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格致课堂
8.6.1 直线与直线垂直
一、选择题
1．分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．异面 C．异面或相交 D．平行
【答案】C
【解析】
①若两条直线与两条异面直线的交点有4个，如图，直线 与异面直线 分别相交于点 ，直线
与异面直线 分别相交于点 ，那么 四点不可能共面，否则与 异面矛盾，
故直线 与 异面；②若两条直线与两条异面直线的交点有3个，如图，则两条直线相交.
故选：C
2．在正方体 中， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的正切值为格致课堂
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在正方体 中， ，所以异面直线 与 所成角为 ，
设正方体边长为 ，则由 为棱 的中点，可得 ，所以 ，
则 .故选C.
3．已知直三棱柱 中， ， ， ，则异面直线 与
所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，补成直四棱柱 ，
则所求角为 ，
易得 ，因此 ，故选C．格致课堂
4．在正方体 中， 为棱 的中点，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】画出正方体 ，如图所示．
对于选项A，连 ，若 ，又 ，所以 平面 ，所以可得 ，
显然不成立，所以A不正确．
对于选项B，连 ，若 ，又 ，所以 平面 ，故得 ，显然不成
立，所以B不正确．
对于选项C，连 ，则 ．连 ，则得 ，所以 平面 ，从
而得 ，所以 ．所以C正确．
对于选项D，连 ，若 ，又 ，所以 平面 ，故得 ，显然不成
立，所以D不正确．
故选C．
5．（多选题）如图所示，在正方体 中， 分别为棱 的中点，则以下四
个结论正确的是（ ）格致课堂
A．直线 与 是相交直线 B．直线 与 是平行直线
C．直线 与 是异面直线 D．直线 与 是异面直线
【答案】CD
【解析】直线 与 是异面直线，直线 与 也是异面直线，故A、B错误
直线 与 是异面直线，直线 与 是异面直线，故C、D正确.
故选CD.
6．（多选题）如图所示是正四面体的平面展开图, 分别为 的中点,在这个正四面
体中,下列命题正确的是( )
A． 与 平行 B． 与 为异面直线
C． 与 成60°角 D． 与 垂直
【答案】BCD
【解析】如图,把平面展开图还原成正四面体,知 与 为异面直线,A不正确；
与 为异面直线，B正确；
, ，而 ， ,格致课堂
与 成60°角，C正确；
连接 ， ，
平面 ,
,
又
与 垂直,
D正确.
故选：BCD
二、填空题
7．如图，在正方体ABCD﹣A B C D 中，E，F，G，H分别为AA ，AB，BB ，B C 的中点，则异面直线
1 1 1 1 1 1 1 1
EF与GH所成的角等于 ．格致课堂
【答案】
【解析】 ,所以异面直线EF与GH所成的角等于 所成角， 为正三
角形，所以所成角为
8．已知正方体 中，E为 的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为
.
【答案】
【解析】
连接DE，设AD=2，易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，
在△RtADE中，由于DE= ，AD=2，可得AE=3，∴cos∠DAE= = ．
9．在直三棱柱 中， ， ， ，则异面直线 与 所成
角的余弦值是_____________．
【答案】格致课堂
【解析】
连接 交 于点 ，取 中点 ，连接 ，则 ，连接
为异面直线 与 所成角
在 中， ，
,
同理可得 ,
,
异面直线 与 所成角的余弦值是
故答案为
10．在正方体 中，E、F、G、H分别为AA 、AB、BB 、B C 的中点，则所在直线与直
1 1 1 1
线EF是异面直线的是 ，异面直线EF与GH所成的角等于_____.格致课堂
CC ,DD ,C D ,A D ,B C
【答案】BC，CD，AD， 1 1 1 1 1 1 1 1， 60°
【解析】连接 ， ， ，由于EF∥AB，GH∥BC ，所以AB与BC 所成的角即为EF与GH所
1 1 1 1
成的角，由于△ABC 为正三角形，所以AB与BC 所成的角为60°，即EF与GH所成的角为60°.
1 1 1 1
三、解答题
11．空间四边形 中， ， 分别是 的中点， ，求异面直线
所成的角.
【答案】
【解析】设G为AC的中点, 、F分别是AB、CD中点
且
且
为异面直线AD、BC所成的角(或其补角)格致课堂
,
中,
,
即异面直线AD、BC所成的角为
12．如图,在四棱柱 中，侧面都是矩形，底面四边形 是菱形且 ，
，若异面直线 和 所成的角为 ，试求 的长.
【答案】
【解析】
连接 .
由题意得四棱柱 中， ， ，格致课堂
∴四边形 是平行四边形，
，
（或其补角）为 和 所成的角.
∵异面直线 和 所成的角为 ，
.
∵四棱柱 中， ，
是等腰直角三角形， .
∵底面四边形 是菱形且 ， ， ，
， .
