重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线
的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系xoy，根据图上尺寸， 溢流孔ABC所在抛物线的方程为_________， 溢流孔与桥拱交点A的横坐标为 ___________ .
【答案】
【解析】设桥拱所在抛物线方程 ，由图可知，曲线经过 ，
代入方程 ，解得： ，所以桥拱所在抛物线方程 ；
四个溢流孔轮廓线相同，所以从右往左看，设第一个抛物线 ，
由图抛物线 经过点 ，则 ，解得 ，
所以 ，
点 即桥拱所在抛物线 与 的交点坐标，
设
由 ，解得： ，所以点A的横坐标为 .
10.（2020·山东泰安实验中学高二月考）以下四个命题:
①平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线;|a|
②抛物线y=ax2的焦点到原点的距离是 ;
4
③直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于两点A(x,y),B(x,y),则|AB|=x +x +p;
1 1 2 2 1 2
④正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,则此正三角形的边长为
4√3p.
其中正确命题的序号是 .
【答案】④
【解析】①当定点F正好在定直线l上时,平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹
不是抛物线,故①错;②当a>0时,整理抛物线方程得x2=1y,p= 1 .所以焦点坐标为( 1 ),抛物线
0,
a 2a 4a
1
y=ax2的焦点到原点的距离是 ,故②错;③当直线l不是过抛物线焦点的直线时,直线l与抛物线
4|a|
y2=2px(p>0)交于两点A(x,y),B(x,y),则|AB|=x +x +p不成立,故③错;④设正三角形另外两个顶点的
1 1 2 2 1 2
√3 m
(m2
)
(m2
)
=
坐标分别为 ,m , ,-m ,由tan 30°= 3 m2 ,解得 m=2√3p,故这个正三角形的边长为
2p 2p
2p
2m=4√3p,故④正确.
三、解答题
11. （2020·上海徐汇·高二期末）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如
图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为 ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为
抛物线）后返回的轨迹是以 轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为
．观测点 实时跟踪航天器．（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程（只需求出曲线方程即可，不必求范围）；
（2）试问：当航天器在 轴上方时，观测点 测得离航天器的距离为多少时，应向航天器发出变
轨指令？
【解析】（1）设曲线方程为 ，由题意可知， ，
∴ ，∴曲线方程为 ；
（2）设变轨点为 ，根据题意可知 ，得 ，
解得 或 （不合题意，舍去），
∴ ，得 或 （不合题意，舍去），
∴ 点的坐标为 ， ，
答：当观测点 测得离航天器的距离为10时，应向航天器发出变轨指令．
12.（2020·全国高二课时练）已知M到点F(1,0)和直线x=-1的距离相等,记点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程;
(2)过点F作相互垂直的两条直线l,l,曲线C与l 交于点P,P,与l 交于点Q,Q,
1 2 1 1 2 2 1 2
1 1 1
试证明: + = .
|P P | |Q Q | 4
1 2 1 2
【解析】(1)∵点M到点F(1,0)和直线x=-1的距离相等,
由抛物线的定义可知,点M的轨迹是抛物线,
设方程为y2=2px(p>0),
p
∵ =1,∴p=2. ∴轨迹C的方程为y2=4x.
2
(2)由题意知,l,l 的斜率均存在且不为0.
1 2
设l 的方程为y=k(x-1),代入抛物线方程,
1
整理可得k2x-(2k2+4)x+k2=0,设P,P 的横坐标分别为x,x,则x+x =2k2+4,
1 2 1 2 1 2
k2
∴|P P|=x +x +p=4k2+4,
1 2 1 2
k2
1
以- 代入,可得|Q Q|=4+4k2,
1 2
k
1 1 1
∴ + = .
|P P | |Q Q | 4
1 2 1 2
