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格致课堂
8.5.2 直线与平面平行
第 2 课时 直线与平面平行的性质
一、选择题
1．已知直线l和平面α，若 ， ，则过点P且平行于l的直线（ ）
A．只有一条，不在平面α内
B．只有一条，且在平面α内
C．有无数条，一定在平面α内
D．有无数条，一定不在平面α内
【答案】B
【解析】假设过点P且平行于 的直线有两条 与 ，∴ 且 ，
由平行公理得 ，这与两条直线 与 相交与点 相矛盾.
故选：B.
2．如图，在长方体 中， 、 分别是棱 和 的中点，过 的平面 分
别交 和 于点 、 ，则 与 的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面
【答案】A
【解析】在长方体 中， ， 、 分别为 、 的中点， ，
四边形 为平行四边形， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，平面 平面 ， ，格致课堂
又 ， ，故选A.
3．如图，在三棱柱ABC－ABC 中，AM＝2MA ，BN＝2NB ，过MN作一平面交底面三角形ABC的边
1 1 1 1 1
BC、AC于点E、F，则 ( )
A．MF∥NE
B．四边形MNEF为梯形
C．四边形MNEF为平行四边形
D．AB∥NE
1 1
【答案】B
【解析】
∵在 AABB中，AM＝2MA ，BN＝2NB ，∴AM//BN，∴MN//AB.
1 1 1 1
又MN 平面ABC，AB 平面ABC，
∴MN∥⊄平面ABC. ⊂
又MN 平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，
显然在⊂△ABC中EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形．故选B．
4．如图，四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点
F，则四边形DEFC的周长为 ( )
A．2+ B．3+ C．3+2 D．2+2
【答案】C
【解析】因为AB=BC=CD=DA=2，所以四边形ABCD是菱形，所以CD∥AB，
又CD 平面SAB，AB 平面SAB，所以CD∥平面SAB.
又CD⊄平面CDEF，平⊂面CDEF∩平面SAB=EF，所以CD∥EF，
⊂格致课堂
所以EF∥AB.又因为E为SA中点，所以EF= AB=1.
又因为△SAD和△SBC都是等边三角形，所以DE=CF=2×sin60°= ，
所以四边形DEFC的周长为：CD+DE+EF+FC=3+2 .故选C.
5．（多选题）在梯形 中， ， 平面 ， 平面 ，则直线 与平面 内的
直线的位置关系只能是（ ）
A．平行 B．异面 C．相交 D．共面
【答案】AB
【解析】
∵ ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，∴直线 与平面 内的直线没有公共
点，直线 与平面 内的直线的位置关系可能平行，也可能异面，故选A ．
6．（多选题）在空间四边形 中, 分别是 上的点,当 平面 时,
下面结论正确的是( )
A． 一定是各边的中点
B． 一定是 的中点
C． ,且
D．四边形 是平行四边形或梯形
【答案】CD
【解析】由 平面 ,所以由线面平行的性质定理,得 , ,则 ,
且 ,且 ,四边形 是平行四边形或梯形.
故选： .格致课堂
二、填空题
7．如图，在三棱柱 中， 是 的中点， 是 上一点，但 平面 ，则
的值为_______.
【答案】
【解析】如下图所示，连接 交 于点 ，连接 .
在三棱柱 中， ， ，
为 的中点， ， .
平面 ， 平面 ，平面 平面 ， ，
，故答案为 .
8．正方体 中, ,点 为 的中点,点 在 上,若 平面 ,则
_____.格致课堂
【答案】
【解析】取 中点 ，连接
为 的中点， 为 中点 平面
又因为： 平面
平面 平面 平面 ，
因为 平面 平面 平面
为 中点.
在 中，计算知：
故答案为
9．如图，长方体 中， ， ， 分别是侧棱 ， 上的动点，
，点 在棱 上，且 ，若 平面 ，则 .
【答案】2
【解析】连接AC，交BD于点O，连接PO.格致课堂
因为 平面PBD， 平面 ，平面 平面 ，所以 ；在 上截
取 ，连接 ，则 ，所以 ，
所以易知四边形 为平行四边形，则 .
又 ， ，所以 ，故 .
故答案为： .
10．如图在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中正确的有______ 填上所有正确命
题的序号
，
，
截面PQMN，
异面直线PM与BD所成的角为 ．格致课堂
【答案】
【解析】解：在四面体 中， 截面 是正方形， ， 平面 ，
平面 ， 平面 ．
平面 平面 ， ，可得 平面 ．
同理可得 平面 ， ．
， ．
由 ，
是异面直线 与 所成的角，且为 ．
由上面可知： ， ．
， ，
而 ， ，
．
综上可知： 都正确．
故答案为 ．
利用线面平行与垂直的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角即可得出．
三、解答题
11．如图所示， 为平行四边形ABCD所在平面外一点，M,N分别为AB,PC的中点，平面PAD 平面
PBC＝ .格致课堂
(1)求证：BC∥ ；
(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】(1)证明 因为BC∥AD，AD 平面PAD，
BC 平面PAD，所以BC∥平面PAD.⊂
又平⊄面PAD∩平面PBC＝l，BC 平面PBC，所以BC∥l.
(2)解 MN∥平面PAD.证明如下⊂：
如图所示，取PD中点E，连结AE，EN.
又∵N为PC的中点，∴
又∵
∴
即四边形AMNE为平行四边形．
∴AE∥MN，又MN 平面PAD，AE 平面PAD
.∴MN∥平面PAD. ⊄ ⊂
12．如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ， 为 的中点，点 在侧棱
上，且 ，若 平面 ，试确定实数 的值.格致课堂
【答案】
【解析】如图，连接 交 于点 ，交 于点 ，连接 ，易知 为 的中点.
∵ 分别为正三角形 的边 上的中线，
∴ 为正三角形 的中心.
设菱形 的边长为 ，则 ， .
∵ 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
∴ ，
∴
即 ，∴实数 的值为 .
